中考數學中的幾何最值問題

姚婉若

最值問題是學習的難點，也是中考命題的熱點，它是初中數學中的常見問題.這類問題出現的試題，內容豐富，知識點多，涉及面廣，解法靈活多樣，且具有一定的難度.它主要是考查變量之間的變化規律，從而確定其最大值或最小值，一般分為代數最值問題和幾何最值問題.代數最值問題是利用函數的性質研究變量之間的變化規律，從而確定最值；幾何最值是利用幾何的基本性質研究變量之間的變化規律，從而確定最值.

在平面幾何的動態問題中，當某幾何元素在給定條件變動時，求某幾何量（如線段的長度、圖形的周長或面積、角的度數及它們的和與差）的最大值或最小值問題，被稱為幾何最值問題.解決平面幾何最值問題的常用的方法有：（1）應用兩點間線段最短的公理（含應用三角形的三邊關系）求最值；（2）應用垂線段最短的性質求最值；（3）應用軸對稱、平移、折疊的性質求最值；（4）應用圓求最值；（5）應用其他知識求最值.下面選取近年來幾道有關例題，依托例題分析，總結中考數學中關于幾何最值問題的常見解題方法.

1.正方體（長方體）、圓錐（圓柱）中的最值問題：此類問題往往是將空間圖形沿棱或母線剪開，轉化為平面圖形，再利用“兩點之間，線段最短”來找出最短的路線，從而求出最值.

例：如圖圓錐的底面半徑為1，母線長為3，一只螞蟻從底面圓周上的B出發沿圓錐側面爬到母線AB的軸截面上另一母線AC的中點D，問螞蟻沿怎樣的路線爬行，使路程最短？最短路程是多少？

解：圓錐側面展開圖如圖所示∠BAD==60°

在Rt△ABD中，AD=Atan60°=答：螞蟻爬行的最短路程是.

2.運用“三角形兩邊之和大于第三邊”求最值.

例：已知邊長為α的等邊三角形ABC，兩頂點A、B分別在平面直角坐標系的x軸、y軸的正半軸上滑動，點C在第一象限，連接OC，則OC的長的最大值是？搖 ？搖.

解：取AB的中點D，連接OD、CD、OC，則OD=a，且CD⊥AB，∴CD=a，當C，D，O三點共線時，

OC=OD+CD，否則OC

分析：本題求一條線段的最大值，關鍵是抓住斜邊長度確定，斜邊上的中線長也確定，利用三角形兩邊之和大于第三邊，尋找突破口從而求解.

3.運用軸對稱或平移，結合“三角形兩邊之和大于第三邊”求最值.

例：在平面直角坐標系中，A、B兩點的坐標分別為A（3，2），B（1，5）.

（1）若點P的坐標為（0，m），當m=？搖 ？搖時，△PAB的周長最短；

（2）若點C、D的坐標分別為（0，a）、（0，a+4），則當a=？搖 ？搖時，四邊形ABCD的周長最短.

解：（1）如圖，過點A作關于y軸的對稱點A′，連接A′B，則A′B與y軸的交點即為點P的位置.

解：（2）如圖，作點A關于y軸的對稱點A′，則A′的坐標為（-3，2），把A′向上平移4個單位得到點B′（-3，6），連接BB′，與y軸的交點即為點D的位置.

分析：問題（1）中AB長度一定，只要AP+BP長度最小，周長就最小，△PAB周長的最小值問題轉為求一個動點到兩個定點的距離和的最小值問題，通過作對稱點的方法，當三點共線時，兩條線段和最小.

問題（2）要使四邊形ABCD的周長最小，注意到AB、DC的長為定值，故只需AC+BD最小，用軸對稱及平移方法設法將BD、AC集中到一條直線上解決問題，此時AC+BD=B′D+BD=BB′最小.

4.折疊最值：折疊背景下的最值問題，考查的是動手操作能力和合情推理能力，方法是（1）在折疊中感受大小變化規律，（2）通過特殊位置求最值.

例：如圖，在矩形紙片ABCD中，AB=3，BC=5，點E、F分別在線段AB、BC上，將△BEF沿EF折疊，點B落在B′處.如圖，當B′在AD上時，B′D的取值范圍為？搖 ？搖.

分析：可以想象兩個極端情況：

①如圖1，當F點無限接近C點，此時B′F=BC=5，CD=3，所以B′D=4，

這是B′D的最大值.

②如圖2，當E點無限接近A點，此時B′E=B′A=AB=3，所以B′D=5-3=2.

這是B′D的最小值.

5.運用“垂線段最短”求最值.

例：如圖，在Rt△AOB中，OA=OB=3，⊙O的半徑為1，點P是AB邊上的動點，過點P作⊙O的一條切線PQ（點Q為切點），則切線PQ的最小值為？搖 ？搖.

分析：連接OQ、OP，可得PQ=OP-OQ，而OQ為定值，所以只需OP最短即可，運用“垂線段最短”可知，當OP⊥AB時，OP最短.

6.構造圓求最值.

例：如圖，等腰直角三角形ABC，斜邊AC長為4，D是斜邊AC的中點，直角∠FDE分別交AB、BC于E、F，則線段EF的最小值是？搖 ？搖.

分析：因為∠FDE+∠ABC=180°，所以點B、F、D、E四點在以EF為直徑的圓上，在這個圓中，總有EF≥BD，所以它的最小值等于BD的長.

例：在平面直角坐標系中，點O為坐標原點，A、B、C三點的坐標分別為A（，0），B（3，0），C（0，5），點D在第一象限內，且∠ADB=60°.線段CD的長的最小值為？搖 ？搖.

分析：由∠ADB=60°得D在一個圓的圓周上運動，該圓為⊿ABD的外接圓，不妨先讓△ABD為等邊三角形，方便求出圓心P（21），連接CP交該圓于點D，且點D在點C、P之間，這時CD的長最小.

7.線段差求最大值：可運用“三角形兩邊之差小于第三邊”求最值.

例：已知：如圖，把矩形OCBA放置于直角坐標系中，OC=3，BC=2，取AB的中點M，連接MC，把△MBC沿x軸的負方向平移OC的長度后得到△DAO.試問在拋物線的對稱軸上是否存在一點T，使得|TO-TB|的值最大？

分析：存在點T，使得|TO-TB|的值最大.∵點O、點E關于直線x=對稱，∴TO=TE要使得|TO-TB|的值最大，即是使得|TE-TB|的值最大，根據三角形兩邊之差小于第三邊可知，當T、E、B三點在同一直線上時，|TE-TB|的值最大.