求解分數(shù)階擴散方程的循環(huán)預處理的極小化殘量法

屈威

（韶關學院數(shù)學與統(tǒng)計學院，廣東韶關512005）

求解分數(shù)階擴散方程的循環(huán)預處理的極小化殘量法

屈威

（韶關學院數(shù)學與統(tǒng)計學院，廣東韶關512005）

摘要：將循環(huán)預處理的極小化殘量法應用到分數(shù)階擴散方程的求解中，利用Crank-Nicolson方法給出了擴散方程的隱差分格式，以及循環(huán)預處理矩陣的形式，并通過數(shù)值實驗說明.

關鍵詞：分數(shù)階擴散方程；Toeplitz矩陣；循環(huán)預處理算子；極小殘量法

分數(shù)階微分方程是傳統(tǒng)整數(shù)階微分方程的推廣，其產(chǎn)生于一些反常擴散模型.分數(shù)階微分方程主要包括空間分數(shù)階微分方程、時間分數(shù)階微分方程、空間-時間分數(shù)階微分方程3大類.由于分數(shù)階微分算子與整數(shù)階微分算子相比，其具有非局部的性質，非常適合描述現(xiàn)實世界中具有記憶以及遺傳性質的材料，現(xiàn)已成為描述各類力學與物理行為的重要工具，因此被廣泛應用于流體力學、模擬地下水的傳送、反常擴散、信號處理與系統(tǒng)識別等其他科學研究領域.然而，分數(shù)階微分方程的解析解很難顯示表出，因而分數(shù)階微分方程的數(shù)值解與數(shù)值算法備受研究專家者的關注，現(xiàn)已成為當前研究領域的熱門問題.

M.M.Meerschaert等首先提出了利用有限差分的方法求解分數(shù)階微分方程［1-2］.近年來，有關分數(shù)階微分方程的數(shù)值解的研究工作也取得了許多顯著的成果，主要包括：（1）有限差分法；（2）有限元法；（3）預處理法；（4）多重網(wǎng)格法；（5）反積分法等［2-9］.本文主要研究空間分數(shù)階擴散微分方程的數(shù)值方法，運用預處理方法及極小殘量法對該問題進行求解.

1分數(shù)階擴散方程的基本定義與Crank-Nicolson隱差分格式

本文考慮如下帶有Dirichlet齊次邊界條件的分數(shù)階微分擴散方程：

其中d+，d-為非負常數(shù)，且d++d-≠0，f（x，t）為定義在［a，b］×［0，T］上的已知函數(shù)，微分算子）和（x，t）分別為函數(shù)u（x，t）的α（1＜α＜2）階的左Riemann-Liouville和右Riemann-Liouville型分數(shù)階導數(shù)，在文獻［9］中，給出了左、右Riemann-Liouville型分數(shù)階導數(shù)的一般定義.

設｛u（xi，tm）|0≤i≤N+1，0≤m≤M｝為微分方程（1）的解析解，｛uim|0≤i≤N+1，0≤m≤M｝為分數(shù)階微分方程（1）的數(shù)值解.

令 uim≈u（xi，tm），fim+1/2=f（xi，tm+1/2），，利用Crank-Nicolson隱差分格式和文獻［9］給出2階左、右Riemann-Liouville的分數(shù)階導數(shù)的微分算子，得到如下差分格式：

該差分格式是無條件穩(wěn)定的，以及在空間和時間上的誤差都滿足2階精度要求［10］.令:

則差分格式（2）的矩陣形式表示為：

定義1一個N×N階矩陣T滿足:

其中tij=ti-j，這樣的矩陣稱為Toeplitz矩陣，顯然Toeplitz矩陣的主對角線上各元素彼此相等，且平行于主對角線的各對角線上的元素也彼此相等［11］.

2循環(huán)預處理條件下的極小殘量方法

由于矩陣M（m+1）是非對稱的Toeplitz矩陣，而極小殘量法（MINRES）只適用于求解對稱的方程，因此，選擇利用置換矩陣將方程（3）轉變?yōu)閷ΨQ的方程，進而求解方程（3）的等價方程：

由此可以利用MINRES方法求解方程（4）.然而，在方程（4）中，系數(shù)矩陣YM（m+1）條件數(shù)可能比較大，這將會造成使用MINRES方法時迭代收斂過慢以及存儲計算量大等缺點.在這種情況下，可利用預處理方法克服以上缺點.在文獻［5］中，已經(jīng)詳細地研究了如何利用如下Strang型循環(huán)預處理方法對方程（3）進行數(shù)值求解，預處理矩陣為，其中循環(huán)矩陣S（Qa）、S（QTa）的第一列分別為：通過循環(huán)預處理的方程通?？梢越柚焖貴ourier變換進行求解，這將大大提高方程求解的效率，由文獻［11］可以知道，循環(huán)矩陣C可被Fourier矩陣對角化，即C=F*ΛCF，i為虛數(shù)單位，矩陣ΛC為對角矩陣，其對角線元素分別為循環(huán)矩陣C特征值.由于S（m+1）為正規(guī)矩陣，利用文獻［1］中的思想，可得如下循環(huán)預處理矩陣：

3　數(shù)值實驗

表1　求解例題的差分格式時取的空間和時間的步長相等，即h=τ

表2　在時刻t=1，利用以下3種方法求解例題，并做相關比較

從表1可以看出，利用循環(huán)預處理的極小殘量法求解例題得到的數(shù)值解滿足理論的誤差與2階精度要求，這與理論結果相符，說明的方法是正確的.從表2可以看出，求解方程（5）時，經(jīng)過預處理的2種方法比沒有預處理的方法在計算時間上更快，所需要的迭代次數(shù)也更少，這也更能說明該方法的有效性與實用性.除此之外，P1MINRES和P2MINRES方法能在理論上得到矩陣|S（m+1）|-1YM（m+1）的特征值分布區(qū)間，進一步可得循環(huán)預處理的極小殘量法的收斂性［1，5］.

參考文獻：

［1］Pestana J，Wathen A J.A preconditioned MINRES method for nonsymmetric Toeplitz matrices，SIAM［J］.J Matrix Anal&Appl，2015，36 （1）:273-288.

［2］Meerschaert M M，Scheffler H P，Tadjeran C.Finite difference methods for two-dimensional fractional dispersion equation［J］.J Comput Phys，2006（21）:249-261.

［3］Meerschaert M M，Tadjeran C.Finite difference approximations for fractional advection–dispersion flow equations［J］.J Comput Appl Math，2004（172）:65-77.

［4］Meerschaert M M，Tadjeran C.Finite difference approximations for two-sided space-actional partial differential equations［J］.Appl Numer Math，2006（56）:80-90.

［5］Lei S L，Sun H W.A circulant preconditioner for fractional diffusion equations［J］.J Comput Phys，2013（242）:715-725.

［6］Pang H，Sun H.Multigrid method for fractional diffusion equations［J］.J Comput Phys，2012，231（2）:693-703.

［7］Pang H，Sun H.Fast numerical contour integral method for fractional diffusion equations［J］.J of Sci Comput，2015（19）:1-26.

［8］Qu W，Lei S L，Vong S W.Circulant and skew-circulant splitting iteration for fractional advection-diffusion equations［J］.Inter J of Comput Math，2014（91）:2232-2242.

［9］Sousa E，Li C.A weighted finite difference method for the fractional diffusion equation based on the Riemann–Liouville derivative ［J］.Appl Numer Math，2015（90）:22-37.

［10］Deng W，Chen M.Efficient numerical algorithms for three-dimensional fractional partial differential equations［J］.Journal of Computational Mathematics，2014，32（4）:371-391.

［11］Chan R H，Jin X Q.An Introduction to Iterative Toeplitz Solvers［M］.Philadelphia:Society for Industrial and Applied Mathematics，2007.

中圖分類號：O241.82

文獻標識碼：A

文章編號：1007-5348（2016）04-0001-04

［收稿日期］2016-03-12 ［基金項目］2014年度韶關學院科研項目（SY2014KJ07）.

［作者簡介］屈威（1987-），男，廣東韶關人，韶關學院數(shù)學與統(tǒng)計學院助教，碩士；研究方向：分數(shù)階偏微分方程數(shù)值解.

（責任編輯：邵曉軍）

A Circulant Preconditioned MINRES Method for Factional Diffusion Equations

QU Wei
（School ofMathematicsandStatistics，ShaoguanUniversity，Shaoguan512005，Guangdong，China）

Abstract:In this paper，a circulant preconditioned MINRES method is exploited to solve fractional diffusion equation.ItalsogivesthediscretizedschemebasedontheCrank-Nicolsonmethodandthematrix formof circulant preconditioner.Numerical experimentiscarriedouttodemonstratetheefficiencyoftheworks.

Key words:fractional diffusionequation；toeplitzmatrix；circulantpreconditioner；MINRES method；