針對統計概率題　教你如何得滿分

陳鎖林　趙志林

?

針對統計概率題教你如何得滿分

陳鎖林趙志林

統計與概率部分考題一般難度不大，雖然少數考題能力要求較高，不過分數應該是很容易拿到手的，但我們從近幾年中考閱卷發現，這部分題目的得分率并不高，同學們出現的問題主要是：會而不對、對而不全、書寫畫圖不規范、關鍵步驟缺少、答非所問、不答等，失掉了不該失的分，實在令人惋惜.

那么，面對統計與概率的考題，如何得滿分呢？

其實很簡單，在中考閱卷時，為了讓大家多得分，常采用人性化的給分原則，即在題目所考查的知識點中，每個點都事先給定了分數，你答出幾點，就得多少分，反之，你少幾點，就會少得分，這種方法叫“分步踩點給分”.下面就以實例說明.

例1（2015·鎮江）活動1：在一只不透明的口袋中裝有標號為1，2，3的3個小球，這些球除標號外都相同，充分攪勻，甲、乙、丙三位同學以丙→甲→乙的順序依次從袋中各摸出一個球（不放回），摸到1號球勝出，計算甲勝出的概率.（注：丙→甲→乙表示丙第一個摸球，甲第二個摸球，乙最后一個摸球）

活動2：在一只不透明的口袋中裝有標號為1，2，3，4的4個小球，這些球除標號外都相同，充分攪勻，請你對甲、乙、丙三名同學規定一個摸球順序：_______→_______→_______，他們按這個順序從袋中各摸出一個球（不放回），摸到1號球勝出，則第一個摸球的同學勝出的概率等于_______，最后一個摸球的同學勝出的概率等于_______.

猜想：在一只不透明的口袋中裝有標號為1，2，3，…，n（n為正整數）的n個小球，這些球除標號外都相同，充分攪勻，甲、乙、丙三名同學從袋中各摸出一個球（不放回），摸到1號球勝出，猜想：這三名同學每人勝出的概率之間的大小關系.

你還能得到什么活動經驗？（寫出一個即可）

【思維切入】（1）畫出樹狀圖，通過計算判斷出甲勝出的概率是多少即可.

（2）首先對甲、乙、丙三名同學規定一個摸球順序，在此以丙→甲→乙為例，然后畫出樹狀圖，判斷出第一個摸球的丙同學和最后一個摸球的乙同學勝出的概率各等于多少即可.

（3）首先根據（1）（2），猜想這三名同學每人勝出的概率之間的大小關系為：P（甲勝出）=P（乙勝出）=P（丙勝出），然后總結出得到的活動經驗為：抽簽是公平的，與順序無關.

【解答】（1）如圖1，

圖1

甲勝出的概率為：

（2）對甲、乙、丙三名同學規定一個摸球順序：丙→甲→乙，畫樹狀圖，如圖2，

圖2

（3）這三名同學每人勝出的概率之間的大小關系為：P（甲勝出）=P（乙勝出）=P（丙勝出）.

得到的活動經驗為：抽簽是公平的，與順序無關.（答案不唯一）（7分）

【踩點得分提示】本題滿分為7分.閱卷時，我們把這7分細化到三問，即活動一2分，活動二3分，猜想2分.這道題對同學們的要求還是比較高的，需要大家能從活動一的解答中獲得提示，在解決活動二時，先定摸球順序，再畫圖、計算、判斷，得到正確結論.對于第三問的猜想，不但要求大家對知識有深刻的理解，還要能根據上面兩個活動正確猜想，需要有一定的歸納能力、數學論證能力、完整書面表達能力等.答題時，同學們除了要注意解題是否規范、書寫是否完整等問題外，還要注意：解題過程中所畫的樹狀圖要清晰，活動二的結論要填到題目中的空格內，第三問猜想的結論要精準，對活動經驗的總結要簡潔明了、符合數學原理.另外，本題選用畫樹狀圖法將極大方便問題的解決.

統計類考題一般會出現相關圖表，而概率類問題一般需要我們制作圖表來分析、解決問題，學會讀圖、用圖、制圖就是解決此類問題的鑰匙.下面，我們舉幾個例子來學習如何利用圖表來解題.

例2（2015·南京）某工程隊有14名員工，他們的工種及相應每人每月工資如下表所示：

工種　人數　每人每月工資/元電工　5　7 000木工　4　6 000瓦工　5　5 000

現該工程隊進行了人員調整：減少木工2名，增加電工、瓦工各1名，與調整前相比，該工程隊員每月工資的方差_______（填“變小”、“不變”或“變大”）.

【思維切入】從圖表中我們發現，人員的變化并沒有使平均數發生變化，所以根據方差的概念，我們只要考慮變化前后數據與平均數差值平方的變化情況即可.

【解答】∵減少木工2名，增加電工、瓦工各1名，∴這組數據的平均數不變，但是每個數據減去平均數后平方和增大，則該工程隊員每月工資的方差變大.故答案為：變大.

【踩點得分提示】本題考查同學們對平均數和方差概念的理解.在解決本題時，并不需要求出方差的具體數值再進行比較，而是體會方差隨整體數據在平均數上下的變化情況.正確解答本題一是讀懂表格，用增減法判斷出平均數不變；二是通過讀表格，發現相對平均數來說，“大”數據（電工）和“小”（瓦工）數據都有所增加，所以離散程度變大，從而方差變大.

例3（2015·鄂州）為了解某社區居民的用電情況，隨機對該社區10戶居民進行調查，下表是這10戶居民2015年4月份用電量的調查結果：

居民（戶）　1　2　3　4月用電量（度/戶）　30　42　50　51

那么關于這10戶居民月用電量（單位：度），下列說法錯誤的是（）.

A.中位數是50度B.眾數是51度

C.平均數是43.5度D.極差是21度

【思維切入】首先是要讀懂表格，表格的第一行表示的是用電量為第二行各度數的戶數，而不是表示的第幾戶，接著可以根據統計的有關概念來解決問題.

【解答】共計10戶，中位數應是從大到小或從小到大排列的第5戶50度和第6戶50度的平均數，所以中位數是50度，故A正確；眾數是51度，故B正確；極差是21度，故D正確.而平均數應是46.8，故C錯誤.

【踩點得分提示】本題主要是考查同學們在正確閱讀圖表的基礎上，利用統計概念解決問題，關鍵是讀懂“居民（戶）”表示的意義.

例4（2015·孝感）2015年1月，市教育局在全市中小學中選取了63所學校，從學生的思想品德、學業水平、學業負擔、身心發展和興趣特長五個維度進行了綜合評價.評價小組在選取的某中學七年級全體學生中隨機抽取了若干名學生進行問卷調查，了解他們每天在課外用于學習的時間，并繪制成如下不完整的統計圖.

根據上述信息，解答下列問題：

（1）本次抽取的學生人數是________，扇形統計圖中的圓心角α等于_________，補全統計直方圖.

（2）被抽取的學生還要進行一次50米跑測試，每5人一組進行.在隨機分組時，小紅、小花兩名女生被分到同一個小組，請用列表法或畫樹狀圖求出她倆在抽道次時抽在相鄰兩道的概率.

【思維切入】對比直方圖和扇形統計圖，樣本的各組數據是一一對應的，3～4小時這組即是問題的突破口，根據本組人數和占比即可求出樣本容量；α的度數可以根據2～3小時這組在樣本中的占比求得；小紅、小花抽在相鄰兩道的概率通過列表或者畫樹狀圖來求得.

【解答】（1）6÷20%=30，（30-3-7-6-2）÷30×360°=12÷30×360°=144°，扇形統計圖中的圓心角α等于144°.

補全統計直方圖如圖所示：

（2）設豎列為小紅抽取的跑道，橫排為小花抽取的跑道，根據題意列表如下：

記小紅和小花抽在相鄰兩道這個事件為A，

【踩點得分提示】本題考查了列表法和畫樹狀圖法求概率，頻數分布直方圖，扇形統計圖.首先要正確地識圖，清楚直方圖和扇形統計圖之間的對應關系，找到問題的突破點是解題的關鍵.

總而言之，因為考點多、分值分散，失掉1分會嚴重影響答題的得分率，所以做統計概率題，踩點得分很重要，特別是讀圖畫圖時，記住把題中信息在圖中標出或畫出，把圖表中信息寫出來，想到多少寫多少，這樣不但可方便自己解題，特別是萬一遇上一個沒把握全解出來的問題，還可讓閱卷老師從中尋找得分點、踩點給分.

（作者單位：江蘇省鎮江市宜城中學、江蘇省鎮江新區教育發展中心）