“圓”中錯解，你有過嗎？

趙萍萍

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“圓”中錯解，你有過嗎？

趙萍萍

圓的學習，概念繁多，性質與判定交叉復雜，不少定理又有限制條件或前提條件，而且圓還具有多種對稱性質，使得與圓有關的角、弦等位置關系充滿著多種可能性，初學圓或綜合起來解圓的習題時，有些同學就容易混淆概念或忽略不同情形，造成漏解、錯解，下面我們做一些易錯題盤點.

易錯點1一條弦所對圓周角的值有兩個，忽略其中一個

例1在半徑為r的圓內，求長為r的弦所對的圓周角.

【錯解】如圖1所示，⊙O的半徑為r，AB= r，∠ACB為弦AB所對的圓周角，連接OA，OB，則OA=OB=AB=r，

∴△OAB為等邊三角形，

∴∠AOB=60°，

圖1

圖2

【錯解分析】產生錯解的原因是只考慮了長為r的弦所對的圓周角的頂點在優弧上，卻忽略了圓周角的頂點在劣弧上的情況.

【正解】如圖1，當圓周角的頂點在優弧上時，同上；如圖2，當圓周角的頂點在劣弧上時，∠ACB=180°-30°=150°.

易錯點2證明切線時理由不充足，表達不規范

例2 如圖3，已知△ABC中，∠C=90°，AC=BC，D，E分別是AC，BC的中點，⊙O是△DCE的外接圓.求證：AB是⊙O的切線.

圖3

【錯解】連接CO并延長交直線AB于F，

∵AC=BC，D，E分別為AC，BC之中點，

∴DC=EC=AD=BE，

∴DE∥AB，

∴O為CF中點，即有OF=OC，

∴AB為⊙O的切線.

【錯解分析】證明中雖有OF=OC，但沒有說明OF是圓心到直線的距離，理由不充足.

【正解】連接CO并延長交直線AB于F，

∵∠C=90°，∴DE為直徑，點O在DE上.

∵AC=BC，D，E分別是AC，BC的中點，

∴CD=CE，DE∥AB，

∴O為CF中點，即OC=OF.

∵DE為⊙O的直徑，OD=OE，

∴CO⊥DE，

∴OF⊥AB，

故AB為⊙O的切線.

易錯點3當兩圓相切時，只考慮一種情況造成漏解

例3半徑分別為1 cm和2 cm的兩圓外切，那么與這兩圓都相切且半徑為3 cm的圓的個數有（）.

A.2個B.3個

C.4個D.5個

【錯解】A或C.

【錯解分析】錯選A的原因是只考慮所求圓與已知兩圓外切的情形；錯選C的原因是考慮所求圓與已知兩圓都外切的情形，以及與其中一圓內切、另一圓外切的情形，漏掉了與兩圓都內切的情形.所求圓與已知兩圓的位置關系有五種情形：與兩個圓都外切，符合條件的圓有兩個；與其中一個內切，另一個外切，符合條件的圓也有兩個；與兩個都內切，符合條件的圓只有一個.

【正解】D.

易錯點4滾動問題中弧長的計算出錯

例4一個小朋友在粗糙不滑動的“Z”字型平面軌道上滾動一個半徑為10 cm的圓盤，如圖4所示，AB與CD是水平的，BC與水平面的夾角為60°，其中AB=60 cm，CD= 40 cm，BC=40 cm，請你作出該小朋友將圓盤從A點滾動到D點其圓心所經過的路線的示意圖，并求出此路線的長度.

圖4

【錯解】此路線的長度為AB+BC+CD= 60+40+40=140（cm）.

【錯解分析】如圖5所示，圓盤在滾動過程中圓心經過的路線由四段組成，第一段：線段OO1，第二段：線段O1O2，第三段：O2到O3的一段圓弧，第四段：線段O3O4.顯然路線長度不是線段AB、BC、CD的長度之和.

圖5

【正解】由點O1分別作O1E⊥AB，O1F⊥BC，可得∠O1BE=∠O1BF=60°，

在Rt△O1BE中，

由BE=BF得，

由∠O2CO3=360°-120°-2×90°=60°，

O3O4=CD=40.

所以，圓盤從A點滾動到D點其圓心所經過的路線的長度是

小試身手

1.（2015·黑龍江）如圖6，⊙O的半徑是2，AB是⊙O的弦，點P是弦AB上的動點，且1≤OP≤2，則弦AB所對的圓周角的度數是（）.

A.60°B.120°

C.60°或120°D.30°或150°

圖6

圖7

2.（2015·南京）如圖7，在矩形ABCD中，AB=4，AD=5，AD、AB、BC分別與⊙O相切于E、F、G三點，過點D作⊙O的切線交BC于點M，則DM的長為（）.

參考答案

1.C

2.A解：如圖8，連接OE，OF，OG，

圖8

則根據矩形和切線的性質知，四邊形AEOF，FOGB都是正方形.

∵AB=4，

∴AE=AF=BF=BG=2.

∵AD=5，

∴DE=DN=3.

設GM=NM=x，

則CM=BC-BG-GM=3-x，DM=DN+NM= 3+x.

在Rt△CDM中，由勾股定理得：

DM2=CD2+CM2，即（3+x）2=42+（3-x）2，

故選A.

（作者單位：江蘇省南通市第一初級中學）