如何計算扇形相關陰影面積？

王小林

?

如何計算扇形相關陰影面積？

王小林

與扇形相關的陰影面積求解是中考必考知識點，常常需要構造圖形，將陰影面積轉化.下面結合兩道考題講解思路.

例1（2015·無錫）已知：如圖1，AB為⊙O的直徑，點C、D在⊙O上，且BC=6 cm，AC=8 cm，∠ABD=45°.

（1）求BD的長；

（2）求圖中陰影部分的面積.

圖1

圖2

【思路講解】（1）由AB為⊙O的直徑，得到∠ACB=90°，由勾股定理求得AB.連接OD，得到等腰直角三角形，根據勾股定理即可得到結論.

（2）根據轉換思想，連接OD，應用S陰影= S扇形OBD-S△OBD即可得到結論.

【規范解答】（1）如圖2，連接OD，

∵AB為⊙O的直徑，∴∠ACB=90°.

∵BC=6，AC=8，

∴AB=10，∴OB=5.

∵OD=OB，∠ABD=45°，

∴∠ODB=∠ABD=45°，∴∠BOD=90°.

【反思回顧】第（2）問“月牙形”陰影面積求解需要一種典型的轉化，即用扇形面積減去一個三角形面積.我們還可進一步提出追問：連接AD，求四邊形ACBD的面積.

例2（2015·南通）如圖3，PA，PB分別與⊙O相切于A，B兩點，∠ACB= 60°.

（1）求∠P的度數；

圖3

（2）若⊙O的半徑長為4 cm，求圖中陰影部分的面積.

【思路講解】（1）連接OA、OB，由PA與PB都為圓O的切線，利用切線的性質得到OA垂直于AP，OB垂直于BP，可得出兩個角為直角.再由同弧所對的圓心角等于其所對圓周角的2倍，由已知∠C的度數求出∠AOB的度數，在四邊形PAOB中，根據四邊形的內角和定理即可求出∠P的度數.

（2）作輔助線“連接OA、OB、OP”，由S陰影=2S△AOP-S扇形AOB求得結果.

【規范解答】（1）如圖4，連接OA、OB，

圖4

∵PA、PB是⊙O的切線，

∴OA⊥AP，OB⊥BP.

∴∠OAP=∠OBP=90°.

又∵∠AOB=2∠C=120°，

∴∠P=360°-（90°+90°+120°）=60°.

（2）如圖4，連接OP，

∵PA、PB是⊙O的切線，

【反思回顧】這道幾何題的模型是教材上關于切線長的圖形，輔助線雖然添加3條，但都是常規要求，如半徑OA，OB，而另一條PO是∠APB的平分線，從軸對稱的角度來認識容易受到對稱美的啟示.

（作者單位：江蘇省蘇州工業園區青劍湖學校）