洞察結構：“中點四邊形”變著花樣考

王芳

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洞察結構：“中點四邊形”變著花樣考

王芳

在四邊形解題過程中，同學們一定對“中點四邊形”有著深刻的印象，它的確是中考試卷中的寵兒，熟悉它的結構和常見變式對于迅速貫通解題思路有著非常重要的作用.下面選兩道考題，與同學們一起思考.

例1（2015·無錫）如圖1，已知矩形ABCD的對角線長為8 cm，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點，則四邊形EFGH的周長等于_______cm.

圖1

圖2

【思路講解】一般思路是連接AC、BD，如圖2，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴AC=BD=8（cm），

∵E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點，

∴四邊形EFGH的周長等于4+4+4+4= 16（cm）.

然而，根據我們的教學經驗，常常發現不少優秀學生只要3秒就能搞定這樣的考題.他們第1秒首先識別確認這是矩形的中點四邊形問題，則該中點四邊形EFGH是菱形；第2秒連接對角線AC，BD，確認AC= BD=8 cm；第3秒則利用三角形中位線性質得出EF=4 cm，從而得出菱形EFGH周長為16 cm.

【回顧反思】上面我們講解的“優秀學生的思路”你理解嗎？你是否用的是這樣的方法呢？事實上，對于惜時如金的考場，誰在這些基礎題、熟悉題的解題速度上勝出，誰就贏得了更多的時間去突破攻克把關題.

例2（2015·南京）如圖3，AB∥CD，點E，F分別在AB，CD上，連接EF，∠AEF、∠CFE的平分線交于點G，∠BEF、∠DFE的平分線交于點H.

（1）求證：四邊形EGFH是矩形；

圖3

（2）小明在完成（1）的證明后繼續進行了探索，過G作MN∥EF，分別交AB，CD于點M，N，過H作PQ∥EF，分別交AB，CD于點P，Q，得到四邊形MNQP，此時，他猜想四邊形MNQP是菱形，請在下列框中補全他的證明思路.

由AB∥CD，MN∥EF，PQ∥EF，易證四邊形MNQP是平行四邊形，要證平行四邊形MNQP是菱形，只要證MN=NQ，由已知條件______________，MN∥EF，故只要證GM=FQ，即證△MGE≌△QFH，易證____________ ________，_________________，故只要證∠MGE=∠QFH，易證∠MGE=∠GEF，∠QFH=∠EFH，_______________，即可得證.

【思路講解】

（1）利用角平分線的定義結合平行線的性質得出∠FEH+∠EFH=90°，進而得出∠GEH=90°，進而求出四邊形EGFH是矩形；

（2）利用菱形的判定方法首先得出要證?MNQP是菱形，只要證MN=NQ，再證∠MGE=∠QFH得出即可.

∵∠FEH+∠EFH+∠EHF=180°，

∴∠EHF=180°-（∠FEH+∠EFH）

=180°-90°=90°，

同理可得：∠EGF=90°.∵EG平分∠AEF，∵EH平分∠BEF，

∵點A、E、B在同一條直線上，

∴∠AEB=180°，即∠AEF+∠BEF=180°，

∴四邊形EGFH是矩形.

（2）解：答案不唯一：

由AB∥CD，MN∥EF，PQ∥EF，易證四邊形MNQP是平行四邊形，

要證?MNQP是菱形，只要證MN=NQ，由已知條件：FG平分∠CFE，MN∥EF，

故只要證GM=FQ，即證△MGE≌△QFH，易證GE=FH，∠GME=∠FQH.

故只要證∠MGE=∠QFH，易證∠MGE= ∠GEF，∠QFH=∠EFH，∠GEF=∠EFH，即可得證.

【反思回顧】事實上，這道考題是把同學們熟悉的中點四邊形改編呈現，原命題如果看作：菱形MNQP的中點四邊形EGFH是矩形，這道考題的本質就是要求同學們回答：中點四邊形EGFH是矩形時，原四邊形（易證平行四邊形）是菱形.搞清問題的本質后，我們也可提出如下問題，供同學們繼續思考：

（3）連接MQ，NP，求證：MQ、NP互相垂直平分；

（4）連接MQ，設MQ交EF于O，O是否為矩形EGFH的對稱中心？為什么？

（作者單位：江蘇省海安縣城南實驗中學）