一步之遙：平行四邊形怎樣更特殊？

鄧厚波

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一步之遙：平行四邊形怎樣更特殊？

鄧厚波

由于中考試卷題量限制，解答題中的平行四邊形考題常常設計2～3個小問，而在第2小問往往會增加強化條件，使得圖形更加特殊，引導探究走向深入.也有一類考題將條件開放，要求考生經過分析，填出條件并證明，請看兩例：

例1（2015·徐州）如圖1，點A，B，C，D在同一條直線上，點E，F分別在直線AD的兩側，且AE=DF，∠A=∠D，AB=DC.

圖1

（1）求證：四邊形BFCE是平行四邊形；

（2）若AD=10，EC=3，∠EBD=60°，則AB=_______時，四邊形BFCE是菱形.

【思路講解】

（1）由已知，根據SAS證明△ABE≌△DCF，從而得到BE=CF，∠ABE=∠DCF，根據等角的補角相等得到∠EBC=∠FCB，根據內錯角相等兩直線平行的判定得到EB∥CF，進而根據“一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形”而得證.

（2）若四邊形BFCE是菱形，則EB=EC，∵∠EBD=60°，∴△EBC是等邊三角形.

∵EC=3，∴BC=EC=3.

【規范解答】

（1）∵AE=DF，∠A=∠D，AB=DC，

∴△ABE≌△DCF（SAS），

∴BE=CF，∠ABE=∠DCF，

∴∠EBC=∠FCB，∴EB∥CF，

∴四邊形BFCE是平行四邊形.

（2）3.5.

【反思回顧】這道考題涉及全等三角形的判定和性質、平行的判定、平行四邊形的判定、菱形的性質與判定等知識點，第（2）問條件開放，可以由菱形的性質向上“反推”獲得思路.

例2（2015·鎮江）如圖2，菱形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，分別延長OA，OC到點E，F，使AE=CF，依次連接B，F，D，E各點.

圖2

（1）求證：△BAE≌△BCF；

（2）若∠ABC=50°，則當∠EBA=______°時，四邊形BFDE是正方形.

【思路講解】（1）由題意易證∠BAE=∠BCF，又因為BA=BC，AE=CF，于是可證△BAE≌△BCF.

【規范解答】

（1）證明：∵菱形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，

∴AB=BC，∠BAC=∠BCA，

∴∠BAE=∠BCF，

在△BAE與△BCF中，

∴△BAE≌△BCF（SAS）.

（2）∵四邊形BFDE對角線互相垂直平分，

∴只要∠EBF=90°即得四邊形BFDE是正方形，

∵△BAE≌△BCF，

∴∠EBA=∠FBC，

又∵∠ABC=50°，

∴∠EBA+∠FBC=40°，

故答案為：20.

【反思回顧】本題考查菱形的性質、全等三角形的判定和性質、正方形的判定.第（2）問是條件開放，其實需要“執果索因”，即由正方形出發，向上推理，最終發現待求角度，最后解出20°后，還可再由20°向下推理，看是否能推證出正方形，這也是所謂多角度驗證和校對，確保解題正確無誤.

（作者單位：江蘇省海安縣城南實驗中學）