巧用面積法解決問題

劉國(guó)成

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巧用面積法解決問題

劉國(guó)成

面積法解決幾何問題是一種常用的重要方法，巧用面積法解題有時(shí)顯得特別簡(jiǎn)捷，有出奇制勝、事半功倍之效.現(xiàn)就幾種類型舉例說明，供同學(xué)們參考.

一、巧用面積法求線段長(zhǎng)

圖1

例1 如圖1，有一塊直角三角形紙片，兩直角邊AC=6，BC=8.現(xiàn)將直角邊AC沿直線AD折疊，使它落在斜邊AB上，且與AE重合，則CD的長(zhǎng)為（）.

A.4B.3C.2D.1

【分析】由折疊的性質(zhì)和勾股定理列式求出AB，從而求出BE，設(shè)CD=DE=x，表示出BD，然后在Rt△DEB中，利用勾股定理列式計(jì)算即可得解.但我們發(fā)現(xiàn)用面積法來求CD較為簡(jiǎn)便.

解：∵直角邊AC沿直線AD折疊，與AE重合，

∴CD=DE.

由S△ABC=S△ACD+S△ABD，

解得CD=3.故選B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了翻折變換的性質(zhì)，由角平分線性質(zhì)得CD=DE，再利用勾股定理的應(yīng)用，求出斜邊AB，然后由AD把Rt△ABC分成△ACD和△ADB，利用面積法建立方程求出CD=3.

二、巧用面積法證明線段相等

例2 如圖2，已知△ABC≌△A′B′C′，AD、A′D′分別是BC、B′C′邊上的高，AD和A′D′相等嗎？請(qǐng)說明理由.

圖2

【分析】同學(xué)們常常用證全等的方法來說明兩條線段相等.我們也可根據(jù)三角形的高，聯(lián)想到用三角形的面積來說明線段相等.

解：AD=A′D′.理由如下：

∵△ABC≌△A′B′C′，

∴S△ABC=S△A′B′C′，CB=C′B′，

∵AD、A′D′分別是BC、B′C′邊上的高，

∴AD=A′D′.

【點(diǎn)評(píng)】這種方法簡(jiǎn)潔明了.如果出現(xiàn)了高，要聯(lián)想三角形的面積，有時(shí)會(huì)出現(xiàn)事半功倍的效果.

三、巧用面積法證明線段比相等

圖3

例3如圖3，AD是△ABC的角平分線.求證：AB∶AC=BD∶DC.

【分析】本題我們可采用過C作AD的平行線，用平行線分線段成比例來證明，但由于AD是△ABC的角平分線，我們想到AD上的點(diǎn)到角兩邊距離相等，再想到三角形的面積，思路更為簡(jiǎn)潔.

證明：過D點(diǎn)作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E、F.

∵AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，DF⊥AC，

∴DE=DF，則有S△ABD∶S△ACD=AB∶AC.

過A點(diǎn)作AH⊥BC，垂足為H，

則有S△ABD∶S△ACD=BD∶DC.

∴AB∶AC=BD∶DC.

【點(diǎn)評(píng)】本題要證明線段的比相等，正常的思路是用相似來解決問題，但我們用面積法來證明則更加簡(jiǎn)單明了.

四、巧用面積法證明線段和差

例4（2014·鹽城，有刪減）【問題情境】張老師給愛好學(xué)習(xí)的小軍和小俊提出這樣一個(gè)問題：如圖4，在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)P為邊BC上的任一點(diǎn)，過點(diǎn)P作PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分別為D、E，過點(diǎn)C作CF⊥AB，垂足為F.求證：PD+PE=CF.

圖4

圖5

小軍的證明思路是：如圖5，連接AP，由△ABP與△ACP面積之和等于△ABC的面積可以證得：PD+PE=CF.

小俊的證明思路是：如圖5，過點(diǎn)P作PG⊥CF，垂足為G，可以證得：PD=GF，PE= CG，則PD+PE=CF.

請(qǐng)完成小軍和小俊的證明過程.

【變式探究】如圖6，當(dāng)點(diǎn)P在BC延長(zhǎng)線上時(shí)，其余條件不變，求證：PD-PE=CF.

圖6

【分析】【問題情境】如圖5，按照小軍、小俊的證明思路即可解決問題.

【變式探究】如圖6，借鑒小軍、小俊的證明思路即可解決問題.但細(xì)細(xì)閱讀可知小軍的解答思路簡(jiǎn)潔，用面積法出奇制勝，節(jié)約時(shí)間.

證明：【問題情境】（小軍）連接AP，如圖5，

∵PD⊥AB，PE⊥AC，CF⊥AB，

且S△ABC=S△ABP+S△ACP，

∵AB=AC，∴CF=PD+PE.

（小?。┻^點(diǎn)P作PG⊥CF，垂足為G，如圖5.

先證明：△PGC≌△CEP（AAS），

∴CG=PE，

∴CF=CG+FG=PE+PD.

【變式探究】

（小軍）連接AP，如圖6.

∵PD⊥AB，PE⊥AC，CF⊥AB，

且S△ABC=S△ABP-S△ACP，

∵AB=AC，∴CF=PD-PE.

（小俊）過點(diǎn)C作CG⊥DP，垂足為G，如圖6.

易證：△CGP≌△CEP（AAS），

∴PG=PE，

∴CF=DG=DP-PG=DP-PE.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了矩形的性質(zhì)與判定、等腰三角形的性質(zhì)與判定、全等三角形的性質(zhì)與判定.考查了用面積法證明幾何問題，考查了運(yùn)用已有的經(jīng)驗(yàn)解決問題的能力.在解題中，如遇有多條垂線就可聯(lián)想到用三角形的面積，巧妙地將三角形的面積分解成幾個(gè)三角形面積的和或差解題較為簡(jiǎn)便.

面積法不僅可以巧妙地求出線段的長(zhǎng)、證明線段相等、證明線段比相等、求線段和差，而且可以從一點(diǎn)到一個(gè)角的兩邊的距離相等，證明這個(gè)點(diǎn)在角平分線上，希望同學(xué)們加以體會(huì)，細(xì)心研究，靈活應(yīng)用面積法解題.

（作者單位：江蘇省鹽城市明達(dá)中學(xué)）