探討類比推理法在高中數學學習中的運用

申迪揚

（湖南省長沙市雅禮中學 湖南長沙 410007）

探討類比推理法在高中數學學習中的運用

申迪揚

（湖南省長沙市雅禮中學 湖南長沙 410007）

類比推理法是科學研究中常用的方法之一，是現代數學方法論的重要組成部分。在高中數學學習中，經常巧妙運用類比推理法，可以幫助我們貫通知識間的聯系，使知識脈絡縱橫交融，形成系統的知識網絡，構建出良好的認知結構。本文主要針對類比推理法進行概述，并在此基礎上探討其在高中數學中的運用。

探討；高中數學；類比推理法；運用

在近代的科技發明中，類比推理法應用得特別多。如近代仿生學就是用“生物機制”作類比，從而設計出滑翔機和飛機、潛水艇、挖掘機……在高中數學學習中，經常巧妙運用類比推理法，可以幫助我們貫通知識間的聯系，使知識脈絡縱橫交融，形成系統的知識網絡，構建出良好的認知結構。

1 類比推理法概述

G·波利亞指出：“類比是某種類型的相似性……是一種更確定的和更概念的相似。”所謂類比推理，是根據兩個或兩類對象有部分屬性相同，從而推出它們的其他屬性也相同的推理，簡稱類推、類比。該方法的關鍵思路，是以關于兩個事物某些屬性相同的判斷為前提，推出兩個事物的其他屬性也具有相同的結論的推理。

2 類比推理法的重要作用

心理學研究認為，孤立的知識容易遺忘，而系統化的知識有利于理解和掌握，也易于遷移和靈活運用。同時，類比推理法也有利于深化知識的理解和研究，有利于學習能力的轉化及解題能力的提升。類比推理法不單是從特殊到特殊的推理方式，同時也能在數學問題的解決中探索出解題的突破口，猜測出問題的結論，發現問題的思維方法。類比推理法有助于在原有的知識體系上，對新的問題進行對比分析，發現相似點以及內在規律，從而解決更多難度更大的問題。在高中數學解題中，使用類比推理法，不僅能夠看到問題的本質，還能想到解決問題的根本途徑，同時形成創新意識。

3 高中數學中的類比推理法運用

3.1 數與形的類比

思考與分析：從要證明的等式的形式看，很像一個三角推論公式：

tanA＋tanB＋tanC=tanA·tanB·tanC（A+B+C=nπ）

3.2 橢圓與雙曲線的類比

3.3 平面與空間的類比

例3設ΔABC的三邊長分別為a、b、c，ΔABC的面積為S，內切圓半徑為r，則類比這個結論可知：四面體S-ABC的四個面的面積分別為S1、S2、S3、S4，內切球半徑為r，四面體S-ABC的體積為V，則r=（ ）。思考與分析：類比中，三角形面積S對應四面體體積V，三角形三邊長對應四面體四個面面積，三邊為2，那么四面為3，故應選C。

在平面與空間的類比中，還可以通過拓展得出許多結論。如：

（1）三角形中的余弦定理可以類比推廣到空間四面體中，在任一四面體中，它的一個面面積的平方等于其他三個面面積的平方和，減去這三個面中每兩個面的面積與它們所夾二面角余弦的積的兩倍。

（2）由直角三角形的勾股定理c2=a2+b2可類比推理出：過長方體同一頂點出發的三條棱的另一端點與頂點構成三棱錐，三個端點構成的底面的面積的平方等于三棱錐的其他含直角的各側面面積的平方和。

（3）三角形的面積為S＝12（a＋b＋c）·r，a、b、c為三角形的邊長，r為三角形內切圓的半徑，利用類比推理，可以得到四面體的體積為V＝13（S1＋S2＋S3＋S）4（r S1、S2、S3、S4分別為四面體四個面的面積，r為四面體內切球的半徑）。

（4）類比平面內正三角形的“三邊相等，三內角相等”的性質，可推知正四面體有下列性質：

①各棱長相等，同一頂點上的任兩條棱的夾角都相等；

②各個面都是全等的正三角形，相鄰兩個面所成的二面角都相等；③各個面都是全等的正三角形，同一頂點上的任兩條棱的夾角都相等；……

3.4 等差數列與等比數列的類比

例4在等差數列{an}中，若a10＝0，則有等式a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…＋a19-n（n＜19，n∈N*）成立，類比上述性質，相應地：在等比數列{bn}中，若b9＝1，則有等式__________成立。

思考與分析：因為在等差數列中有“和”的性質a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…+a19-（nn＜19，n∈N*）成立，故在等比數列{bn}中，由b9=1，可知應有“積”的性質：

∴（2）式成立，即（1）式成立。

當n=8時，（1）式即：b9=1顯然成立；當8＜n＜17時，（1）式即：

∴（3）式成立，即（1）式成立。

綜上可知，當等比數列{bn}滿足b9=1時，有：

b1b2…bn=b1b2…b17-（nn＜17，n∈N*）成立。

3.5 有限與無限的類比

例5觀察下列等式：1=1

2+3+4=9

3+4+5+6+7=25

4+5+6+7+8+9+10=49

照此規律，第n個等式為：__________________________。

思考與分析：通過觀察，可以發現等式左邊連加的數字從1到3到5，每行遞增2個，且第一個數字也代表這個等式是第幾排，那么根據類比推理找出左邊的規律為n+（n+1）+（n+2）+……+[n+（2n-1）-1]；右邊的數字的都是完全平方數，且為12、32、52……的規律，即為（2n-1）2。于是我們能很快得出結論是：第n個等式為n+（n+1）+（n+2）+……+[n+（2n-1）-1]=（2n-1）2。

4 結語

需要注意的是，類比法在結論探究上只是一種推測，就像從適合人類生存的地球類比推測火星也適合人類生存一樣，所得的結論是否正確需要去證明。但是，類比推理法的運用，既開拓了我們的思路，讓我們在學習的過程中更巧妙的掌握了知識，又可以讓我們熟悉這一科學研究常用的方法，便于在以后的科研路上探索更多、更新的未知世界。

[1]徐利治.徐利治談數學方法論[M].大連：大連理工大學出版社，2008：34～45.

[2]衡國強.類比推理在高中數學教學中的應用與實踐[J].教育學文摘，2013（10）：86.

[3]葉立軍.數學方法論[M].杭州：浙江大學出版社，2008：256～264.

G633.6

A

1004-7344（2016）26-0051-02

2016-8-25