淺談分類討論思想在中學數學中的應用

何昌云（甘肅省臨夏回族自治州和政中學）

淺談分類討論思想在中學數學中的應用

何昌云
（甘肅省臨夏回族自治州和政中學）

分類討論思想是解決問題的一種邏輯方法，也是一種數學思想，這種思想在簡化研究對象、發展思維方面起著重要作用，因此，有關分類討論的思想的數學命題在高考試題中占有重要地位.

分類討論思想；中學數學；應用

所謂分類討論，就是在研究和解決數學問題時，當問題所給對象不能進行統一研究，我們就需要根據數學對象的本質屬性的相同點和不同點，將對象區分為不同種類，然后逐類進行研究和解決，最后綜合各類結果得到整個問題的解決，這一思想方法，我們稱之為“分類討論的思想”.下面分析一下分類討論思想在中學數學中的應用.

一、分類討論思想在集合中的應用

解∵A=｛x-2≤x≤a｝，

∴B=｛y y=2x+3，x∈A｝

=｛y-1≤y≤2a+3｝.

與-2≤a≤0矛盾.

解得-1≤a≤3，

故2＜a≤3.

二、分類討論思想在函數中的應用

例2.已知函數f（x）=2x2-2ax+3在區間［-1，1］上有最小值，記作g（a），求g（a）的函數表達式.

在x=-1時，g（a）=2a+5；

（2）當-1＜a＜1時，即-2＜a＜2時，2

在x=1時，g（a）=5-2a；

三、分類討論思想在不等式中的應用

例3.解關于x的不等式x2-（a+a2）x+a3＞0.

四、分類討論思想在排列組合中的應用

例4.在正方體的頂點中，12條棱的中點，6個面的中心及正方體的中心共27個點中，共線的三點組的個數是多少？

解：依題意，共線的三點組可以分為三類：

所以總共有28+3+18=49（個）。

五、分類討論思想在數列中的應用

例5.已知數列1，2x，3x2，4x2，……，求它的前n項和.

分析：本題未指明數列為等比數列，所以分類討論時還要考慮x=0這一情況.

解：設Sn=1+2x+3x2+…+nxn-1，

（1）當x=0時，Sn=1；

（3）當x≠0且x≠1時，

由Sn=1+2x+3x2+…+nxn-1，

得xSn=x+2x2+3x3+…+（n-1）xn-1+nxn，

兩式相減：

綜上所述：

通過探討分類討論思想在中學數學中集合、函數、不等式，排列組合等中的應用，我們應用正確的分類討論思想，對不同情況進行分類研究，使問題化整為零，各個擊破，再積零為整，從而使復雜的問題得到清晰、完整、嚴密的解答.所以，在教學中教師應該滲透分類討論的思想，讓學生充分感受并掌握這種思想.

［1］郭可銀.談分類討論思想方法在解題中的應用：高中版［M］.高等教育出版社，2005-04.

［2］劉文武.中學數學中重要的數學思想：分類討論思想［M］.科學出版社，2003-11.

·編輯 薄躍華