輔助函數在高職數學微分教學中的應用

楊文貴 趙青波

（三門峽職業技術學院公共教學部，河南 三門峽 472000）

輔助函數在高職數學微分教學中的應用

楊文貴 趙青波

（三門峽職業技術學院公共教學部，河南 三門峽 472000）

高職院校的學生的基礎和學習能力相對來說比較差，然而微分知識在高職數學教學又非常重要，那么教師就必須采用一定手段。在本文中主要介紹輔助函數在高職數學微分教學中的應用，通過已知的微分中值定理，解決一些對于高職學生來說較為困難的問題。

高職數學；微分；輔助函數

由于高職院校的學生的基礎和學習能力相對來說比較差，然而微分知識的高職數學教學又非常重要，在高職微分一些知識教學中，如果教師采用直接講授方法進行講授的話，學生可能無法接受，所以教師必須采取一些新的教學方法，進行深入淺出地講解。

在這篇論文中，主要介紹利用微分中值定理來解決一些對于高職學生來說較為困難的問題。微分中值定理又稱為微分學基本定理，包含羅爾（Rolle）定理、拉格朗日（Lagrange）定理和柯西（Cauchy）中值定理等三個微分中值定理。微分中值定理是微積分教學中的核心內容，在教學上對學生有較高的要求，由此可見，微分中值定理在微分教學中的重要性。對于我們高職學生來說，盡管不要求他們能夠掌握住定理的證明，但是高職學生也應該了解它們，并掌握住它們的一些應用。

目前，存在的文獻中關于構造輔助函數的應用主要是針對數學專業的學生和本科院校的工科學生，據我了解，針對于高職學生的，還沒有相關的文獻。所以，本文針對高職數學所做的輔助函數構造的應用是新的，也是對于以前的文獻的很好補充。輔助函數即是輔助解決問題所用的函數，構造輔助函數的方法是在講授一元函數微分中值定理之后出現的一種重要方法，在文獻中從不同角度進行了論述，對于微分中值定理證明中關于輔助函數的做法也進行了討論。微分中值定理的理解和應用是教學中的難點，因此如何應用中值定理證明一些問題也給一些教師和學生帶來不少困惑，本文通過例子總結一下在教學過程中做輔助函數的一些體會，希望能引起同行的共鳴。

本文將分為三個部分進行論述：第1部分：為了方便后面的論述，我們將給出三個微分中值定理。第2部分：我們將介紹利用微分中值定理和構造一些合適輔助函數，來證明一些等式問題。在第3部分：通過一些簡單變形，同時利用微分中值定理和輔助函數，來證明一些不等式問題。最后，做一個簡短的結論。

一、基本的已知結論

在這個部分，我們主要是給出微分的三個中值定理，幾個定理在后面的運用起到了至關重要的作用。費馬引理：可設一個函數f（m）在點u0處的某一個領域內是有定義的，并且在f（u0）是有定義的，而且在f（u0）處導數存在，如果對于任意的f（u）≤f（u0）或者f（u）≥f（u0），則就有f（u0）=0。函數y=y（u）是一條連續的曲線，并且兩個端點的函數值相等，也就是說f（m）=f（n），我們可以很容易發現在函數的最高點和最低點，函數都有水平的切線，如果記該點為（a，f（a）則就有f'（a）=0現在用數學語言描述出來就是：弦MN平行x軸，即弦的斜率為零， 注意：該定理并沒有說明a的具體位置，只是說a位于開區間定義域之間某個位置，（a可以是一個，也可以是兩個或者兩個以上）微分中值定理是微分學中的重要基礎概念。當自變量的增量趨于零時，因變量的增量與自變量的增量之商的極限，在一個函數存在導數時，稱這個函數可導或者可微，可導的函數必連續，不連續的函數必不可導，導數就是一個求函數極限的過程。常數的導數為零，即如果一個函數在區間上每一點的導數為零，那就有此函數為常函數。推論1 如果在區間（m，n）上有f'（u）=0，那就有f（u）為一個常數。任意兩個點的函數值相同的函數一定為常數，此推論的幾何意義就是說，斜率都為零的曲線是一條垂直于y軸的直線。推論2 假設在（m，n）內有φ'（x）=φ'（x），則有φ'（x）=φ'（x）+c（c為常數），此推論的幾何意義就是說：φ（x）和φ（x）為兩條平行的曲線。

定理1（羅爾中值定理） 若函數f滿足如下條件：

（1）f在閉區間［a，b］上連續，

（2）f在開區間（a，b）內可導，

（3）f（a）=f（b），

則在（a，b）內至少存在一點ξ，使得

f'（ξ）=0.

定理2（拉格朗日中值定理） 若函數f滿足如下條件：

（1）f在閉區間［a，b］上連續，

（2）f在開區間（a，b）內可導，

（3）f（a）≠f（b），

則在（a，b）內至少存在一點ξ，使得

為了方便起見，我們利用輔助函數的方法給出拉格朗日中值定理的一個簡單證明。首先，我們看到拉格朗日中值定理與羅爾定理的條件就第三條不同。

根據定理2的條件，我們可以看到，F（x）在閉區間［a，b］上連續，在開區間（a，b）內可導，且F（a）=F（b）。利用羅爾定理，在（a，b）內至少存在一點ξ，使得f'（ξ）=0，即有定理2的結論。

定理3（柯西中值定理）若函數f滿足如下條件：

（1）f與g都在閉區間［a，b］上連續，

（2）f與g都在開區間（a，b）內可導，

（3）f'與g'內不同時為零，

（4）g（a）≠g（b），

則在（a，b）內至少存在一點ξ，使得

分析 需作一輔助函數F（x），滿足Rolle中值定理。

證：作輔助函數

由于f（x）和g（x）都在［a，b］，在（a，b）內可導，則f（x）在［a，b］上連續，在（a，b）內可導，且F（a）=F（b）=0.根據Rolle中值定理，有

這里必有g'（ξ）≠0.否則由上式，g'（ξ）=0也必有F'（ξ）=0，從而與定理條件

（3）相矛盾。

二、輔助函數來解決一些等式問題

主要是構造合適的輔助函數，使其滿足某一些微分學（這里主要是微分中值定理）的條件，然后根據定理可得出結論，或做些變形得出結論.

（一）積分法。

例1 設f（x）可導，試證f（x）的兩個零點之間一定有f（x）+f'（x）的零點。

分析 需構造一個輔助函數F（x），使F'（ξ）=f（ξ）+f'（ξ），或者f（ξ）+f'（ξ）是F'（ξ）的一個因子，而另一個因子非零，因為［exf（x）］'=ex［f（x）+f'（x），故可作輔助函數F（x）=exf（x）。

例2 設f（x）在［a，b］上連續，在（a，b）內可導，0＜a＜b

分析

證 作輔助函數

F（x）=xf（x），G（x）=lnx。由題設知：F（經）與G（x）在［a，b］上連續，在（a，b）內可導，滿足Cauchy中值定理的條件。

（二）常數C值法。

關于a，b，c的輪換對稱式。令b=x（或令a=x或c=x），得輔助函數

由題設與證明知：F'（x）在（ξ1，ξ2）滿足Rolle定理，所以結論得證。不等式的證明是微積分中的常見問題之一，在利用單調性證明不等式問題中，通常情況下是將不等式兩邊相減之后的函數作為輔助函數。

三、輔助函數來解決一些不等式問題

在這一部分，我們利用輔助函數來解決一些不等式。這些不等式有時看著比較簡單，但是如果不采用輔助函數證明的話，還是有一定困難的。我們主要是針對以下兩種形式的不等式，采用輔助函數進行證明。羅爾定理適合于證明導數在個別點處的值為等式的問題，即在點處使得解決這類問題的關鍵是找到這個輔助函數（即原函數）F（x），使其滿足羅爾定理的三個條件成立，需要注意的是有些問題還需要尋找滿足定理條件的閉區間。介紹用逆推法觀察得到輔助函數（原函數）和利用不定積分求出輔助函數（原函數）的方法。

（一）通過簡單變形，證明柯西中值定理可以仿照拉格朗日中值定理的證明，我們可以選取有方向的線段m的值的函數f（n）為為一個輔助的函數進行證明。函數單調性的判定定理很容易判斷較為復雜函數的單調性。從函數的圖形來看，增函數就是向上升高的函數，減函數就是函數下降的函數。從圖形的幾何意義來說，函數的斜率就是函數的一階導數，當一階導數為正時，函數圖象遞增向上；當一階導數為負時，函數的圖象也就隨之走下坡路了。換句話說，函數的增減性與一階導數聯系十分密切。

（二）不等式兩端行狀比較相似或對稱問題

例3 證明：eπ＞πe.

這樣的問題都是構造輔助函數，再根據輔助函數的單調性，便可得證此類命題。

總結

在本文中，通過利用微分中值定理和構造合適的輔助函數來解決了一些高職數學中的難題。同時我們也指出了在構造輔助函數時，要根據題目中的條件來構造輔助函數的相應方法。

［1］劉勇.高等數學中的構造輔助函數［J］.黃山學院學報.2009 （11）.

［2］李君士.兩個微分中值定理證明中輔助函數的多種作法［J］.數學的實踐與認識.2004 （34）.

［3］劉文武.兩個微分中值定理證明中輔助函數作法探討［J］.數學的實踐與識.2005（35）.

［4］朱崇軍.徐侃.微分中值定理應用中輔助函數的構造［J］.高等函授學報（自然科學版）.2008（22）.

［5］宋振云.陳少元，涂瓊霞.微分中值定理證明中輔助函數的構造［J］.高師理科學刊.2009（29）.

［6］鄭建英.高職數學［M］.高等教育出版社.2014.

foundation and learning ability of vocational college students is relatively poor， however the differential knowledge in mathematics teaching in higher vocational education is very important.So teachers must use some means， in this paper， mainly introduces the auxiliary function in the differential of higher vocational mathematics teaching should be used.The known differential mean value theorem to solve some of the higher vocational students is difficult problem.

higher vocational mathematics； differential； auxiliary function

G642

A

1671-864X（2016）07-0179-02