化折為直，巧解最值

程巨銀

（六安市皋城中學，安徽 六安 237000）

化折為直，巧解最值

程巨銀

（六安市皋城中學，安徽 六安 237000）

初中數學中，我們常會遇到這樣的一類問題：“如何求解線段之和最小？”，此類問題出現形式多樣，解題方法靈活多變，很多同學遇到后覺得比較困難，究其原因是我們找不到合適的切入口，導致思維受阻。下面筆者基于自己的教學實踐，對問題進行分類梳理，談談如何巧用圖形化折為直，妙解最值問題，希望對讀者有一定幫助。

初中數學；巧用圖形

一、兩定一動

例1（1）如圖1，已知直線l 的同側有兩個點A 、B，在直線l 上找一點P 使PA+PB最小，方法如下：作A（或者B）關于直線l的對稱點A′（或B′），連接A′ B（或B′ A）與直線l的交點即為所求。

圖1　

例1 （2）如圖2，在等邊?ABC中，D為BC 中點，P為AC上任意一點，求PB+PD最小值。

注：例1屬“兩個定點+一個動點”類問題，且兩個定點都在動點所在直線的同側，解決此類問題時，常需利用圖形的軸對稱性，將其中一個定點進行軸對稱變換（對稱軸即為動點所在直線）到直線另一側，由“兩點之間線段最短”，連接對稱點與另一點形成線段即為線段和的最小值。

二、兩動一定

解析：可先假設N為一定點，將其轉化為“兩定一動”問題，即作C 關于BD 對稱點C′，則C′在AB 上，連C′N交BD 于M ，由“兩點之間線段最短”可知CM+MN最小值=C′M+MN=C′N 。

再考慮N 是BC上一個動點，C′為AB上一個定點，由“直線外一點與直線上各點的連線中，垂線段最短”，可知當C′N′⊥BC時，C′N′最小（如圖4），即CM+MN最小，而∠C′ BN ′=45°，，∴C′N′=4

圖3　

圖4　

三、兩定兩動

解析：易求A（-3，1），B（-1，3）

作A 關于x 軸的對稱點A′（-3，-1），作B 關于y軸的對稱點B′（1，3），連A′ B′交x軸于P ，交y 軸于Q ，此時四邊形PABQ的周長為：，即為周長最小值，故A′ B′兩點確定的直線即為所求。

圖6　

圖7　

（2）如圖7，在平面直角坐標系中，A（1，2），B（5，4），在x軸上有兩點E 、F （E 點在F 點左側），且EF=1，當四邊形AEFB 周長最小時，求E點坐標。

注：本例均屬“兩個定點+兩個動點”類問題。其中（1）是兩動點中兩軸上，分別作兩個頂點關于兩軸的對稱點，由“兩點之間線段最短”，將“折線段”轉化為“直線段”。（2）中兩動點，其中一個隨另一個動，且兩動點之間距離保持不變，解決此類問題常需要借助平移將相關線段移到適當位置，使分散的條件相對集中，將兩個動點轉為一個動點，則可將問題轉化為“兩定一動”來解決。

G632

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1671-864X（2016）07-0106-01