帶常利率和相依結構更新風險模型的破產概率

蓋維丹

摘要研究了一類具有常利率及相依結構的Sparre Andersen模型， 模型中假設理賠間隔時間決定下一次理賠額的分布情況. 對一般分布情形， 利用推廣后的調節系數方程與遞歸更新技巧， 得到了此模型的最終破產概率上界的估計. 最后以理賠額和理賠間隔時間都服從指數分布的情況下的實例分析來說明該模型的有效性.

關鍵詞概率論；破產概率； 調節系數方程； Sparre Andersen模型； 相依結構

中圖分類號 O211.4；F224 文獻標識碼A

AbstractWe consider the Sparre Andersen model modified by the inclusion of constant interest force with a dependent setting where the time between two claim occurrences determines the distribution of the next size. And for the general claim sizes， the upper bound for the ultimate ruin probability is obtained by recursive techniques and adjustment coefficient equation in dependence environment. Finally， numerical experiments are presented to illustrate the validity of the model when the claim and interclaim time are exponential distribution.

Key wordsprobability theory； ruin probability； adjustment coefficient equation； Sparre Andersen model； dependence structure

1引言

近年來， 破產理論作為保險精算學的主要研究課題， 已經得到飛速的發展. 然而， 大部分文獻僅在理賠額與理賠時間間隔獨立的條件下進行研究.如王后春（2013） 利用微分分析方法， 分析了一類兩個索賠計數過程分別是獨立的廣義Erlang（2）過程的風險模型， 并得到了破產概率滿足的一個積分微分方程及邊界條件[1]. 現實中， 平穩獨立條件顯然過于苛刻， 為避免此類限制， 保險精算的理論研究者開始在風險過程中引入各種不同形式的相依結構. 謝杰華等（2007） 利用Laplace變換方法， 考慮一類具有時間相依索賠的風險模型， 模型中包含了兩種索賠： 主索賠和由它引起的副索賠， 并且副索賠可能推遲發生， 得到了該風險模型破產概率計算公式[2]； 張大偉等（2014） 通過運用Laplace 變換函數及連續形式的DicksonHipp 算子等一系列方法， 研究了保費收入過程是復合泊松過程和聚合理賠過程中理賠間隔時間和個別理賠額之間具有Boudreault中所描述的相依結構的一類更新風險模型， 推導出了該模型GerberShiu 函數及其Laplace變換函數的顯示表達式[3]； 趙明清等（2011）通過引進輔助模型方法， 討論了具有兩種副索賠的離散相依風險模型的破產前盈余和破產概率的求解方法[4]； 高珊（2008） 通過更新論證的方法， 分析了一類相依雙險種分別為Elang（2）過程及p稀疏過程的風險模型，得到了罰金折現期望滿足的積分微分方程 [5]； 谷蕊（2009） 通過鞅方法， 給出了常利率下理賠額與理賠間隔相依的風險模型的生存概率的具體表達式和破產概率的上界[6]. 在大災難保險和人壽保險等險種中， 理賠額與理賠時間間隔相依的模型比經典的Possion風險模型更能貼近實際. 例如， 對保險公司而言， 一般大額索賠發生的時間間隔比小額索賠的間隔更長.

擬在[6]模型的基礎上， 利用推廣的調節系數方程， 在只考慮Sparre Andersen模型的情況下， 得到其破產概率的上界估計.

2具有常利率及相依結構的

Sparre Andersen模型

考慮在Sparre Andersen風險模型中， 帶有常利率δ的保險公司的盈余過程Uδt，t>0時， t時刻的盈余可表示為

Uδt=ueδ t+cδt-∫t0eδt-vdSv，

其中u≥0為初始盈余， c>0為單位時間內收取的保費， δt為連續支付年金在t時刻的累積值， 即

（δ）|=∫t0eδvdv=eδt-1δδ>0，

tδ=0.

St為到t時刻的累積理賠額，St=∑Nti=1Xi， 其中Nt為計數過程，是到達t時刻的理賠總次數，假設Xi，i=1， 2，…是一獨立同分布的理賠額序列.

5結語

考慮了常利率下具有相依結構的Sparre Andersen模型，通過推廣的調節系數方程及遞歸技術得到此模型的最終破產概率上界， 并且發現結果與條件獨立情況下的結論相近. 結果表明破產概率上界也滿足更為一般的Lundberg不等式. 相較于獨立情況， 相依問題的研究更具有實際意義. 通過實例分析， 討論在指數情形下各參數對破產概率的影響. 對于觀察時為非指數分布等其它情形， 可以進一步使用其他分布來研究.

參考文獻

[1]王后春. 兩險種廣義Erlang（2）風險模型的破產概率. 工程數學學報， 2013， 30（5）： 661-672.

[2]謝杰華，鄒娓. 一類具有時間相依索賠風險模型的破產概率[J]. 中國科學院研究生院學報， 2008， 25（3）： 313-319.

[3]張大偉， 王傳玉， 方顥. 保費收入服從復合泊松過程的一類相依更新風險模型研究[J]. 貴州師范大學學報（ 自然科學版），2014，32（2）：57-61.

[4]趙明清，張偉. 具有兩種副索賠的離散相依風險模型破產問題[J].經濟數學，2011，28（2）： 44-48.

[5]高珊. 一類相依風險模型的破產問題[J]. 數學的實踐與認識， 2008， 38（22）： 40-45.

[6]谷蕊. 基于相依風險模型的若干研究[D].蘭州： 蘭州大學數學與統計學院， 2009.

[7]J CAI， D DICKON. Upper bounds for ultimate ruin probabilities in the Sparre Anderson model with interest[J]. Insurance： Mathematics and Economic. 2003， 32（1）： 61-71.