具有分紅、流動儲備金和利率的風險模型的絕對破產

張燕　趙培標

摘要建立了閾值分紅策略下具有流動儲備金、投資利率和貸款利率的復合泊松風險模型. 利用全概率公式和泰勒展式， 推導出了該模型的GerberShiu函數和絕對破產時刻的累積分紅現值期望滿足的積分微分方程及邊界條件， 借助Volterra方程， 給出了GerberShiu函數的解析表達式.

關鍵詞保險數學； GerberShiu函數； 積分—微分方程； 分紅； 流動儲備金

中圖分類號O211.6 文獻標識碼A

AbstractThis paper studied the compound Poisson risk model with liquid reserves， credit interest and debit interest in the presence of a threshold dividend strategy. By the total law of probability and Taylor's expansion， we first obtained the integrodifferential equations with boundary conditions satisfying the GerberShiu function and presented the closed form expressions for the GerberShiu function. Secondly， we derived the integrodifferential equations with boundary conditions satisfying the expected discounted present value of all dividends until absolute ruin by employing Volterra equations.

Key wordsinsurance mathematics； Gerber-Shiu function； integro-differential equation； dividend； liquid reserves

1 引言

近年來， 常利率風險模型引起眾多學者的關注， 也得到了很多有意義的成果，例如Kalashnikov & Konstantinides（2000）[1]， Cai & Dcikson（2002）[2]， Gao & Liu（2010）[3]和Li & Lu（2013） [4].具有常利率的經典風險模型中， 保險公司在t時刻的盈余U（t）滿足

dU（t）=cdt+rU（t）dt-dS（t），t≥0， （1.1）

其中c是保費率， r是投資利率， {N（t），t≥0}是索賠計數過程， {Xi，i=1，2，…}是索賠額， 且

St=∑Nti=1Xi.

在模型（1.1）中， 當盈余大于0時， 保險公司將這些盈余全部投資到金融市場且能夠獲得投資利潤， 當盈余小于0時， 我們稱之破產. 事實上， 即使保險公司將其所有正的盈余全部進行無風險投資（或存入銀行）， 在一些銀行儲蓄業務中， 必須存入的資金超過一定的量才能獲得利息， 不一定如式（1.1）描述的只要盈余大于0就存在投資利潤. 另一方面， 保險公司不一定將所有大于0的盈余進行投資， 其可能保留一部分大于0的盈余作為流動儲備金.Embrechts&Schmidli;（1994）[5]提出了一種具有流動儲備金的風險模型， 假設當保險公司的盈余達到一定的水平Δ>0時， 才可以進行投資且超過這個值Δ的盈余部分才能獲得投資利率r. 當盈余小于Δ時，此時的盈余作為流動儲備金， 且不獲得投資利率. Cai et al （2009） [6]在模型（1.1）的基礎上增加了閾值分紅策略和流動儲備金， 進一步假設如果盈余夠大超過一個值b（≥Δ），那么超出b的那部分盈余將作為紅利以一個常值紅利率α（0≤α≤c+r（b-Δ））分給持保者， 且超出b的那部分盈余不會賺得投資利率， 研究了GerberShiu函數和破產時刻的累積分紅折現期望等量. 其它閾值分紅策略的研究可參見Lin&Pavlova;（2006）[7]， Zhang et al（2010） [8]和溫玉珍&尹傳存[9].

然而， 現實中， 當保險公司盈余小于0或出現財政赤字時， 保險公司可以以一定的貸款利率貸款以繼續維持其經營， 同時保險公司需要從保費中支取一部分資金償還貸款. 因此只要貸款利率合理， 負的盈余可能轉為正的盈余， 但是， 當負的盈余小于一定的值時， 就不可能再轉為正的盈余， 此刻絕對破產發生. 絕對破產概率是一個重要的風險尺度， 已引起眾多學者的關注， 例如Cai（2007） [10] ， Cai et al （2009） [11] 和Yu[12] .受此啟發， 在Cai et al （2009） [6]的基礎上增加投資利率， 建立存在門限分紅策略時具有流動儲備金、投資利率和貸款利率的復合泊松風險模型， 研究其Gerber—Shiu函數和到絕對破產時刻為止的累積分紅現值期望. 記D（t）為[0， t]內的所有累積分紅， 分紅后t時刻的盈余為Ub（t）=U（t）-D（t）且 Ub（0）=u. 于是， 盈余過程Ub（t）具有如下的形式

dUb（t）=c1dt+r（b-Δ）dt-dS（t），Ub（t）≥b，c2dt+r（Ub（t）-Δ）dt-dS（t），Δ≤Ub（t）

（1.2）

其中c2>0為保費率， Δ（≥0）是流動儲備金水平， b為分紅水平， 投資利率為r. 當盈余Ub（t）小于Δ時， 資產將被作為流動儲備金， 且不獲得投資利潤. 當盈余Ub（t）大于Δ時， 超過Δ的資產獲得投資利潤. 如果當盈余Ub（t）達到一個更高水平b（≥Δ）時， 超過水平b的那部分盈余則作為紅利以常數率α（0≤α≤c2+r（b-Δ））連續分紅給保單持有者， 且其不再獲得投資利潤， 此時的保費率可以看作為c1=c2-α>0. 如果盈余Ub（t）介于Δ與b之間， 此時沒有分紅， 但超過Δ的那部分盈余獲得投資利潤.然而， 當盈余Ub（t）小于0時， 允許保險公司以貸款利率δ（δ≥r>0）向銀行貸款以維持經營， 同時保險公司需要從保費中支取一部分資金償還貸款， 當盈余達到或低于-c2/δ時， 保險公司的盈余不可能由負轉正，此時其已無能力償還貸款， 絕對破產發生.

假設N（t），t≥0為服從參數為λ的Poisson過程， Xi，i=1，2，…是獨立同分布的非負隨機變量序列， 分布函數為P（x），密度函數為p（x），且N（t），t≥0和Xi，i=1，2，…相互獨立.為保證保險公司運行上的安全， 假定安全負載條件為c2>λEXi且c2-α+r（b-Δ）>λEXi.

4結論

在閾值分紅策略下研究了具有流動儲備金、投資利率和貸款利率的復合泊松風險過程的GerberShiu函數和分紅問題. 利用全概率公式和泰勒展式， 得到了GerberShiu函數和絕對破產時刻的累積分紅現值期望滿足的積分—微分方程及邊界條件， 并借助Volterra方程， 給出了GerberShiu函數的解析表達式. 進一步，當索賠額變量服從確定確定分布時，例如指數分布， 可以推導出絕對破產時刻的累積分紅現值期的精確表達式. 考慮到市場經濟的波動和一些不確定因素的影響，可以研究帶擾動項的風險模型的相關問題，將紅利策略推廣為線性紅利策略，使得模型更貼近實際運作，研究GerberShiu函數和分紅問題，這對于決策者進行風險過程的穩定性分析提供了重要的理論依據.

參考文獻

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