關于初中數學動態問題的解題策略

岳巖江（吉林省輝南縣慶陽鎮中學）

關于初中數學動態問題的解題策略

岳巖江
（吉林省輝南縣慶陽鎮中學）

隨著課程改革的不斷深入，新形勢下要求教師的教育角色、教學行為和管理方式不斷改變，也要求學生的學習方式不斷變革，知識的接受、遷移、運用都要有新的提升。這種能力的考查已越來越多地體現在試卷上，就初中數學而言，規律探究問題、動手操作問題、格點作圖問題、圖案設計問題、分類討論問題、感知探究問題、開放性問題、運動變化問題等等已經越來越多地出現在各省中考試卷中，下面就運動變化問題談談自己的教學心得。

自2001年5月《國務院關于基礎教育改革與發展的決定》頒布算起，至今已有14個年頭，2002年吉林省省級實驗區啟動，輝南縣也在同年進入新課改實驗。當年的中考數學試題最后一道就是有關運動變化的，但相對來說較現在要簡單得多，也說明課改的一個趨向。這絕不是破天荒第一次，其實，早在80年代的教材中就有運動變化問題的影子。記得我在上初中時，當時的教材中就有“點的軌跡”一部分，但由于是選學內容，教師也覺得難于理解，就一筆帶過，但我對那幾節卻情有獨鐘，并進行認真自學，有些問題至今還記得。比如，兩個同心圓，圓心為O，大圓半徑為8 cm，小圓半徑為5 cm，和小圓外切和大圓內切的圓的圓心軌跡是什么？（是以O為圓心，以6.5 cm為半徑的圓）。再如，AB為⊙O非直徑弦，C為AB中點，弦AB繞圓周滑動，那么點C運動的軌跡是什么？（是以O為圓心，以OC為半徑的圓），這也許就是今天運動變化問題的前身吧。

從事初中數學教學，我覺得很多學生對這類問題都感到頭疼，中考因此失分較多。我認真分析歷年各省中考試題，覺得解決此類問題主要分為兩步：一是根據點動、面動或形動的規律列方程確定取值范圍，有些簡單問題可以直接寫出取值范圍；二是畫出每個區間內的基本圖形，也就是化動為靜，用相應字母表示某些線段長，進而求出表示某些圖形周長或面積的函數表達式。以下面一題為例具體研究此類問題的解法：

如圖，已知二次函數的圖象經過點A（6，0）、B（-2，0）和點C（0，-8）。

（1）求該二次函數的解析式；

（2）設該二次函數圖象的頂點為M，若點K為x軸上的動點，當△KCM的周長最小時，點K的坐標為（，0）；

（3）連接AC，有兩動點P、Q同時從點O出發，其中點P以每秒3個單位長度的速度沿折線OAC按O→A→C的路線運動，點Q以每秒8個單位長度的速度沿折線OCA按O→C→A的路線運動，當P、Q兩點相遇時，它們都停止運動，設P、Q同時從點O出發t秒時，△OPQ的面積為S。

①請問P、Q兩點在運動過程中，是否存在PQ∥OC？若存在，請求出此時t的值；若不存在，請說明理由；

②請求出S關于t的函數關系式，并寫出自變量t的取值范圍；

③設S0是②中函數S的最大值，直接寫出S0的值。

分析：（1）根據已知的與x軸的兩個交點坐標和經過的一點利用交點式求二次函數的解析式即可。

（2）首先根據上題求得的函數解析式確定頂點坐標，然后求得點C關于x軸的對稱點的坐標C′，從而求得直線C′M的解析式，求得與x軸的交點坐標即可。

（3）①如果DE∥OC，此時點D，E應分別在線段OA，CA上，先求出這個區間t的取值范圍，然后根據平行線分線段成比例定理，求出此時t的值，然后看t的值是否符合此種情況下t的取值范圍.如果符合則這個t的值就是所求的值，如果不符合，那么就說明不存在這樣的t。

②本題要分三種情況進行討論：

綜上所述，可得出不同的t的取值范圍內，函數的不同表達式。

③根據②的函數即可得出S的最大值。

解：（1）設二次函數的解析式為y=a（x+2）（x-6）.

（3）①不存在PQ∥OC，若PQ∥OC，則點P，Q分別在線段OA，CA上，此時，1＜t＜2.

上題只是運動變化問題的一例，在眾多的運動變化問題中，無論問題如何變化，但分析的思路是一定的，核心便是分好段、畫好圖、取好值、列好式、求對解、檢好驗、下結論。當然，要想具備較強的解題能力，還要求學生具有扎實的基礎知識和計算能力，更重要的是要有一定的閱讀基礎和繪圖能力。我在教學中發現有些學生閱讀能力差，讀不懂題的意思，如果與他一起分析題意，待他弄懂題意之后解起題來也非難事。還有一部分學生不會畫圖，導致無法解題，這也說明在日常教學中教師沒有注重繪圖能力的培養。

再者，運動變化問題通常穿插在壓軸大題中出現，往往因為步驟多，運算量大，圖形復雜使學生產生畏懼心理，甚至放棄。事實上，無論多大的題都是由若干個相關聯的小題組成，逐一破解便是解題之道，教師在給學生講解時可以把大題進行肢解，分解圖形，化繁為簡，克服學生畏難心理，便可收到意想不到的教學效果。

·編輯 徐婷