時頻分析基本理論

杜廣正

一、時頻分析的基本概念

分析和處理平穩信號的最常用也是最主要的方法是Fourier分析，Fourier變換是傳統信號分析中最重要的數學工具。Fourier變換建立了信號時域與頻域之間變換的關系，而Fourier反變換則建立了一種能使信號從頻域變到時域的路徑，而且頻域時域變換是一一對應的。

我們可以從頻域和時域來分析一個信號?；?Fourier變換解釋了信號在頻域的特征，Fourier變換是一種全局變換。在整體上，將信號分解為不同的頻率分量，即對信號的表征完全在頻域，這種表征同信號的時域形式是相對獨立的，即兩者不能同時聯合描述信號。為了分析和處理非平穩信號，我們使用時間和頻率的的聯合函數來表示信號，這種方法稱為信號的時頻表示或者聯合時頻分析，其基本思想是設計時間和頻率的聯臺函數，用它同時描述信號在不同時間和頻率的能量密度和強度。假設存在這樣一個分布Wx（t，ω），就可以計算在某一特定時間的頻率的密度，求在某一確定的頻率和時間范圍內的能量百分比，計算該分布的整體和局部的各階矩等等。在信號處理中，信號一般可以分為兩類：確定性信號和隨機信號。而隨機信號又分為平穩和非平穩信號。平穩信號常用的處理方法是頻域分析法，這種方法通常采用建立信號x（t）與其頻譜X（f）之間的一一映射關系，調整傅立葉變換與傅立葉反變換之間存在的整體和全局的變化，即頻譜只能是從整體信號的時域表示得到的，其時域表示只能從整體信號的頻譜獲得的，信號的平穩或非平穩主要是根據信號的統計量特征來衡量的。因此，傳統的傅立葉變換無法反映非平穩信號統計量的時間變化特征。

二、短時傅里葉變換

短時傅立葉變換（窗口傅立葉變換）是用一個很窄的窗函數取出信號， 對其求傅立葉變換，假定信號在這個時窗內是平穩的，得到該時窗內的頻率，并過濾掉了窗函數以外的信號頻譜，確定頻率在特定的時間內是存在的，然后沿著信號移動窗函數，得到信號頻率隨時間的變化關系，這樣就得到了時頻分布。可知，短時傅立葉變換的定義為：

這種變換是線性的，而且滿足疊加原理。換言之，如果s（t）是幾個信號分量的線性組合，那么各個信號分量的時頻線性組合可以得到s（t）的時頻表示：

線性由于不會產生交叉項干擾，所以是區分多分量信號的希望的性質，而且小波變換也是線性時頻變換。傅立葉變換可以分別從信號的時域和頻域觀察信號 ，但卻不能把二者聯合起來描述信號。因為信號的時域中不包含任何頻域信息；而頻域中不包含時域信息。同時短時傅立葉變換概念直接，算法簡單，已經成為研究非平穩信號十分有力的工具，在信號瞬時頻率的估計領域得到了廣泛的應用，并且是其它時頻分析的基礎。但是它存在兩個問題：對窗函數的長度選擇與窗函數的選擇問題。為了得到更好的頻域效果，因為窗函數的長度與頻譜圖的頻率分辨率密切相關，因此信號的觀察時間必須比較長。當信號變化很快時，反應頻率與時間變化的關系將會受到影響；然而，當窗函數很短時，對于特定的窗函數來說，將會得到更好的效果。對比其他方法來說，短時傅立葉變換（STFT）雖然有著分辨率不高等明顯缺陷，但由于其算法簡單，實現容易，所以在很長一段時間里成為非平穩信號分析標準和有力的工具，而且不會產生多信號交叉干擾項，同時我們采用短時傅里葉變換算法估計瞬時頻率對于頻率分集和頻率編碼脈沖信號來說會更加方便。

三、Wigner-Ville分布

從本質上說，短時傅里葉變換和小波變換都是線性時頻表示，它不能描述信號的瞬時功率譜密度，進行時頻分析的基本目的就是確定一種時頻分析函數，使其能夠確定在時間 t及頻率f處信號的那部分能量。Cohen類雙線性表示的本質就是在時頻平面中分布信號的能量，其中WignerVille（WVD）就是常用的一種時頻分布。WVD 是一種二次型變換，具有許多優良的性質，但當分析多頻率成分的信時，由于是二次型變換，不可避免地出現交叉項干擾，這是它的缺點。最初，Wigner利用量子力學提出了這種分布：

由于Wigner-Ville分布在時域與頻域的定義形式基本相同，因此，對于在時頻討論的問題在頻域也同樣適用。此外，Wigner-Ville分布對于不同時間采用同樣的加權，因此它是完全非局部化。為了在特定時間得到Wigner-Ville分布，我們要把幾段信號加起來，這幾段信號是由過去某一時間的信號乘上未來某一時間的信號的乘積組成，所取時間的過去時間與未來時間相等。Wigner-Ville分布相等的權衡遠處時間與近處時間。

將其稱為互Wigner分布（cross Wigner Distribution）。WVD有許多優良的性質，時頻聚焦好，比線形時頻有較高分辨率。

由于Wigner變換的雙線性特性，在分布中引入交叉項，使得從分布中提起有用信息的過程變得復雜。自項和交叉項會有多種組合形式，交叉項不僅能對自項進行干擾，還能出現在自項的地方。然而WVD雖存在交叉項，但不存在窗函數或母小波的選取問題，而且其時頻聚焦性好，因而受到人們的重視。

四、總結

通過對時頻分析理論的研究，介紹了線性時頻表示、雙線性時頻表示等時頻分析方法，論述了各種時頻方法的優缺點，使得我們更加準確而且形象的了解了信號的變化。