對三角函數積分表的一點補充

周蘭蘭

摘 要 本文從三角函數積分表缺少的一些公式入手，逐步進行推導，并在過程中熟悉求不定積分的一般方法。

關鍵詞 三角函數不定積分 根號 絕對值

中圖分類號：O1-647 文獻標識碼：A DOI：10.16400/j.cnki.kjdks.2015.02.013

Supplement for Trigonometric Integral Table

ZHOU Lanlan

（College of Information Science & Technology， Hainan University， Haikou， Hai'nan 570228）

Abstract This article starts form missing some trigonometric formulas standings， gradually derived and general method familiar indefinite integral in the process.

Key words trigonometric indefinite integral; radical sign; absolute value

在目前可找到的三角函數積分表中，基本上都缺少和其他一些更加復雜的形式，顯然，并不是取任意值的時候都可以將其導出成初等函數的形式，但是至少可以取一些比較簡單的值進行計算。如 = 0， = 0這種特殊情況，即求不定積分，可以得出其不能以初等函數表示，此處不予證明。

考慮到可以變換成（）∧2的特殊形式，不妨令 = 1， = 1進行運算。所以原式可以化成∣∣的形式，于是本題實質上轉化為求∣∣的不定積分，那么求∣∣的不定積分是否可以繼續化簡，又是否是初等函數的形式呢？下面將進行討論。

例：求不定積分：∣∣

解：令 （） = ∣∣，顯然 （）在上是連續的，所以其必定存在原函數。

按照常規方法先把∣∣用分段函數表示出來：

分別對這兩段求原函數，當（，]時，一個原函數為（） = ?+ ，當（，]時，一個原函數為（） = ?+ ，此時要保證原函數在 = 和 = 上連續即可，于是列出方程 = 時， + = ?+ ，由 = 1得 = 2。

此時會有部分同學直接得出答案，原函數

但是，如果繼續 = 時的方程，就會由 = 得到 = +2，很顯然，不存在固定的常數，使這兩個式子同時成立。

于是就會遇到一個問題，當通過兩種不同的點計算得到的常數的值不同時，應該如何計算？

所以我們需要再次審視一下得出的結論：不存在固定的常數，使這兩個式子同時成立。什么是固定的常數？難道還存在不固定的常數能夠滿足這個式子嗎？的確，存在不固定的常數，可它為什么不固定，它是因為什么變化的呢？讓我們再回過頭去看當初的函數 （） = ∣∣，這個函數在上顯然是恒大于等于0的，也就是說，它的原函數（）在上是單調增的，并且由于 （） = ∣∣是一個周期函數，所以（）在上是沒有界的（圖1）。

圖1

而我們一開始求出的表達式

，

和都是有界函數，所以只能是這個不固定的常數，是無界的。而（）中的參數除了和，外，也只有了。在我們的思維中，三角函數中的絕大部分情況都是用來表示的取值范圍，極少情況函數的表達式與有關。，到底和之間保持什么關系呢？很自然地，我們可以先猜測，與之間保持一次函數關系，因為這是我們最熟悉的一種形式，值得注意的是，對于點， + 與 + 的取值是相同的，而對于點，要表示同一個點的話， + 與 + 的取值不同。舉個例子，要表示橫坐標為的點，在（，]中， = 1;在（，]中， = 0。即 = ?+ ， ?= ?+ 。然后分別將之代入一開始我們得出的方程： = ，即 = 1時， + ?= ?+ 與，即 = 時， + ?= ?+ 。聯立可得

即該方程組對任意的和均成立。解之得 = ?= 4， ?= ，于是得出本題答案

解出后我們可以發現，∣∣的不定積分并不是初等函數。但是我們仍然可以在有限的區間上討論該函數的性質。

圖2是

（ = 0）

時一部分的圖象，可以看出其是階梯形變化的。所以可以對積分表進行補充：

同理可以通過求出∣∣的不定積分的方法來推出的不定積分。