投影與視圖新題型

文/丁　潔

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投影與視圖新題型

文/丁潔

投影和視圖是空間與圖形的重要內容，也是中考新題型的好素材．投影與視圖的新題型主要有：

一、開放發散型

例1（2014年汕尾卷）寫出一個在三視圖中俯視圖與主視圖完全相同的幾何體．

解析：球的俯視圖與主視圖都為圓，正方體的俯視圖與主視圖都為正方形，答案可以從球或正方體中任意選一個．

溫馨小提示：熟悉三視圖的概念和常見幾何體的三視圖是解題的前提．

二、方案設計型

例2（2015年佛山卷）如圖1，在水平地面上豎立著一面墻AB，墻外有一盞路燈D．光線DC恰好通過墻的最高點B，且與地面成37°角．墻在燈光下的影子為線段AC，并測得AC＝5.5米．

（1）求墻AB的高度（結果精確到0.1米）；（參考數據：tan37°≈0.75，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80）

（2）如果要縮短影子AC的長度，同時不能改變墻的高度和位置，請你寫出兩種不同的方案．

解析：（1）在Rt△ABC中，由AC＝5.5，∠C＝37°，得AB＝AC·tan C＝5.5×0.75≈4.1（米）. （2）從邊和角兩方面考慮，可得兩種方案：①增加路燈D的高度；②使路燈D向墻靠近．溫馨小提示：理解三角函數概念，掌握三角函數與直角三角形的邊角關系是解題的關鍵．

圖1

三、視圖變化型

例3（2015年菏澤卷）圖2是由6個同樣大小的正方體擺成的幾何體.將正方體①移走后，所得幾何體（）．

A．主視圖改變，左視圖改變B．俯視圖不變，左視圖不變

C．俯視圖改變，左視圖改變D．主視圖改變，左視圖不變

解析：比較移動前與移動后三種視圖，立可得到答案，選D．

溫馨小提示：分別標出移動前后三視圖的正方形的列數及每列正方形的個數是解題的關鍵．

圖2

四、知識滲透型

例4（2014年巴中卷）如圖3，兩個大小不同的實心球在水平面靠在一起，則該幾何體的左視圖是（）.

A．兩個外切的圓B．兩個內切的圓

C．兩個內含的圓D．一個圓

解析：左視圖是兩個內切的圓，切點在水平面上．選B．

溫馨小提示：從左面看，兩個圓有一個公共點，且小圓在大圓的內部.本題將兩圓位置關系的判定與三視圖的識別有機綜合，十分巧妙自然．

圖3

五、定量計算型

例4（2015年玉林卷）圖4是七個棱長為1的正方體組成的一個幾何體，其俯視圖的面積是（）．

A．3B．4

C．5D．6

解析：由圖4及正方體的個數可知俯視圖有五個正方形，如圖5，它的面積為5．選C．

溫馨小提示：將三視圖的判定轉化為簡單圖形面積的計算，命題形式新穎．

圖4

六、整體思考型

圖5

例6 （2014年棗莊卷）從棱長為2的正方體毛坯的一角，挖去一個棱長為1的小正方體，得到一個如圖6所示的零件，則這個零件的表面積是________.

解析：觀察正方體毛坯，發現挖去一個棱長為1的小正方體，這個零件的表面積仍等于原正方體的表面積.因為正方體的棱長為2，所以正方體的表面積為6×22＝24.填24．

溫馨小提示：常規解法是把每個面的面積計算出來相加，這樣做比較麻煩.從整體思考，利用平移補形，解法十分簡捷．

圖6

七、幾何體拼組型

例7（2015年青島卷）如圖7，在一次數學活動課上，張明用17個邊長為1的小正方體搭成了一個幾何體，然后他請王亮用其他同樣的小正方體在旁邊再搭一個幾何體，使兩個幾何體拼成一個無縫隙的大長方體（不改變張明所搭幾何體的形狀），那么王亮至少還需要________個小正方體，王亮所搭幾何體的表面積為________.

解析：大長方體至少需要小立方體4×32＝36個．

∴王亮至少還需36-17＝19個小立方體，表面積為2×（9+7+8）＝48，

故分別填19，48．

溫馨小提示：確定兩人所搭幾何體的形狀是解題的關鍵．

圖7

八、方程應用型

例8（2015年鎮江卷）某興趣小組開展課外活動．如圖8，A、B兩點相距12米，小明從點A出發，沿AB方向勻速前進，2秒后到達點D，此時他（CD）在某一燈光下的影長為AD，繼續按原速行走2秒到達點F，此時他在同一燈光下的影子仍落在其身后，并測得這個影長為1.2米，然后他將速度提高到原來的1.5倍，再行走2秒到達點H，此時他（GH）在同一燈光下的影長為BH（點C、E、G在一條直線上）．

圖8

（1）請在圖中畫出光源O點的位置，并畫出他位于點F時的影長FM（不寫畫法）；

（2）求小明原來的速度．

解析：（1）如圖8，點O為光源，FM為影長．

（2）∵點C、E、G在一條直線上，CG∥AB，

經檢驗，v＝1.5是方程的根．

小明原來的速度為1.5m/s．

溫馨小提示：影長問題，要弄清是平行投影還是中心投影下的影長，應用相似三角形的知識來解決．

責任編輯：王二喜