“雞兔同籠”問題的教學及思考

丁麗

“雞兔同籠”問題的教學及思考

丁麗

環節一：（課前交流）初步體會用“雙軌跡”解決生活實際問題的方式。

師：丁老師想在我們班找出這樣的同學：（課件出示）文章寫得好、唱歌也很棒。他需要滿足幾個條件？

生：兩個，分別是會寫文章、會唱歌。

師：上課之前，老師分別找我們班的語文老師和音樂老師要到了兩份名單，分別是文章寫得好和唱歌很棒的同學名單。接下來，這個問題可以解決了嗎？怎樣解決？

生：看兩份名單上是不是有相同的名字，如果有，就說明找到了滿足兩個條件的同學。

師：正如你們所說的，只要兩份名單上有相同的名字，就代表他同時滿足兩個條件。我在想，有沒有可能只要一份名單？比如，我只找語文老師得到了一份名單。這個問題可以被解決嗎？

生：不可以，只滿足一個條件呢。

師：真是這樣的嗎？我來看看這份名單，（假裝拿著一份名單，走到一個小組面前，逐一問學生）名單上第一個是張小三。我采訪一下張小三，請問你歌唱得好嗎？（生1靦腆地搖頭）他很謙虛，沒關系，我繼續找。我找到李小四，小四同學你唱歌很棒吧？（生2也不好意思地擺擺手）那么，像這樣，把名單上的人一個個找下去，當然他們客觀地回答我的問題的話，既滿足“文章寫得好”也滿足“唱歌也很棒”的同學能被找到嗎？

生：能。

師：是的。現在我們一起梳理剛才這個問題的解決過程。（從兩個條件到兩種問題解決方式進行回顧和整理）其實，像這樣解決生活中問題的方法，還能解決一些復雜的數學問題呢！來，一起看看吧。

環節二：（初步嘗試）學習用“雙軌跡”的方式解決基本的“雞兔同籠”問題。

1.分析題意

課件出示條件：雞、兔共有9個頭，28條腿。

師：你知道題目說的是什么意思嗎？

生1：雞和兔一共有9只，共有28條腿。

生2：這里還有一個藏起來的條件。每只雞2條腿，每只兔4條腿。

師：分析得很到位。那么題目要求的問題我想大家也一定能想到。（出示問題：雞、兔各有幾只？）我突然發現，這個問題和我們剛才找“文章寫得好、唱歌也很棒”的同學有一些類似，什么地方類似呢？請同桌互相討論一下。

生：都有兩個條件。（師按照學生的描述板書）

2.帶領學生共同解答

師：9只動物和28條腿，這兩個條件哪個更容易滿足？舉個例子試試看。

生3：我覺得頭數更容易滿足。算總腿數，還要考慮一只雞有2條腿，一只兔有4條腿。

生4：雞3只、兔6只，滿足一共9只動物。

師：分析事情有理有據，真不錯！像這樣滿足9只動物的情況，只有一種嗎？誰能有順序地羅列出來？（根據學生的回答一一板書，特別討論雞4只、兔5只與雞5只、兔4只是否為同一種情況）現在，我們將雞、兔共9只的情況按一定的順序列舉出來了。那么，這9種情況中，有沒有兩個條件都符合的呢？是哪一種？接下來，我們應該做些什么？

生5：剛剛我們滿足了9個頭的條件，接著可以看哪種情況是28條腿。

師：他的分析有道理嗎？那我們該怎么確認哪一種情況是28條腿呢？第一種情況雞1只、兔9只滿足嗎？

生6：用1乘2加上9乘4，算出總腿數是38，所以不符合。

師：接著怎么辦？

生6：再往下算。（學生一一推算，直到找到總腿數為28的情況，并且在推算過程中發現每增加1只兔、減少1只雞，總腿數減少2及其原因，過程略）

3.小結問題解決的步驟，構建問題解決的結構

師：用之前找滿足兩個條件的同學那樣的方法，能把數學問題解決好嗎？

生：能。

師：現在我們回顧一下剛才解決問題的辦法。同桌互相說一說我們做了哪些工作。

學生互議后，教師帶領學生一起梳理，然后獨立解決問題：（課件出示）2元紙幣和5元紙幣共12張，共39元，兩種紙幣各幾張？

學生板演，教師引導學生一起分析。

環節三：（拓展提升）體驗用“雙軌跡”的方式解決復雜的“雞兔同籠”問題的普適性。

1.體會問題在形式上的變化

（課件出示）：雞比兔多4只，雞和兔的腿共38條，雞、兔各幾只？

學生先討論并尋找題中隱藏的兩個需要同時滿足的條件，然后分小組合作并在集體反饋中談解題感受，進一步體會用“雙軌跡”解決問題的方式。

2.滲透文化

教師引導學生探討“雞兔同籠”問題的歷史，滲透數學文化。用“雙軌跡”的方式作正三角形，進一步體會用“雙軌跡”的方式解決問題的價值。

3.留有余味，布置課后學習任務。

課件出示：張曉明和李亮在一起談論年齡。李亮今年的年齡是張曉明的4倍，李亮4年前的年齡是張曉明的7倍。你知道他們兩人今年各幾歲嗎？

教學思考：

“雞兔同籠”問題是我國古代名題，很多教材都引入了這個問題。這個問題的解題方法很多，對這個問題的教學研究也很多，可謂各美其美。新人教版四年級下冊數學教材“數學廣角”中呈現了三種方法：猜測嘗試、列表和假設法。前人的研究中體現出一個共識，那就是教學“雞兔同籠”不僅是讓學生學會解決這個問題，更重要的是讓學生受到數學思想方法的熏陶。至于具體受到何種數學思想方法的熏陶則各有各的看法，而我側重模型思想。模型具有概括性，教材涉及的例題和練習題雖在情境上大不相同（龜鶴、租船、車輪等），但在模型意義上完全一致。波利亞在其名著《數學的發現——對解題的理解、研究與教學》中提到了“雙軌跡”模型，并用這一模型概括了包括雞兔同籠在內的系列問題：解決這類問題相當于尋找同時滿足兩個條件的對象。先滿足其中一個條件，即用一一列舉的方法羅列所有滿足的情況（亦可先按順序部分列舉或折中列舉），再尋求也滿足第二個條件的情況，問題得以解決。本課自始至終貫徹這一原則。當然，從代數的角度理解“雙軌跡”模型，即是解方程組。但作為滲透或者傳遞數學思想方法的題材，更樸素的意義在于讓學生感受到用簡單易懂的方法解決復雜問題的力量。因此，本課弱化了在列舉中凸顯列舉與假設的關聯，而重在學習具有樸素意義的問題解決方法，可以將學生從解決一個問題引向解決一類問題。數學是豐富多元的，帶領學生獲得解決問題的普適性方法，不論對保持學生的學習興趣，還是提升學習信心及學習質量都是有積極意義的。

（作者單位：長沙市岳麓區博才寄宿小學）

點評：“雞兔同籠”是經典問題，其解法很多，典型的有列舉法、假設法、方程法等。據說有專家就解決“雞兔同籠”問題的上述三種方法分別向小學數學老師、中學數學老師和大學數學老師作調查，問他們各自最喜歡哪一種。結果顯示：小學數學老師最喜歡假設法，中學數學老師最喜歡方程法，大學數學老師最喜歡列舉法。小學數學老師喜歡假設法不難理解，因為這種方法特別符合我們對解題的審美標準：思路清晰，表達有條理，一個一個的算式，前面算式運算的結果是后面算式的運算對象，最后一個算式的運算結果就是問題的答案。中學數學老師喜歡方程法也是理所當然，方程是中學數學老師教學的看家本領之一。可為什么大學數學老師會喜歡列舉法呢？列舉法看起來是那么笨拙，那么低效，甚至看不出多少思維含量。與之相對的，我們似乎有很“漂亮”的解法。比如一個段子所描述的：大體是說，以“雞、兔8只，腳26只”為例，吹一聲口哨，雞、兔均抬起一只腳，還剩18只腳，再吹一聲口哨，雞、兔再抬起一只腳，此時還剩10只腳，可雞已經一屁股坐地上了，兔子還有兩只腳站著，于是兔子有5只。這樣的解法多漂亮，多有趣？

其實，解決問題的方法有通法和巧法之分。一般而言，適應范圍廣、思路自然、易被推廣的方法為通法，適應范圍窄、思路奇特的方法為巧法。從這個角度而言，方程法和列舉法無疑是通法，那個抬腳法則是巧法。假設法應介于這兩者之間。于是，我們可以理解大學數學老師之所以選擇列舉法，是基于對通法的價值認同。當然，在此也需說明，巧妙的解法有其獨特的價值，比如激發興趣等。但我們需要認識到的是，很多巧法的價值恰恰不在解決問題。

丁老師的課，在關注通法（即列舉法）的基礎上又向前走了一步：將列舉這一具體的方法與“雙軌跡”模型結合起來。這是很有價值的一步。一方面，在“雙軌跡”模型的指導下，如何列舉？列舉是如何解決這個問題的？這些都得到了很好的詮釋。另一方面，在這一節課中，學生對模型會有更好的認識。之前，學生也許能意識到“雞、兔8只，腳26只”只不過是一類叫“雞兔同籠”問題的特例。而今天認識了“雙軌跡”模型，學生會認識到，“雞兔同籠”問題也只不過是這一模型的一個特例而已。有了這種認識，學生能解的就不僅僅是“雞兔同籠”問題或其平凡推廣后的問題了（所謂平凡推廣，是指在數量關系不變的前提下，將“雞兔同籠”問題通過改變一下情境而變成一個新的問題），而是能解決一系列看起來完全不同的問題。這種認識的形成當然不是一朝一夕的，其形成過程恰恰是這種課堂的一次又一次熏陶的過程。

（長沙市教育科學研究院張新春）