從自然數說起

張新春

從自然數說起

張新春

湖南小學數學教師的知心朋友、長沙市小學數學教研員張新春老師一直致力于小學數學教師學科專業素養的研究。近期，張老師推出“數學與思維”公眾號，其中有不少精彩的文章。這些文章討論的是與小學數學相關的問題，通俗、生動又不失準確與深刻，是難得的提高小學數學教師數學專業素養的讀物。本刊從本期開始，開設“張老師講數學”欄目，連續刊登這類文章。或從微信公眾號中選編，或邀請張老師專門撰文。歡迎大家關注，也歡迎您提出小學數學教學實踐中有關學科專業知識理解的問題。

引子

上帝創造了自然數，其余的都是人的工作。

——克羅內克

整數是全部數學的基礎。

——H.閔可夫斯基

數學教學通常從自然數開始。從自然數、整數到分數，實數，再到復數；從加減乘除到微分、積分，以至于更高級的數學，這是一個越來越復雜的過程。另外，按英國數學家、哲學家羅素的說法，數學這門學問當我們從它最熟悉的部分開始時，可以沿著兩個相反的方向進行，一個是我們剛剛提到的從自然數開始漸趨復雜的方向，這個方向符合我們的數學教學經驗。至于另一個方向，指的是“我們不問從我們開始所肯定的東西能定義或推演出什么，卻追問我們的出發點能從什么更普遍的概念與原理定義或推演出來”。比如從微分、積分這樣的數學開始，我們追問，它的基礎是什么？答案是實數。那實數的基礎是什么？答案是有理數。那有理數的基礎呢？答案是自然數。所有數學命題最終歸結為關于自然數的命題。自然數是數學教學的起點，某種意義上通常也是數學發展的邏輯起點。于是，我們的討論就從自然數開始。

以下是人教版、蘇教版小學數學教材中引入自然數1、2、3的方法。

顯然，這兩種方式是完全一樣的，即分別構造出3個集合，3個集合中的元素的個數依次是1、2、3。正因為小學數學中的自然數都是從集合開始的，我們先來看集合意義上的自然數。

集合的概念

給一個概念下定義，通常要以已有的概念作為基礎。而定義這個作為基礎的概念，又要有新的基礎。比如定義矩形，我們說是有一個角是直角的平行四邊形，這就用到了直角和平行四邊形這樣的概念。我們又要追問，直角是什么？平行四邊形是什么？這樣一步步倒推，必然會碰到這樣的情況：用來定義新概念的已知概念，再也無法用定義的辦法來明確它的意義了（即再也找不到規定這個概念的概念了），這個概念就叫做原始概念1。原始概念通常靠描述的方法加以解釋。集合通常被當作一個原始概念，被描述為“把具有某種屬性的一些對象看作一個整體就構成一個集合”。比如上述引入自然數所對應的一只狗構成的集合，三只小鳥構成的集合，等等（事實上，這些動物都從教材的主題圖中找出，因此，上述兩個集合也可以說成是“主題圖中出現的狗的集合”和“主題圖中出現的小鳥的集合”）。

在數學中，對一些常用的數集，我們通常約定一些記號表示，它們是——

N：自然數集；

Z：整數集；

Q：有理數集；

R：實數集；

C：復數集。

由于我們討論集合的主要目的在于揭示自然數的基數意義，故不詳細討論集合論的基本內容，但以下一點卻是重要的，那就是一一對應與集合的等價。

一一對應與集合的等價

若我們有兩個集合A，B，通過某種法則，對A中的每一個元素都能在B中確定一個對應的像，則稱這個法則確定了一個從A到B的映射。如下圖所示，即是一個從A到B的映射。

規范一點說，A和B是兩個集合，如任給a∈A，存在唯一的b∈B，記此為b=f（a），就稱f是A到B的一個映射。

值得注意的是，就A到B的映射而言，我們只關心A中的每一個對象在B中有沒有唯一的像，而不關心如下兩個問題：

1.A中有沒有兩個或多個這樣的對象，它們在B中的像是相同的？

2.B中有沒有這樣的對象，它不是A中任何對象的像？

事實上，上述所示A到B的映射中，這兩種情況都是存在的。

若沒有情況1，我們說這樣的映射是單射。規范地說，對于映射f，若有f（a1）=f（a2），則必有a1=a2，則稱f是單射。

若沒有情況2，我們說這樣的映射是滿射。規范地說，對于任意的b∈B，總存在唯一的a∈A，使得b=f（a），則稱f是滿射。

若沒有情況1，也沒有情況2，我們稱這樣的對應為一一對應。即如果f既是單射，又是滿射，則f是一一對應的映射。下圖所示的就是一一對應。

若兩個集合A，B之間能夠建立起一一對應的關系，我們就說A，B兩個集合是等價的。A和B等價通常被記作A～B。同時，以下關于等價的性質被認為是基本的：

自反性：A～A；

對稱性：若A～B，則B～A；

傳遞性：若A～B，B～C，則A～C；

自反性是指一個集合能與自己建立起一一對應的關系，這是顯然的。而對稱性指的是如果A能與B建立起一一對應的關系，那么B就能與A建立起一一對應的關系。事實上，只需把A與B建立一一對應的方式反過來即可。至于傳遞性，我們可以看以下一個例子：

由

1.邏輯史上最早由古羅馬邏輯學家波愛修提出定義新概念的方式：概念=概念所歸的屬+種差。這種下定義的方式，后來被稱為通過屬和種差下定義。所謂種差，就是屬下面一個種不同于其他種的特征。傳統邏輯認為，屬加上種差，構成事物的特有屬性（本質屬性或固有屬性）。數學上經常用這種方式定義一個新概念。比如矩形被定義為有一個角是直角的平行四邊形。其中，平行四邊形是概念矩形所歸的屬，而有一個角是直角就是種差。這種定義方式如果我們不斷上溯（比如什么是平行四邊形，什么是四邊形等），原則上總會存在原始概念，它不再由另外的概念來定義。集合就是這樣的概念。