雙線性滯遲干摩擦模型的無(wú)諧振振動(dòng)特性分析

余慧杰， 張樂(lè)京

(上海理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，上海　200093)

雙線性滯遲干摩擦模型的無(wú)諧振振動(dòng)特性分析

余慧杰， 張樂(lè)京

(上海理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，上海200093)

對(duì)雙線性滯遲振子的無(wú)諧振機(jī)理進(jìn)行了理論和試驗(yàn)研究。建立干摩擦阻尼隔振系統(tǒng)力學(xué)模型，對(duì)其低頻鎖止特性進(jìn)行了研究，并由此得到解鎖頻率的解析解，確定了最優(yōu)解下的系統(tǒng)參數(shù)關(guān)系；利用運(yùn)動(dòng)方程對(duì)系統(tǒng)時(shí)間響應(yīng)過(guò)程進(jìn)行了深入的數(shù)值計(jì)算,并通過(guò)試驗(yàn)對(duì)理論結(jié)果進(jìn)行了驗(yàn)證。所得結(jié)論對(duì)無(wú)諧振隔振器的合理設(shè)計(jì)具有指導(dǎo)意義。

雙線性滯遲；干摩擦阻尼；無(wú)諧振；黏滑運(yùn)動(dòng)

在非線性振動(dòng)研究領(lǐng)域中，含有干摩擦阻尼的隔振系統(tǒng)受到了廣泛關(guān)注。在機(jī)械結(jié)構(gòu)中，干摩擦能夠快速有效抑制外部干擾激勵(lì)對(duì)系統(tǒng)產(chǎn)生的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)[1-2]，因而廣泛應(yīng)用于航空發(fā)動(dòng)機(jī)葉片、晶體振蕩器等結(jié)構(gòu)的隔振中。近些年，國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)具有干摩擦的非線性隔振器構(gòu)成的振動(dòng)系統(tǒng)做了大量研究。白鴻柏等[3]研究了黏性阻尼滯遲振子簡(jiǎn)諧激勵(lì)響應(yīng)的等效線性化計(jì)算方法；Csernak等[4]研究了受簡(jiǎn)諧激勵(lì)摩擦振子的周期運(yùn)動(dòng)行為，并對(duì)滑動(dòng)過(guò)程進(jìn)行求解和數(shù)值模擬；顏肖龍等[5]將庫(kù)倫力等效為黏性阻尼，對(duì)干摩擦阻尼的無(wú)諧振峰特性進(jìn)行了研究；張強(qiáng)星等[6]將干摩擦阻尼系統(tǒng)中的雙線性滯遲恢復(fù)力進(jìn)行傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)，簡(jiǎn)化了干摩擦振動(dòng)系統(tǒng)的正弦激勵(lì)問(wèn)題；Wang等[7-8]采用時(shí)域跟蹤方法確定干摩擦阻尼器的時(shí)間響應(yīng)，分析研究了頻響特性。

對(duì)于干摩擦阻尼隔振問(wèn)題，多數(shù)理論研究未考慮在低頻激勵(lì)下，摩擦元件的鎖止特性。目前文獻(xiàn)對(duì)于無(wú)諧振原理的研究，均基于不含接觸剛度的庫(kù)倫阻尼模型，采用庫(kù)倫阻尼等效黏性阻尼方法求得解鎖頻率，無(wú)法直接獲得系統(tǒng)的時(shí)域響應(yīng)。

本文采用雙線性滯遲振子模型，對(duì)力學(xué)系統(tǒng)的隔振特性和無(wú)諧振峰特性進(jìn)行理論分析。為更精確地求解干摩擦阻尼的時(shí)域響應(yīng)，按照一個(gè)運(yùn)動(dòng)周期內(nèi),阻尼器摩擦力所經(jīng)歷的四個(gè)階段，給定一種獲得周期響應(yīng)的解析方法。

1干摩擦阻尼隔振器力學(xué)模型及運(yùn)動(dòng)描述

1.1力學(xué)模型

圖1　干摩擦阻尼系統(tǒng)力學(xué)模型Fig.1 The mechanical system with dry friction damper

圖1(a)表示干摩擦阻尼隔振系統(tǒng)的物理模型，由于干摩擦面存在彈性，因此采用考慮接觸剛度的宏觀滑移模型[9]，恢復(fù)力與位移的關(guān)系表現(xiàn)為雙線性關(guān)系，見(jiàn)圖1(b)。其中負(fù)載質(zhì)量為m，主彈簧剛度為k，阻尼為c，摩擦面法向力為N0，干摩擦滑移前的線性剛度為kd，基礎(chǔ)支撐位移為U，負(fù)載位移為y，摩擦元件位移為yd。

假設(shè)基礎(chǔ)支承做等幅簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)：U=u0sin (ωτ)，其中u0，ω，τ分別為激勵(lì)幅值、頻率和作用時(shí)間。當(dāng)N0很大時(shí)，滑動(dòng)摩擦力f0=μN(yùn)0較大，這樣，彈簧kd會(huì)一直鎖止，當(dāng)N0不太大時(shí)，會(huì)發(fā)生黏滑運(yùn)動(dòng),即運(yùn)動(dòng)中交替出現(xiàn)鎖止階段和滑動(dòng)階段。

考慮發(fā)生黏滑運(yùn)動(dòng)的情況，列出各階段運(yùn)動(dòng)微分方程為：

(1)

1.2方程無(wú)量綱轉(zhuǎn)化

為了便于對(duì)數(shù)值結(jié)果分析，引入一系列的無(wú)量綱參數(shù)。分別定義如下：

得到無(wú)量綱形式的運(yùn)動(dòng)方程：

(2)

經(jīng)過(guò)無(wú)量綱處理后，原物理量：

y，yd，U=u0sin(ωτ)，f0=μN(yùn)0

分別轉(zhuǎn)化為：

x，x2，u=sin(Ωt)，f=μN(yùn)

1.3各個(gè)運(yùn)動(dòng)階段描述

采用時(shí)域跟蹤方法獲得系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)周期響應(yīng)。在單頻位移激勵(lì)下，在每個(gè)運(yùn)動(dòng)周期內(nèi)，無(wú)量綱摩擦力f一般要經(jīng)過(guò)四個(gè)階段，即ab(鎖止)，bc(滑動(dòng))，cd(鎖止)，da(滑動(dòng))，式(2)對(duì)應(yīng)單個(gè)方程均是線性微分方程，即分別為線性振動(dòng)系統(tǒng)。各自的解可用下式精確表示：

x(t)=yh(t)+yp(t)

(3)

式(3)右端兩項(xiàng)分別為各個(gè)方程的瞬態(tài)振動(dòng)yh(t)和穩(wěn)態(tài)振動(dòng)yp(t)，瞬態(tài)振動(dòng)yh(t)只存在于振動(dòng)的初始階段，經(jīng)過(guò)充分長(zhǎng)時(shí)間后，yh(t)消失，只剩下穩(wěn)態(tài)振動(dòng)yp(t)。

下面討論各個(gè)階段的運(yùn)動(dòng)特征：

2無(wú)諧振峰特性分析

鎖止階段，模型可以看作是單自由度黏性阻尼隔振系統(tǒng)，如果僅考慮鎖止階段的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，根據(jù)線性振動(dòng)理論[10]可推得其相對(duì)傳遞率為

(4)

式中：δ0為kd的變形量

低頻時(shí)，

因此，彈簧力幅值：kdδ0=kdu0TR

對(duì)于整個(gè)過(guò)程表現(xiàn)為黏滑交替運(yùn)動(dòng)的情況，可忽略鎖止階段瞬態(tài)振動(dòng)，只考慮穩(wěn)態(tài)振動(dòng)，根據(jù)kdδ0=kdu0TR=f0，求解臨界解鎖頻率。

將上式轉(zhuǎn)化為無(wú)量綱表達(dá)式：

(K2-f2)Ω4+2f2(1+K-2ξ2)Ω2-

f2(1+K)2=0

(5)

4f2[(1+K)2K2-4(1+K)ξ2f2+4ξ4f2]

(6)

由于ξ?1，因此Δ>0。由于是四次方程，應(yīng)先求解Ω2的值，故設(shè)方程以Ω2為未知量的根為p1,p2。

計(jì)算得到

(7)

(其中p1取+，p2取-)

對(duì)p1處理得到

p1=

(8)

由以上分析，對(duì)于不同的K，f可通過(guò)式(7)，獲得解鎖頻率。

利用單自由度黏性阻尼隔振系統(tǒng)的隔振特性來(lái)

其中：ξ′，r分別為等效黏性阻尼系數(shù)，頻率比。

此時(shí)

故TA≈1，無(wú)振動(dòng)放大現(xiàn)象。

(9)

當(dāng)K→∞時(shí)，f=2，即

(10)

3算例分析

圖2　無(wú)量綱摩擦力f對(duì)振幅的影響(K=1 000,ξ=0.1)Fig.2 Frequency response for various f

從圖2可知，利用式(8)求得的解鎖頻率與數(shù)值仿真得到的幅頻響應(yīng)曲線解鎖頻率基本一致。三條曲線對(duì)比可知，無(wú)量綱摩擦力f對(duì)隔振效果有明顯影響。

4試驗(yàn)驗(yàn)證

為了驗(yàn)證上述理論，應(yīng)用干摩擦阻尼模型設(shè)計(jì)出GWF隔振器。試驗(yàn)裝置見(jiàn)圖3所示，振動(dòng)臺(tái)上固定四個(gè)GWF隔振器，其上安裝一個(gè)質(zhì)量塊。采用正弦掃頻試驗(yàn)，其中低頻段施加等位移激勵(lì)，高頻段施加等加速度激勵(lì)。利用加速度傳感器采集得到激勵(lì)和響應(yīng)的加速度，進(jìn)而得到絕對(duì)傳遞率曲線。

實(shí)驗(yàn)前，對(duì)隔振器的摩擦力進(jìn)行預(yù)設(shè)定，試驗(yàn)得到圖4所示的傳遞率曲線，可以看到低頻下隔振器是鎖止的，但在阻尼區(qū)內(nèi)隔振器已經(jīng)出現(xiàn)解鎖，振動(dòng)響應(yīng)發(fā)生放大。當(dāng)激勵(lì)頻率越過(guò)放大區(qū)域后，開(kāi)始有隔振效果。

同樣的裝置將摩擦力增至原來(lái)的6倍，再次進(jìn)行試驗(yàn)，得到圖5所示傳遞率曲線。

① 為GWF隔振器，② 為質(zhì)量塊，③ 為振動(dòng)臺(tái)，④ 為激勵(lì)加速度傳感器，⑤ 為響應(yīng)加速度傳感器圖3　試驗(yàn)裝置示意圖Fig.3 Diagram of experiment model

圖4　傳遞率曲線(i)Fig.4 Frequency response curves (i) of experiment

圖5　傳遞率曲線(ii)Fig.5 Frequency response curves (ii) of experiment

由圖5可知，低頻下，隔振器鎖止，傳遞率為1；到達(dá)隔振區(qū)后，傳遞率<1，有隔振效果。隔振器在整個(gè)頻域內(nèi)無(wú)振幅放大。從試驗(yàn)結(jié)果可知，理論計(jì)算結(jié)果和試驗(yàn)結(jié)果吻合較好。

5結(jié)論

本文提出了一種求解干摩擦阻尼系統(tǒng)解鎖頻率的解析方法。根據(jù)干摩擦阻尼系統(tǒng)的物理模型及雙線性滯遲回線，建立了系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程，求解得到系統(tǒng)解鎖頻率，研究了干摩擦阻尼器參數(shù)對(duì)抑制負(fù)載共振的影響，最后通過(guò)振動(dòng)試驗(yàn)驗(yàn)證了計(jì)算結(jié)果。在低頻激勵(lì)下，干摩擦阻尼器鎖止，可以實(shí)現(xiàn)無(wú)諧振。通過(guò)選取合適的摩擦力值，能夠?qū)崿F(xiàn)良好的隔振效果，可為無(wú)諧振隔振器的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)提供參考。

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Free resonance analysis of bilinear hysteresis dry friction damper

YU Hui-jie, ZHANG Le-jing

(School of Mechanical Engineering, University of Shanghai for Science and Technology, Shanghai 200093, China)

In this paper, theoretical and experimental research on the free resonance of bilinear hysteresis dry friction damper was carried out. A mechanical model was proposed for the dry friction damped system. The characteristic of stick motion under low frequency excitation was analyzed. The analytic solution of the unlock frequency was established. The parameters of the system under the optimal solution were also determined. Based on the motion equation of the system, the numerical calculation of the time response process was further carried out. Finally, through the experiment study, theory results were verified. This study provided the theoretical principles for guiding the design of a non-resonant absorber.

bilinear hysteresis; dry friction damper; free resonance; stick-slip

10.13465/j.cnki.jvs.2016.12.014

2015-09-01修改稿收到日期：2015-12-03

余慧杰 男，博士,講師，1978年生

O322；TH113.1

A