EMA與OMA模態參數辨識統一性方法

董　磊， 宋漢文， 鄭鐵生

(1.復旦大學 力學與工程科學系，上海　200433; 2.同濟大學 航空航天與力學學院，上海　200092)

EMA與OMA模態參數辨識統一性方法

董磊1， 宋漢文2， 鄭鐵生1

(1.復旦大學 力學與工程科學系，上海200433; 2.同濟大學 航空航天與力學學院，上海200092)

現代模態測試的對象正從系統部件轉向整體結構，系統的動力學特征正變得越來越復雜，表現在結構組件眾多導致系統模態密集化、局部化;在實際的工程結構中，甚至無法對大型結構施加有效的激勵或激勵的成本很高，使得EMA方法不能進行，只能使用OMA方法。在系統動力學特征越加復雜與參數辨識難度增加的同時，對參數辨識的要求越來越高;對算法的模態辨識能力要求越來越高;EMA與OMA都面臨著整體頻段的擬合困難、模型階次與模態參數選擇困難以及測點數的迅速增大帶來的計算量劇增等困難;并且，EMA與OMA之間還存在著辨識方法不能統一的問題;簡要回顧了VF算法原理，并進一步將VF算法拓展到OMA問題中，將頻域內的EMA與OMA建立一個統一辨識流程，實現了整個頻段上的整體擬合;簡化了模態參數辨識流程，減少人工介入工以及由于頻段劃分不當造成的識別質量的下降。利用公開數據進一步驗證了EMA問題中，VF算法在低信噪比和大規模曲線數目時的辨識效果，以及在OMA問題中的良好適用性。

試驗模態分析；環境激勵模態分析；模態參數；頻域；統一性

傳統的試驗模態分析(Experiment Modal Analysis, EMA)中的參數識別算法分為時域、頻域兩類。近十幾年來迅速發展的基于環境激勵的模態分析(Operational Modal Analysis,OMA)是本領域的一個研究熱點。

現代模態測試的對象正從系統部件轉向整體結構，系統的動力學特征正變得越來越復雜，這表現在結構組件眾多導致系統模態密集化、局部化。系統組件增加使得系統的模態越來越多，模態間的密度越來越高，在頻率軸上模態間的耦合變得越來越嚴重，甚至在某些頻段上密集化；同時，不同組件之間表現出模態的局部化。

系統動力學特征復雜化也使得測試方法復雜化，系統測點數急劇增多，測試數據隨之增長。為了保持數據的一致性，減小數據間的偏移，多次測量對數據進行拼合的測試方法不再適用。整體結構組件的增多也使得單點激勵不再能對整體系統能夠進行有效激勵，需要同時布置多個激勵點，MIMO(Maltiple-Input Multiple-Output)測試的必要性越來越高。MIMO測試更使得頻響函數數倍于測點數目。

在實際的工程結構中，甚至無法對大型結構施加有效的激勵或激勵的成本很高，使得EMA不能進行，只能使用OMA方法。OMA只測量響應信號，簡化了測試過程，更符合系統實際邊界條件，但也具有很大局限性：OMA對環境激勵信號一般基于白噪聲假設，但實際激勵信號不一定接近白噪聲。因此OMA方法中得到的模態中，有些模態是系統固有的，有些是系統激勵引起的強迫響應造成的虛假模態，需要對得到的模態進行進一步甄別。

在系統動力學特征越加復雜與參數辨識難度增加的同時，對參數的辨識、對算法模態辨識能力的要求越來越高，特別是將實驗結果用來驗證有限元模型時。這些變化使得模態分析面臨的挑戰也隨之增大。

無論EMA與OMA都面臨著數據擬合過程中整體頻段擬合困難、模型階次與模態參數選擇困難以及測點數的迅速增大帶來的計算量劇增等困難。并且，EMA與OMA之間還存在著辨識方法不能統一適用的問題[1]。

當前的模態辨識過程需要對數據頻段進行劃分，通過多次分段擬合之后將模態參數拼合來取得所有模態[2]。模態間越來越嚴重的耦合導致無法有效通過頻段劃分使模態得到良好的隔離，模態間的高耦合性也使得剩余模態的影響更加明顯，從而造成辨識過程中模態的遺漏以及模態參數精度的下降。這對從業人員的經驗要求越來越高，在整個分析頻帶上整體擬合的必要性越來越突出。

整體頻段上進行擬合可以消除模態耦合以及低階剩余模態的影響，將高階剩余模態的影響降到最低，同時可以簡化整個模態參數辨識流程，減小操作人員的介入、減少工作量以及由于頻段劃分不當造成的識別質量的下降。但整體頻段擬合面臨著比分段擬合更加嚴苛的挑戰：整體頻段擬合的數據中包括更多的系統模態，要適用比分段擬合使用更高的模型階次，因而要面對更嚴重的數值病態問題，對算法有更高的數值穩定性要求。同時，整體頻段上模態間能量的差異更大，對辨識算法在整個頻段上獲得所有模態的能力要求也更高。而更高的模型階次也意味著擬合過程中出現更多的虛假模態，要面對更復雜的模態參數挑選過程。

在EMA中，傳統以正交多項式為代表的算法在面臨更高的型階次下，遇到的數值病態問題更加嚴重，同時定階不當會導致曲線擬合效果畸變失真。

EMA建立在頻響數據估計的基礎之上，而OMA的頻域算法多數以功率譜函數為數據對象，由于數學模型上的差異，EMA和OMA算法之間互相不適用，EMA的頻域辨識方法不能有效擴展到OMA的參數辨識中，OMA頻域中的方法也不適合EMA問題。針對不同的情況，需要針對性的方法才能取得較好的辨識結果，各種辨識方法不具有統一的適用性。

VF(Vector Fitting)[3]將有理分式函數直接分解為部分分式和的疊加，擬合誤差隨擬合階次的增大而迅速收斂。隨擬合階次的增加，已辨識得到的部分分式參數并不隨著階次的變化而改變，具有良好的數值穩定性。在發展過程中的一系列改進以及過程很大改善了方法的數值條件，避免了數值病態[4-7]。

本文進一步將VF算法拓展到OMA問題中，通過EMA與OMA在頻域內多項式模型的統一，實現了辨識算法的統一；利用VF方法在曲線擬合精確性和識別結果的穩定性達到整個頻段上的整體擬合。使用公開的EMA以及OMA數據對VF算法進行考核，進一步驗證了VF算法在低信噪比和MIMO測試下大規模試驗數據下的辨識效果。

1EMA與OMA多項式模型統一

系統的頻響函數是有理分式多項式，其形式為：

(1)

式中：λr為系統的極點;zij,r為零點;Cij,r為留數。

系統的頻響矩陣為：

(2)

系統響應的功率譜矩陣為：

Gy(ω)=H(ω)Gx(ω)[H(ω)]H

(3)

式中：H(ω)為系統的頻響矩陣;Gx(ω)是輸入的功率譜密度矩陣;?H表示共軛轉置。在零均值的白噪聲輸入假設下，Gx是一常數矩陣，因此可以得到[8]：

(4)

將式(4)記為：

(5)

式中：

(6)

(7)

(8)

在實際擬合中，數據總是在有限的頻段內，因而可以將模態頻率是否在數據段內分為：

(9)

當數據段外的模態固有頻率Re(λr)?ω，上式中的第二項可以近似為：

(10)

為一常數項。考慮到對高頻剩余模態的補償，無論在EMA還是OMA辨識過程中，都使用統一的包含常數項的多項式模型：

(11)

特別的，如果測量信號為加速度，ηij(ω)本身的分子階次與分母階次相同，包含常數項。

2VF算法

對一個有理函數形式的待辨識曲線η(s)：

(12)

VF方法將η(s)的分子分母同時除以一個與分母同階的一個多項式σ(s)：該多項式的初始極點pr由人為設定，稱為極點替換函數：

(13)

則η(s)變為：

(14)

將式(14)的分母乘到等式兩邊可以得到：

(15)

(16)

可得：

(17)

(18)

(19)

將η(s)的數據代入后便可以將未知系數全部擬合出來。將式(19)寫為矩陣形式：

(20)

采用QR對單曲線方程式(20)進行分解[10]，只保留包含系統極點信息CD的相關矩陣，之后對多個曲線進行矩陣拼合，使得多曲線擬合的矩陣規模可以隨曲線數目線性增長，大大縮減多曲線擬合的計算量。

在實際的模態參數擬合過程即取s=jω來根據試驗數據進行擬合。

3實驗檢驗

美國試驗力學學會(SEM)為國際模態分析會議(IMAC)開展的EMA與OMA競賽而對一系列數據的公開，以便對模態辨識算法進行權威的考核、比較。數據公開地址來自于密歇根理工大學(MTU)網站，EMA數據網址為：http://www.me.mtu.edu/imac_mpe/；OMA數據網址為：http://www.me.mtu.edu/imac_oma/；每組數據詳細的實驗描述可以從網站獲得。為了進一步檢驗VF方法在EMA以及OMA問題中的統一性以及辨識精度，我們使用此公開的實驗數據來對其進行檢驗。

數據一是某烘干機的模態試驗。測試采用MIMO，共有四個激勵點，分別分布在烘干機的底部、后方、左側、右側，測量點數目共為300個。激勵信號采用猝發隨機，采樣頻率為256 Hz，使用Polytec公司激光測振儀采集速度響應信號，共獲得1 200條頻響曲線。

典型的系統頻響曲線見圖1。測試系統中模態數量較多，并且，在部分頻段上耦合較嚴重，數據信噪較低。

圖2是VF方法中使用QR分解的多曲線快速算法進行擬合后得到的穩態圖，穩定模態參數篩選誤差準則為：頻率0.05 Hz，阻尼比10%，留數10%。

圖1　典型頻響曲線Fig.1 Typical FRF curve

圖2　烘干機模態穩態圖Fig.2 Stable diagram of the dryer

VF方法得到模態參數在不同模型自由度下具有高度的穩定性，因而使得模態參數的挑選不再依賴模型階次的確定。在足夠高的模型自由度后，穩定的模態便基本不再變化，可以依據穩態圖中的穩定模態不再增加得到確認。此時，可以從其中挑選其中一個階次下的模態參數，或是取多個階次下的平均值。

本算例中，模態參數是取100～120自由度下的穩定模態參數的平均值。在利用穩態圖對系統模態參數進行篩選后，我們利用得到的模態頻率、阻尼進行線性擬合，得到最終的重構頻響函數，用來顯示VF方法最終達到的曲線精度以及參數精度。盡管部分曲線的信噪比不高，并且數據量巨大，VF方法依然在0～96 Hz整個頻段內一次性獲得31個模態。并且在擬合自由度高達120的情況下，所獲得的參數仍然保持了良好的穩定性。清晰的穩態圖明顯降低了模態參數選擇的難度，使得對操作人員經驗的依賴降低，更能提高參數選擇速度。

圖3與圖4是根據圖2穩態圖重構后的頻響。但根據重構后的頻響與實驗數據的對比可以看出，盡管數據中的噪聲很高，VF方法依然對實驗數據曲線實現了良好的重構。

圖4　back:39+X/back:311+Y重構頻響Fig.4 Comparison of measured FRF of back: 39+X/back: 311+Y with FRF synthesized from the identified modal parameters

在根據穩態圖得到的模態參數來曲線重構進行檢驗的同時，也發現了系統中存在局部模態：在烘干機后方存在局部模態，模態頻率分別為21.9 Hz和27.4 Hz。但在擬合過程中，頻率為27.4 Hz的模態并未能得到。

多曲線擬合中頻率為27.4 Hz的模態遺漏的原因在于數據的信噪比低并且該局部模態在其出現的曲線中都是低能量的：普遍低于最高峰值3個數量級。從圖4的重構誤差來看，被遺漏的27.4 Hz模態在誤差能量中都屬于超小的數量級。該局部模態模態遺漏的原因并不在于整體頻段擬合：在采用分段擬合后，依然不能得到此模態；在只取背面相關頻響函數進行擬合后，得到了此局部模態。

(21)

圖T與重構頻響幅值疊加Fig.5 Comparison of measured T with synthesized from the identified modal parameters

圖6　烘干機MAC矩陣Fig.6 MAC matrix of the dryer

數據二是丹麥DFDS公司某滾裝船在海浪作用下的OMA檢驗。測試時滾裝船的引擎轉速為123 r/min，共16條響應曲線，數據共采集90 min，采樣頻率為128 Hz，時域響應波形見圖7。在擬合中，采用第一點Y、Z方向兩個響應作為參考點，共得到32條待擬合曲線。

表1　烘干機系統模態參數

圖7　滾裝船在海浪作用下的時域響應Fig.7 Time response of the ship in random ocean waves

分析頻帶重點關注0～10 Hz，在實際中擬合時，選擇擬合頻段為0～32 Hz，模型自由度為5～70，共得到17個穩定模態(見圖8)。圖9是通過圖8的滾裝船穩態圖的穩定模態重構的曲線，可以看到，VF算法同樣取得了良好的擬合效果。

圖8　穩態圖Fig.8 Stabilization diagrams of the ship

但圖8中的穩定模態并不是全部為系統模態。在穩態圖中存在著2.05 Hz整數倍頻率的模態，在10 Hz以后的穩定模態基本都是由這些倍頻峰值構成。表2列出了0～20 Hz范圍內的倍頻模態：這些模態對應著10-4數量級的超小阻尼比，是測試過程中由滾裝船引擎的周期信號強迫激勵引起的虛假模態。海浪的有效激勵帶寬是0～10 Hz，這也是重點分析這一頻段的原因。

圖9　2+Y/1+Z重構Fig.from the identified modal parameters

0～10 Hz頻段內的系統模態參數取50～70擬合自由度下參數的平均值，見表3，系統各階模態向量得到的模態置信因子矩陣見圖10。

表2　引擎激勵起的偽模態

表3　滾裝船0～10 Hz內系統模態

圖10　滾裝船MAC矩陣Fig.10 MAC matrix of the ship

4結論

本文將頻域內的EMA與OMA問題使用一致的包含常數項的多項式模型，實現了頻域內模態辨識算法的統一。

在EMA算例中，進一步檢驗了VF算法在大規模和低信噪比數據下的曲線擬合精度、模態參數的穩定性以及對局部模態的檢驗。

在OMA算例中同樣證明了VF算法良好的曲線擬合精度、參數穩定性，同時討論了環境激勵下包含強迫激勵引起的虛假模態的甄別。

在EMA和OMA算例中，VF方法都具有良好的曲線擬合精確性和識別參數的穩定性，使得模態參數的準確度和篩選可靠性都得到良好保障。利用VF算法達到了整個頻段上的整體擬合，簡化了模態參數辨識流程，減少人工介入以及由于頻段劃分不當造成的識別質量的下降。

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Unity method for EMA and OMA in the frequency domain

DONG Lei1, SONG Han-wen2, ZHENG Tie-sheng1

(1.Department of Mechanics and Engineering Science, Fudan University, Shanghai 200433, China； 2.School of Aerospace Engineering and Applied Mechanic, Tongji University, Shanghai 200092, China)

The complexity of the characteristics of system dynamics is increasingly outstanding due to the trend of tested objects being changed from isolated components to integral structures. The local behavior of the components and the closely spaced modal increase that occurs with either this complexity of exertion or the measurement of the excitation is almost impossible for large-scale structures. Only the outputs are available, in which case OMA is issued. While the complexity of the system and the difficulty of analysis increase, further analysis highlights the current limitations of the modal-analysis process. Several difficulties can be mentioned: analysis of the complete frequency band simultaneously, high system orders, the large number of measurements to be processed, and its existence in both EMA and OMA processes. Specific mathematical models between EMA and OMA offer no universal method for modal analysis. The present paper reviews the theory of VF and extends the VF method to OMA. A coherent model description and unified identification process are presented for both EMA and OMA in the frequency domain. The implementation of the analysis in the whole frequency band at the same time is obtained using a high model order (over 100), which simplifies the identification process. The decrease in identification quality could be avoided by the reduction of user interaction. An EMA case is discussed, which validates the VF method when it is applied to a large number of FRFs (over 1000) with significant data noise. The excellent result is also confirmed in the OMA case study.

experiment model analysis (EMA); operational model analysis (OMA); modal parameter; frequency domain; unity

10.13465/j.cnki.jvs.2016.12.002

國家自然科學基金(11272235)

2015-05-13修改稿收到日期：2015-06-17

董磊 男，博士生，1985年生

宋漢文 男，教授，博士生導師，1961年生

O321;O327

A