板帶軋機機電傳動系統參激非線性扭振魯棒控制研究

韓東穎, 時培明, 趙東偉

(1.燕山大學 車輛與能源學院,秦皇島　066004；2. 燕山大學 電氣工程學院,秦皇島　066004)

板帶軋機機電傳動系統參激非線性扭振魯棒控制研究

韓東穎1, 時培明2, 趙東偉2

(1.燕山大學 車輛與能源學院,秦皇島066004；2. 燕山大學 電氣工程學院,秦皇島066004)

建立了含參激非線性、不確定性、負載轉矩的軋機機電傳動系統扭振動力學模型，研究了板帶軋機電機速度魯棒跟蹤非脆弱控制問題。將板帶軋機機電傳動系統的非線性按參數不確定性處理，通過H∞理論、Lyapunov穩定性理論和線性矩陣不等式(LMI)方法得到了通過狀態反饋使得系統滿足二次穩定、抑制外界干擾的充分條件;為了實現給定速度信號跟蹤非脆弱控制，設計了前饋補償器。軋機實例仿真結果驗證了方法的有效性，并發現控制器的非脆弱性表現為控制器參數的魯棒性，即可以通過控制器參數的直接選取達到板帶軋機機電傳動系統扭振非脆弱控制效果。

軋機；扭振；參激；非線性；魯棒H∞

軋機傳動系統是軋制設備中的關鍵部分，其作用是將電機產生的驅動力矩傳遞給軋輥，實現軋制生產，因此電機速度平穩性直接影響傳動系統穩定性和產品質量。軋機傳動系統模型參數具有不確定性，同時存在軋制擾動影響，軋機機電傳動系統時常發生扭振現象[1-4]。軋機扭振控制引起了廣泛關注，文獻[5]針對軋機傳動系統線性模型，基于H∞理論在傳統PI控制基礎上，從混合靈敏度角度設計了抑制電機速度振蕩補償器，抑制了外界干擾對電機速度、電機轉矩、軸力矩的影響，但模型中僅考慮了標稱值情形；文獻[6]建立了基于模型匹配的軋機機電傳動系統模型，通過LMI(Linear Maerix Lnequality)方法有效改善了軋機傳動系統的跟蹤性能，但未考慮模型的參數不確定性；在直流電機無補償繞組或補償繞組不能完全抵消電樞反應引起的非線性情形下，文獻[7]考慮了該非線性及參數不確定性，將非線性項視為結構不確定性，在文獻[8]基礎上，通過求解Riccati不等式得到狀態反饋控制器，并設計了前饋補償器，較好地實現了電機速度跟蹤魯棒控制。軋機傳動系統結構具有特殊性，尤其是板帶軋機，由于軋制過程中接軸有傾角，將產生參激作用[9]。對這類扭振控制問題，還沒有開展相關研究的報道。

本文建立了軋機機電傳動系統參激非線性扭振模型，將非線性處理為參數不確定性，基于H∞理論、Lyapunov穩定性理論及LMI方法，研究了軋機機電系統中直流電機速度跟蹤非脆弱控制問題，得到了系統非脆弱狀態反饋控制器存在的充分條件，并設計了前饋補償器。取得了較好的跟蹤控制效果。實例仿真過程中，發現未考慮控制器攝動時，控制器自身帶有一定魯棒性，通過進一步給出的簡化定理和控制器參數靈活選取，可實現含參激非線性板帶軋機扭振系統速度跟蹤非脆弱控制，通過實例仿真驗證了方法的有效性。

1板帶軋機機電傳動系統含參激非線性扭振模型

板帶軋機機電傳動系統包含電氣傳動部分和機械傳動部分，當研究軋機傳動系統機電耦合作用時，可將傳動系統簡化為電氣系統和機械系統兩部分來研究。由于板帶軋機主傳動系統結構的特殊性，以及板帶軋機常常進行調速、存在軋輥磨損、軋件厚度變化等，連接軸與電機和軋輥接觸的部分并非水平的，即存在接軸傾角，這個傾角會引起角速度的波動，導致傳動系統非線性振動。接軸傾角的變化會引起系統連接軸剛度周期性變化，使得系統的剛度表現為參數激勵。

考慮參激非線性板帶軋機機電傳動系統結構簡圖見圖1。

圖1　含參激剛度非線性的軋機機電傳動系統扭振模型Fig.1 The electrical drive system of rolling mill torsional vibration model with nonlinear parametric stiffness

圖1中，D為直流電機；R為電樞繞組的電阻；U為電機電樞輸入電壓；L為電樞繞組的電感；J1為電機轉動慣量；J2為軋輥轉動慣量；ω1為電機轉速；ω2為軋輥轉速；T為負載轉矩。KF為準周期剛度連接軸剛度的非線性形式考慮為準周期剛度[10]具體形式為：KF=K[1+ρcos(vt)+hcos(Ωt)]，其中K為等效剛度；v為與系統固有頻率相關的共振頻率；Ω為緩變頻率；ρ為對應共振頻率項的幅值系數；h為對應緩變頻率項的幅值系數。

根據廣義耗散系統的Lagrange原理建立模型，過程如下：對于電氣傳動系統部分。選擇電荷q為廣義坐標，則系統的電動能Vd為：

(1)

系統的電勢能Vs為：

Vs=-Uq+kUω1q

(2)

設單位電荷δq流過電樞繞組的耗散能Vh為：

Vh=-Ri·δq

(3)

從而得到電阻產生的廣義力矩Fr為：

Fr=-Ri

(4)

將式(1)、式(2)和式(4)代入到如下形式的Lagrange方程中：

(5)

式中：gi和Qi分別為廣義坐標和廣義外力矩，i=1,2。

綜上可得電機側數學模型為：

(6)

對于機械傳動系統部分，選擇電機端的轉角θ1和軋輥端的轉角θ2作為廣義坐標，則該部分的動能E為：

(7)

該部分系統的勢能V為：

(8)

(9)

式中：pj為廣義坐標，j=1,2。

本模型不考慮阻尼作用，故有：

(10)

進一步由式(9)和式(10)，得：

(11)

將式(7)、式(8)和式(11)代入式(5)，得：

(12)

又易知：

(13)

聯立式(12)和式(13)，同時考慮參激非線性可得：

為了考察軋機接軸扭矩T12的振動情況，引入狀態變量T12，即令：

T12=K[1+ρcos(vt)+hcos(Ωt)](θ1-θ2)

(15)

選擇電流i、電機轉速ω1、接軸轉矩T12和電機轉速ω2為狀態變量，可得含參激剛度的板帶軋機機電傳動系統扭振模型為：

(16)

2參激非線性扭振魯棒控制器設計

所建含準周期剛度的軋機機電傳動系統扭振模型，基于H∞理論研究了傳動系統扭振魯棒控制問題?？紤]所建立的含參激剛度的板帶軋機機電傳動系統扭振模型式(16)。模型中考慮了準周期剛度形式，記：

fk(v,Ω,t)=ρcos(vt)+hcos(Ωt)

(17)

為書寫方便，簡記fk(v,Ω,t)為fk，則式(17)進一步表示為：

(18)

(19)

將式(19)寫成矩陣形式為：

(20)

將式(20)寫成由字母簡單表示為：

(21)

式中：

視Kfk為剛度K的參數攝動，即ΔC。暫不考慮常數項B1T對系統狀態的影響，該影響可由控制輸入進行前饋補償。考慮外界擾動信號w對系統的影響，則系統模型式(21)可以寫為：

(22)

式中：假設ΔC=EΣ(t)F。其中，E、F為適宜維數矩陣；Σ(t)為Lebesgue可測未知函數矩陣，且ΣT(t)×Σ(t)≤I，?t。

對系統進行魯棒控制的目標之一，是使系統在存在外界干擾時滿足如下干擾抑制指標：

‖z‖2≤γ‖w‖2

(23)

式中：γ>0;?w∈L2;z(t)為評價輸出信號;w(t)為干擾輸入信號;其屬于L2空間。并設評價輸出信號的具體形式為：

z(t)=Cx+Du

(24)

式中：系數矩陣C、D滿足CTD=0。

聯立式(22)和式(24)，得增廣受控系統模型如下:

(25)

3參激非線性扭振魯棒控制器求解

對增廣受控系統模型式(25)，引入線性靜態狀態反饋控制器K，即令：

u=Kx

(26)

則式(25)變為如下閉環形式：

(27)

選定Lyapunov函數為二次型形式，即：

V(x,t)=xT(t)Px(t)

(28)

φ=xT(A+BK+ΔC)TPx+xTP(A+BK+ΔC)x+

γ2wTw<0

(29)

將ΔC的具體形式代入上式，有：

(30)

EΣ(t)F+FTΣT(t)ET≤λPEETP+λ-1FTF

(31)

將式(30)和式(31)代入式(29)，使式(29)成為一個充分性不等式：

ATP+PA+KTBTP+PBK+λPEETP+

λ-1FTF+CTC+KTDTDK<0

(32)

式(32)左乘、右乘矩陣P-1，得：

P-1AT+AP-1+P-1KTBT+BKP-1+

λEET+λ-1P-1FTFP-1+P-1CTCP-1+

P-1KTDTDKP-1<0

(33)

注意到P-1=PT，設P-1=X，KP-1=Y，則式(33)變為：

XAT+AX+YTBT+BY+λEET+

λ-1XFTFX+XCTCX+YTDTDY<0

(34)

利用Schur補引理將上式等價轉化為如下矩陣不等式：

(35)

將上述推導過程整理得到如下定理。

定理3.1給定常數γ>0，對于式(25)，存在狀態反饋控制器K，使得閉環系統無干擾時二次穩定；零初始條件下，滿足干擾抑制指標式(23)的一個充分條件為，存在常數λ>0，正定對稱矩陣X和矩陣Y，滿足如下矩陣不等式：

(36)

(37)

4實例分析

以某型冷連軋機傳動系統相關參數[12]為實例參數：主電機額定功率1 500 kW，額定電壓938 V，額定電流1 720 A，額定轉速290 r/min，電機轉子的轉動慣量為J1=1 552 kg·m2，軋輥的轉動慣量為J2=1 542 kg·m2，kU=29 N·m/A，R=0.031 4 Ω，L=0.000 3 H，K=5.93×106，T=29 100 N·m，ν=1，Ω=0.01，h=0.04，ρ=0.01。

考慮計算可得式(22)的相關矩陣數值如下：

令λ=10 000，γ=1時，由LMI工具箱中feasp求解器，可求得狀態反饋控制器為：

K=

[-0.231 2 -432.705 5 -0.011 0 198.564 4]

(38)

圖2為給定速度為27.23 rad/s時電機速度的響應曲線;圖3為其橫向放大圖，可見實際電機速度信號在控制輸入的作用下，能快速平穩的跟蹤給定速度信號。

圖4為在給定電機速度為27.23 rad/s時，連接軸扭矩T12的響應曲線，圖5為圖4的橫向放大圖，由圖4可知，扭矩是從零開始迅速加大，達到一定值后逐漸減小，直到平緩穩定，仿真結果表明控制效果良好。

圖6和圖7分別為在給定電機速度為27.23+sin(6.28t) rad/s時，電機速度和連接軸扭矩的響應曲線。由圖6可知，電機速度信號在給定信號的第一個波谷到來之前實現了信號的跟蹤，響應曲線快速隨給定信號波動，實現了動態跟蹤；圖7為在給定電機速度信號為27.23+sin(6.28t) rad/s時的扭矩響應曲線。

圖2 ω=27.23rad/s時的電機速度響應曲線Fig.2Themotorspeedresponsecurveatω=27.23rad/s圖3 ω=27.23rad/s時的電機速度響應曲線放大圖Fig.3Themotorspeedresponseamplificationcurveatω=27.23rad/s圖4 ω=27.23rad/s時的連接軸扭矩響應曲線Fig.4Theconnectingshafttorqueresponsecurveatω=27.23rad/s

圖5 ω=27.23rad/s時的連接軸扭矩響應曲線放大圖Fig.5Theconnectingshafttorqueresponseamplificationcurveatω=27.23rad/s圖6 給定時變信號下的電機速度響應曲線Fig.6Themotorspeedresponsecurveundertimevaryingsignal圖7 給定時變信號下的連接軸扭矩響應曲線Fig.7Theconnectingshafttorqueresponsecurveundertimevaryingsignal

圖8和圖9為給定速度信號為27.23 rad/s，假設外界干擾信號為幅值是負載轉矩1/10的正弦信號，即2 910 sin(6.28t)情形，電機速度和連接軸扭矩響應曲線，曲線波動很小，效果良好。

圖10～圖13為給定階躍信號下，電機速度的跟蹤曲線圖及其放大圖和連接軸扭矩的響應曲線圖及其放大圖，由圖可見，實現了電機速度對給定速度信號的快速跟蹤，除開始由一次速度波動外，整個過程平穩。連接軸扭矩的波動得到了有效的抑制；圖14～圖17為給定時變信號和存在擾動信號兩種情形下的電機速度跟蹤曲線和連接軸扭矩響應曲線。仿真結果表明，在給定控制輸入下，實現了動態信號的有效跟蹤和連接軸扭振的有效抑制。

圖8 擾動信號下的電機速度響應曲線Fig.8Themotorspeedresponsecurveunderdisturbancesignal圖9 擾動信號下的連接軸扭矩響應曲線Fig.9Theconnectingshafttorqueresponsecurveunderdisturbancesignal圖10 ω=2.723rad/s時的電機速度響應曲線Fig.10Themotorspeedresponsecurveatω=2.723rad/s

圖11 ω=2.723rad/s時的電機速度響應曲線放大圖Fig.11Themotorspeedresponseamplificationcurveatω=2.723rad/s圖12 ω=2.723rad/s時的連接軸扭矩響應曲線Fig.12Theconnectingshafttorqueresponsecurveatω=2.723rad/s圖13 ω=2.723rad/s時的連接軸扭矩響應曲線放大圖Fig.13Theconnectingshafttorqueresponseamplificationcurveatω=2.723rad/s

圖14 動態給定信號下的電機速度響應曲線Fig.14Themotorspeedresponsecurveunderdynamicsignal圖15 動態給定信號下的連接軸扭矩響應曲線Fig.15Theconnectingshafttorqueresponsecurveunderdynamicsignal圖16 擾動信號下的電機速度響應曲線Fig.16Themotorspeedresponsecurveunderdisturbancesignal

圖17　擾動信號下的連接軸扭矩響應曲線Fig.17 The connecting shaft torque response curve under disturbance signal

對于系統模型發生攝動情形，控制效果與標稱情形類似。

5結論

針對含參激剛度非線性的板帶軋機機電傳動系統扭振模型，基于H∞理論和Lyapunov穩定性理論，設計了實現系統魯棒穩定性和魯棒性能的狀態反饋控制器，同時設計了前饋補償器，消除了穩態誤差。最后通過實例仿真，可知所設計的控制器和補償器可以通過控制器參數的直接選取，實現板帶軋機機電傳動系統扭振非脆弱控制，驗證了算法的有效性。

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Study on robust control for parametric excitation nonlinear torsional vibration of a strip-rolling mill’s mechanical and electrical drive system

HAN Dong-ying1, SHI Pei-ming2, ZHAO Dong-wei2

(1. College of Vehicles and Energy, Yanshan University, Qinhuangdao 066004, China;2. College of Electrical Engineering, Yanshan University, Qinhuangdao 066004, China)

While considering parametric excitation nonlinearity, uncertainty and load torque, the nonlinear torsional vibration dynamic model of a mechanical and electrical transmission system in a strip-rolling mill is built. The problem of the strip-rolling mill’s motor-speed robust tracking and non-fragile control of the DC motor is studied. As the nonlinearity of the strip-rolling mill’s mechanical and electrical drive system is translated into parameter uncertainty, the sufficient condition that lets the system attain quadratic stability and outside-disturbance attenuation is obtained using H∞theory, Lyapunov stability theory and the LMI method. In order to achieve the given speed-signal tracking and non-fragile control, a feedforward and compensatory controller is designed. The results of the real strip-rolling mill’s simulation example verify the effectiveness of the proposed method, and the non-fragility of the controller is reflected as the controller’s parameter robustness. This means that the effect of the torsional vibration non-fragile control of the strip-rolling mill’s mechanical and electrical drive system can be fulfilled by choosing the parameters of the controller directly.

rolling mill; torsional vibration; parametric excitation; nonlinear; robustH∞

10.13465/j.cnki.jvs.2016.12.001

國家自然科學基金(51005196)；河北省自然科學基金(E2012203194)

2015-05-12修改稿收到日期：2015-06-19

韓東穎 女，博士，副教授，1978年生

TM341

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