轉向系統傳遞函數的研究及理想傳動比獲取

程　準,魯植雄,龔佳慧,刁秀永

(南京農業大學 工學院,江蘇 南京 210031)

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轉向系統傳遞函數的研究及理想傳動比獲取

程準,魯植雄,龔佳慧,刁秀永

(南京農業大學 工學院,江蘇 南京 210031)

基于對新建立的6自由度非線性轉向模型的研究,提出采用傳遞函數代替原轉向模型的方法,提出求解傳遞函數的新方法.利用改進的模擬退火算法求解傳遞函數,采用不同的插值法建立傳遞函數的動態參數變化模型,對不同的插值法進行比較.基于得到的轉向傳遞函數模型,針對現階段獲取理想傳動比方式的缺陷,提出穩態增益理想傳動比動態精確獲取方法.研究結果表明,轉向傳遞函數輸出的響應曲線與原系統的響應曲線非常吻合,精度極高,該傳遞函數能夠替代原先復雜的系統；動態參數變化模型能夠很好地表征傳遞函數的參數隨車速、傳動比和轉向盤轉角的變化關系；理想傳動比的動態精確獲取能夠實時保證在車速和方向盤不斷變化下轉向增益維持理想的定值.

線控轉向; 非線性; 傳遞函數; 模擬退火算法; 理想傳動比

近年來,線控轉向技術(steer-by-wire, SBW)不斷發展,因為SBW系統具有主動轉向的優點,可以滿足駕駛員對理想轉向特性的需求[1-4].SBW技術使傳動比可以自由設計因而大幅度提高了操縱穩定性[5-8],對SBW系統的研究意義深遠.由于汽車轉向系統呈現非線性特點,模型復雜,造成研究的不便,若能夠利用一個簡單的等效系統來代替原有復雜的系統,則可以大幅度提高研究的效率.本文提出采用傳遞函數的方法來精確地描述原復雜系統橫擺角速度輸出關于方向盤角輸入的響應,關于傳遞函數的求解,提出一種新方法,并舉例驗證新方法的正確性.

本文基于傳統的線性二自由度模型的不足[9-10],建立6自由度非線性轉向動力學模型.基于新建立的整車轉向模型,采用改進的模擬退火算法求解復雜轉向模型的傳遞函數,再基于不同的車速、方向盤轉角和傳動比進行大量的仿真實驗,并結合Lagrange插值、Hermite插值和Spline插值法獲取任意工況下傳遞函數的參數值,從而得到轉向傳遞函數參數的動態變化模型.通過比較不同插值法的結果,提出最優的插值方式.

本文提出現階段穩態增益控制中理想傳動比獲取方式的不足,利用轉向傳遞函數模型實時地根據方向盤轉角和車速的變化,動態獲取理想轉向傳動比,以精確控制轉向橫擺角速度增益為理想的恒定目標值.

1　非線性6自由度轉向模型

1.1前輪角輸入至橫擺角速度輸出模型

假設車輛在前輪轉角δ的輸入下作圓周運動,建立如圖1所示的轉向模型.

圖1　車輛轉向模型Fig.1　Vehicle steering model

為了便于研究,作出如下假設.

1)忽略空氣阻力的影響.

2)忽略懸架的作用,不考慮車輛行駛時側傾和俯仰作用的影響.

3)忽略汽車垂向運動的作用.

4)車輛前、后車輪的特性相同.

研究的車輛為前輪轉向驅動的汽車.設前輪車速u1為整車模型的輸入速度,駕駛員通過踩踏油門踏板來控制的車速為u1.車體質心位置處的車速沿x、y軸正交分解的車速分別設為u和v,β為質心處的側偏角,α1和α2分別為前、后車輪的側偏角,可得車體質心速度u與前輪速度u1的關系式：

u=u1cos(δ-α1).

(1)

輪胎與地面之間的側向力FY(α1)和FY(α2)是一個非線性力,以Magic Formula模型作為側向力輸入模型[11],所以側向力FY(α)的公式為

FY(α)=Dsin{Carctan[BX-

E(BX-arctan(BX))]}+Sv,

(2)

X=α+Sh.

(3)

式中：B、C、D和E為與側向力相關的系數,其值與外傾角γ和單個車輪所受的垂直載荷有關；Sv為曲線垂直方向漂移；Sh為曲線水平方向漂移；α為車輪側偏角.前、后車輪側偏角為

(4)

(5)

式中：l1、l2分別為前、后車軸至質心的距離,ξ為u1與x軸的夾角,ωr為橫擺角速度.

根據達朗伯原理,建立動力學方程如下：

(6)

(7)

1.2方向盤角輸入至前輪角輸出模型

從方向盤角輸入至前輪角輸出,中間主要由操縱機構、轉向器和傳動機構起作用.為了提高系統模型的精度,只選取起突出作用的部件[12],本文采用的線控轉向系統及數學模型的主要參數均來自文獻[13],轉向盤模型主要由轉向柱末端和路感電機通過減速齒輪嚙合來組成；轉向執行系統簡化為齒輪齒條組件和轉向前輪組件；路感電機和轉向執行電機均采用直流電機.

基于MATLAB/Simulink的模型建立如圖2所示.

2　基于改進的模擬退火算法求解未知的傳遞函數模型

2.1改進的模擬退火算法

模擬退火算法(simulated annealing algorithm,SA算法)是一種以得到全局最優解為目的的智能算法[14-16]. 模擬退火算法的一般步驟為先設置初始溫度T0和最低溫度Tf,確認模型所涉及參數的定義域,并在定義域內隨機產生一組初始參數值η0=(η01,η02,…,η0n),將其代入公式計算目標函數值ΔE(η0).給予初始參數值一定的擾動,得到新參數組η1=(η11,η12,…,η1n),重新代入計算目標函數值ΔE(η1),并將新函數值與原函數值相減得到ΔE=ΔE(η1)-ΔE(η0).若ΔE<0,則新參數被接受；若ΔE>0,則新參數以概率P=exp(-ΔE/T)被接受.在同一溫度T下,重復若干次擾動后,再緩慢降低溫度,直至下降到最低溫度Tf,停止運算,輸出最優解.

本例由于待求解的系統較復雜,為了快速得到最優解,對SA算法進行改進.改進措施主要分為兩點.1)改變算法終止條件,將原先目標函數值越接近于0越優,改為目標函數的值小于ε,其中ε為滿足需求條件的一個理想值；2)借鑒遺傳算法中非均勻變異的思想改變對參數的擾動函數,強化局部搜索能力.擾動函數如下：

ηi+1=ηi+z(rand-0.5)r，

(8)

r=0.1(T/N).

(9)

式中：z=(z1,z2,…,zj),其中zj為第j個參數的定義域長度；T為當前溫度；N為從初始溫度下降到最低溫度進行的迭代總次數.

舉例說明利用改進的SA算法求解未知系統傳遞函數的方法,若已知傳遞函數為

(10)

設傳遞函數的表達式為

(11)

式中：k、a1、a2、a3為未知待求參數.

用階躍信號作為原系統的輸入,得到輸出響應曲線y0.利用改進的SA算法對k、a1、a2、a3進行尋優,目標函數設為每次尋優過程得到的輸出響應曲線y1與y0曲線的可決系數R2.得到的迭代進化圖和輸出曲線的比較圖分別如圖2、3所示.圖中，y為輸出響應.

圖2　改進的SA算法迭代進化圖Fig.2　Improved SA algorithm iterative evolution graph

圖3　原系統和基于改進的SA算法得到的輸出曲線圖Fig.3　Output curve of original system and improved SA algorithm

計算得到的結果為k=0.026 8,a1=0.671 2,a2=0.086 0,a3=0.002 7,R2=0.999 97,與原模型的參數非常吻合,而且輸出曲線基本重合,改進的SA算法迭代進化次數只有92次.

2.2轉向非線性系統等效的傳遞函數的形式

由于傳遞函數的形式眾多,確定汽車轉向模型的傳遞函數的統一形式非常重要.根據文獻[17]可知,傳統的線性二自由度轉向模型的傳遞函數形式為

(12)

式中：b1、b0、M、h和c為與整車參數有關的系數.

建立的轉向模型具有非線性、復雜等特點,而且實際的車輛模型也具有該特點,所以必須確定等效傳遞函數的形式.

假設傳遞函數的形式1為

(13)

式中：δh為轉向盤轉角；b1、b0、a1、a2和a3為未知待求參數,且應與整車參數有關.

采用改進的SA算法求解b1、b0、a1、a2和a3的最優值.由于該轉向模型輸出的橫擺角速度收斂,根據穩定的性質以及類比式(12)中相關參數與整車參數相關的性質,b1、b0、a1、a2和a3皆為正數.在同工況下,即δh、驅動輪車速u1和方向盤轉角與前輪轉角的角傳動比i都相同,將由傳遞函數輸出得到的ωr響應曲線和原系統輸出得到的ωr響應曲線進行對比,以兩條曲線的可決系數R2作為目標函數來評價相關性和精度.

假設傳遞函數的形式2為

(14)

式中：b1、b0、a1和a2為未知待求參數.

假設傳遞函數的形式3為

(15)

式中：δh為轉向盤轉角,b1、b0、a1、a2、a3和a4為未知待求參數.

假設傳遞函數的形式4為

(16)

式中：δh為轉向盤轉角,b2、b1、b0、a1、a2、a3和a4為未知待求參數.

以u1=80 km/h,δh=30°,i=2為實驗工況,基于改進的SA算法得到各個傳遞函數模型的計算結果,如表1所示.

表1　不同模型的計算結果比較

轉向模型的等效傳遞函數可以用式(14)來精確地描述,模型的精度R2=0.998 4,這與式(12)的形式一致.不同模型的最優輸出響應曲線與原系統的響應曲線如圖4所示.從圖4可以看出,模型2輸出的響應曲線與原系統的響應曲線基本重合.

圖4　不同模型與原系統的輸出響應曲線Fig.4　Output response curves of different models and original system

2.3傳遞函數中參數的動態變化模型

整車參數如整車質量、繞汽車質心z軸的轉動慣量、轉向盤轉動慣量等參數一經設定,在汽車的行駛過程中一般是不會發生改變.式(14)傳遞函數中的參數b1、b0、a1和a2的值與整車參數有關,若汽車行駛的工況不變,則參數b1、b0、a1和a2不會變化,所以會影響b1、b0、a1和a2值的因素共有3個,分別為汽車行駛速度、轉向盤轉角以及轉向盤轉角和前輪轉角之比(即傳動比).為了精確地獲得不同工況下的轉向傳遞函數,針對不同的車速、轉向盤轉角和傳動比對轉向傳遞函數中的參數基于改進的SA算法進行求解.

圖5　20 km/h車速下的b1參數值Fig.5　b1 parameter values under speed of 20 km/h

圖6　40 km/h車速下的b0參數值Fig.6　b0parameter values under speed of 40 km/h

圖7　60 km/h車速下的a1參數值Fig.7　a1 parameter values under speed of 60 km/h

圖8　80 km/h車速下的a2參數值Fig.8　a2parameter values under speed of 80 km/h

選擇車速、轉向盤轉角和傳動比分別為0～120 km/h、0～90°和2～20.輸出的部分車速下的轉向傳遞函數部分參數值如圖5～8所示.圖中，i為傳動比，δh為轉向盤轉角.

如圖9所示為在100 km/h車速下,不同轉向盤轉角和傳動比對應的目標函數R2,所求R2的均值為0.974 0,最大值為0.999 8,最小值為0.92,故所求的轉向傳遞函數都能夠較好地代替原有復雜的轉向系統.

由于車速、轉向盤轉角和傳動比在每次迭代計算時都是作為離散的數據輸入到仿真的算法中,為

圖9　100 km/h車速下的R2值Fig.9　R2 values under speed of 100 km/h

了減少計算的量,同時獲得更多可靠的結果,采用內插法來獲得更密集的不同工況下轉向傳遞函數的參數值.

插值方法有很多,本文分別采用Lagrange插值、Hermite插值和Spline插值對原先離散的轉向傳遞函數中的參數進行數據處理.為了對比不同插值法的精度,任意選取3種工況進行比較,結果如表2和圖10所示.

通過以上對比可知,在一般情況下,基于3種插值法獲得的橫擺角速度響應曲線與原系統的響應曲線精度都較高, 表明轉向傳遞函數還原系統模型的效果較好.Lagrange插值法在某些工況下可能會產生失效的情況,即轉向盤轉角信號經過轉向傳遞函數后得到的橫擺角速度響應曲線與原系統存在一些誤差.通過Hermite插值和Spline插值得到的結果都與原系統的響應曲線比較吻合,Hermite插值獲得的結果精度更高.

表2　所選3種工況的參數及計算結果

圖10　工況3下不同插值法輸出的響應曲線Fig.10　Response curves of different interpolation methods under condition 3

3　基于轉向傳遞函數的理想角傳動比控制

3.1理想轉向傳動比的概念和現階段獲得理想傳動比的不足

在轉向過程中,若ωr與δh的比值不隨行駛速度而變化,即ωr/δh恒為一定值,則對于該過程的控制稱為轉向增益穩態控制[18-20],設該定值為ks.轉向增益穩態控制在很大程度上減輕了駕駛員的操縱車輛所帶來的負擔,基于SBW系統可以通過調節控制i來保證ωr/δh在任意工況下都為定值,這種使穩態橫擺角速度增益為定值的傳動比稱為理想傳動比.

現今對于理想轉向傳動比的計算大部分都采用如下公式：

(17)

采用式(17)獲取理想傳動比i存在以下3個方面的不足.

1)該方法忽略了SBW系統中δh至前輪轉角δ之間的響應過程,當駕駛員轉動方向盤時,前輪轉角不是隨之突然就達到相應的值,而會經歷一定的響應階段才最終收斂于目標值.

2)車速和轉向盤轉角都是離散的概念,所以初期獲得的理想傳動比本身是離散的,需要在車速和轉向盤轉角的范圍內基于最小二乘法獲取其他工況下的理想傳動比,但不能保證此時獲取的傳動比可以滿足橫擺角速度增益不變.

3)通過式(17)得到的只是i與δ對應的關系,需要進一步處理才能轉換為i與δh的關系,這增加了數據處理的工作和難度.

3.2基于轉向傳遞函數仿真獲取理想傳動比

提出的等效轉向傳遞函數模型可以有效地代替原整車方向盤角輸入至橫擺角速度輸出模型,故而可以很方便地直接獲得任意工況下的理想傳動比,不僅可以滿足精度的需求,而且很好地體現整個轉向系統“δh→δ→ωr”的響應過程.

獲取理想傳動比的流程如圖11所示.

圖11　獲取任意工況下的理想傳動比流程圖Fig.11　Ideal transmission ratio flow chart in any working condition

任意選取6種工況進行理想傳動比的獲取并進行誤差計算,ks=0.5,結果如表3所示.

表3所選6種工況下的理想傳動比獲取及驗證結果

Tab.3Ideal transmission ratio and verification results of six operating conditions

工況iωr/δh誤差/%工況1.u1=20km/h,δh=90°2.30.50250.50工況2.u1=40km/h,δh=50°5.10.49920.16工況3.u1=60km/h,δh=30°8.00.50070.14工況4.u1=80km/h,δh=20°10.70.50380.75工況5.u1=100km/h,δh=10°13.20.49850.30工況6.u1=120km/h,δh=5°12.70.50500.99

4　結　論

(1)與傳統的車輛轉向模型相比,新建立的轉向6自由度模型采用了較少的假設,并針對前輪驅動轉向汽車而建立,考慮了轉向時驅動輪車速對于車體質心速度的影響,能夠較好地表征前驅汽車的轉向特點.對于轉向運動學和動力學方程中的三角函數都未采取簡化,以保證角度較大時模型的精度.

(2)通過設計的傳遞函數,驗證了新方法的正確性.計算結果表明,求解得到的傳遞函數的參數與原參數非常接近,輸出響應曲線的可決系數R2=0.999 97,兩條曲線基本上完全重合.

(3)采用改進的模擬退火算法,得到的轉向傳遞函數能夠較好地代替原復雜的整車轉向系統.通過不同工況下的計算結果可知,所求R2的均值為0.974 0,最大值為0.999 8,最小值為0.92.通過分別采用Lagrange插值、Hermite插值和Spline插值法對任意不同工況下轉向傳遞函數的參數進行獲取,對比結果可知,Hermite插值法獲取的參數值精度最高.

(4)基于轉向傳遞函數對理想傳動比進行獲取,能克服現階段傳統計算理想傳動比的不足,保證實時、精確的獲得任意工況下的理想轉向傳動比以維持轉向增益為恒定的目標值.

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Transfer function of steering system and acquisition method of ideal steering ratio

CHENG Zhun,LU Zhi-xiong,GONG Jia-hui,DIAO Xiu-yong

(CollegeofEngineering,NanjingAgriculturalUniversity,Nanjing210031,China)

The transfer function was used instead of the original steering model based on the new nonlinear steering model of six DOFs. A new method was proposed to solve the transfer function. The improved simulated annealing algorithm was used to solve the transfer function. Then different interpolation methods were used to establish the transfer function parameters’ model of dynamic change. Different interpolation methods were compared with the results. A new method for obtaining the ideal steering ratio was proposed based on the model of the steering transfer function in order to overcome the shortcomings of the current methods. Results showed that the response curve of the steering transfer function accorded with the response curve of the original system, and the transfer function can replace the original complex system. Dynamic change parameter model can characterize the relationship between the parameters of the transfer function with the speed, transmission ratio and steering wheel angle. Dynamic accurate acquisition of ideal steering ratio can guarantee the constant change in the speed and steering wheel to maintain the desired value of the steering gain．

steer by wire; nonlinearity; transfer function; simulated annealing algorithm; ideal steering ratio

2015-06-26.浙江大學學報(工學版)網址： www.journals.zju.edu.cn/eng

江蘇省科技支撐計劃資金資助項目(BE2012384)；江蘇省科技成果轉化專項資金資助項目(BA2010055).

程準(1992-)，男，碩士生，從事車輛動力學分析、車輛地面力學的研究.ORCID：0000-0003-1451-9156.

E-mail：chengzhun38@163.com

10.3785/j.issn.1008-973X.2016.07.008

U 463

A

1008-973X(2016)07-1276-08

通信聯系人：魯植雄，男，教授.ORCID：0000-0002-1687-4058. E-mail：luzx@njau.edu.cn