面向模糊多級(jí)特征的F-MEWMA控制圖研究

周　娟,余忠華,侯　智

(浙江大學(xué) 浙江省先進(jìn)制造技術(shù)重點(diǎn)研究實(shí)驗(yàn)室,浙江 杭州310027)

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面向模糊多級(jí)特征的F-MEWMA控制圖研究

周娟,余忠華,侯智

(浙江大學(xué) 浙江省先進(jìn)制造技術(shù)重點(diǎn)研究實(shí)驗(yàn)室,浙江 杭州310027)

摘要:圍繞難以定量測(cè)量、但可以分級(jí)量化的質(zhì)量特性,在實(shí)施統(tǒng)計(jì)過程控制中所遇到的檢出力受限問題展開討論,提出模糊多變量指數(shù)加權(quán)移動(dòng)平均控制圖(F-MEWMA)方法.該方法借助于模糊理論,對(duì)分級(jí)量化特征進(jìn)行模糊化處理. 針對(duì)不同α截集包含信息量多寡的問題,提出應(yīng)用加權(quán)α截集模糊區(qū)間值來構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量,分別針對(duì)模糊單變量和模糊多變量質(zhì)量特性進(jìn)行數(shù)學(xué)表征與比較分析. 采用Matlab仿真的方式確定不同權(quán)重系數(shù)和不同維數(shù)下的控制限,完成F-EWMA、F-MEWMA的設(shè)計(jì). 采用Matlab仿真的方法,以識(shí)別變異的概率為評(píng)價(jià)指標(biāo)對(duì)F-MEWMA的監(jiān)控效果進(jìn)行分析. 以電能表潛動(dòng)和起動(dòng)的質(zhì)量特性為例,對(duì)提出的方法進(jìn)行應(yīng)用,取得了較好的應(yīng)用效果.

關(guān)鍵詞：模糊多級(jí)特征；模糊理論；模糊多變量指數(shù)加權(quán)移動(dòng)平均控制圖(F-MEWMA)；加權(quán)α截集模糊區(qū)間值；識(shí)別變異的概率

相互關(guān)聯(lián)的多個(gè)變量模糊分級(jí)特征的控制圖研究尚不多見.Shahram等[6]提出通過回歸模型分析模糊響應(yīng)變量和預(yù)測(cè)變量之間的關(guān)系來監(jiān)控模糊多變量質(zhì)量特性,Hossein等[7]首次提出了模糊多變量指數(shù)加權(quán)移動(dòng)控制圖的設(shè)計(jì)想法.Shahram等[6]針對(duì)多個(gè)變量測(cè)量不準(zhǔn)確的問題,Hossein等[7]僅提出設(shè)計(jì)框架.Ahmadabadi等[8-10]的研究表明,無論單個(gè)變量是否存在相關(guān)關(guān)系,都不能用單個(gè)變量的個(gè)別控制代替多個(gè)變量的聯(lián)合控制.Juran認(rèn)為“質(zhì)量就是適用性”,本文將模糊理論引入,質(zhì)量的“適用性”標(biāo)準(zhǔn)被表示為模糊集的形式,通過構(gòu)建有代表性的模糊特征量,并將傳統(tǒng)的EWMA控制圖擴(kuò)展為多變量的形式,設(shè)計(jì)了面向多級(jí)模糊特征的多變量F-MEWMA控制圖．

1模糊控制統(tǒng)計(jì)量的表征及計(jì)算

圖1　模糊數(shù)據(jù)集中程度統(tǒng)計(jì)量的相互關(guān)系Fig.1　Relationships between fuzzy statistics for describing central tendency

(1)

當(dāng)模糊函數(shù)為單峰時(shí),該值唯一.

(2)

(3)

Taleb在針對(duì)彩瓷生產(chǎn)過程中應(yīng)用多屬性變量控制圖時(shí),建議為每一個(gè)給定的模糊樣本分配上面4種代表值中的一種[11].現(xiàn)有研究中提出的模糊代表值方法,可以總結(jié)為3類.

2)將注意力集中在等于或高于α截集的信息,如模糊中位數(shù)fmed.

3)對(duì)所有α截集信息同等對(duì)待,如模糊均值favg.

每一個(gè)語言變量Cij的模糊集可以用一定的模糊函數(shù)μ(Cij)表示,樣本A(樣本容量為n)可以表示為

A=[[(F11,n11),…,(F1m1,n1m1)];…[(Fi1,ni1)，…，(Fij,nij)];[(Fp1,np1),…，(Fpmp,npmp)]].

式中： nij(其中i=1,2,…,p,j=1,2,…,mp)為第i個(gè)變量的第j個(gè)類別對(duì)應(yīng)的樣本數(shù)量,Fij表示第i個(gè)變量的第j個(gè)類別特性值. 假如第i個(gè)變量用mi級(jí)模糊語言表示,每個(gè)級(jí)別的模糊語言對(duì)應(yīng)的模糊三角函數(shù)分別為[μ11,μ12,μ13],[μ21,μ22,μ23],…,[μmi1,μmi2,μmi3],則第k個(gè)樣本的第i個(gè)特性的代表性三角函數(shù)表示為

(4)

第k個(gè)樣本的第i個(gè)變量的加權(quán)α截集模糊區(qū)間值為

(5)

式中：

(6)

(7)

第k個(gè)樣本p個(gè)特性的模糊特性值可以表示為

Tk=[Tk1,Tk2,…,Tkp].

(8)

n個(gè)樣本的模糊特性值可以表示為

(9)

EWMA控制圖和CUSUM(cumulative sum)累積和控制圖相對(duì)休哈特控制圖而言,對(duì)前期樣本賦予不同的權(quán)重,利用了更多信息,因而對(duì)小波動(dòng)更加敏感.在使用過程中,研究人員逐漸認(rèn)識(shí)到,CUSUM控制圖雖然考慮被控系統(tǒng)時(shí)域信息,但沒有考慮不同時(shí)刻的觀察值反應(yīng)系統(tǒng)質(zhì)量信息多寡不相同的原則.EWMA控制圖的權(quán)重隨著觀測(cè)時(shí)間的推移越來越小,而且減小的趨勢(shì)可以通過平滑系數(shù)λ加以改變,以適應(yīng)不同加工過程的特點(diǎn). 本文在指數(shù)加權(quán)移動(dòng)平均控制圖的基礎(chǔ)上,設(shè)計(jì)了F-MEWMA控制圖．

2F-MEWMA控制圖的設(shè)計(jì)

F-MEWMA控制圖的設(shè)計(jì)按照構(gòu)建F-EWMA的統(tǒng)計(jì)量、構(gòu)建F-MEWMA的統(tǒng)計(jì)量、構(gòu)建控制限的步驟進(jìn)行．

2.1構(gòu)建F-EWMA的統(tǒng)計(jì)量

EWMA控制圖的理論基礎(chǔ)為正態(tài)分布,故在作F-EWMA控制圖前須對(duì)轉(zhuǎn)換后的數(shù)據(jù)進(jìn)行正態(tài)性檢驗(yàn).若不符合,則可以進(jìn)行正態(tài)性(Box-Cox)轉(zhuǎn)換．

2.2構(gòu)建F-MEWMA的統(tǒng)計(jì)量

(10)

(11)

I和λ都是對(duì)角陣,所以協(xié)方差矩陣∑Zi的第(k,l)個(gè)元素為

若λ1=λ2=…=λp=λ,則協(xié)方差矩陣∑Zi的第(k,l)個(gè)元素可以簡(jiǎn)寫為

即

當(dāng)i→∞時(shí),

2.3計(jì)算控制圖的控制限；

對(duì)于單變量F-EWMA控制圖,統(tǒng)計(jì)量Zi的期望和方差為

E(Zi)=(1-λ)iμ+E(λZi-1)=μ,

(12)

(13)

當(dāng)i→∞時(shí),

(14)

當(dāng)i較小(即樣本序號(hào)較少)時(shí),控制圖的控制限的通式為

(15)

當(dāng)i較大(即樣本序號(hào)較多)時(shí),則式(15)可以轉(zhuǎn)化為

(16)

表1不同權(quán)重系數(shù)λ下的控制限H(p=2)

Tab.1ControllimitsHfordifferentweightcoefficientsλ(p=2)

λHλH0.18.650.410.320.29.680.510.530.310.09——

表2不同權(quán)重系數(shù)λ下的控制限H(p=3)

Tab.2ControllimitsHfordifferentweightcoefficientsλ(p=3)

λHλH0.110.830.412.580.211.930.512.760.312.37——

表3不同權(quán)重系數(shù)λ下的控制限H(p=4)

Tab.3ControllimitsHfordifferentweightcoefficientsλ(p=4)

λHλH0.112.750.414.590.213.870.514.740.314.37——

權(quán)重系數(shù)λ的確定可以按照如下步驟進(jìn)行.1)根據(jù)上述仿真結(jié)果,采用回歸分析的方法確定H與λ的回歸方程；2)在不同維數(shù)p下,給定不同的λ,選取不同H(λ確定,H確定)仿真計(jì)算出不同偏移量ξ(實(shí)際中允許的值)下的ARL；3)通過回歸分析,確定ARL與λ的回歸方程(ξ一定)；4)找出ARL與λ的回歸方程(ξ一定)中最小ARL對(duì)應(yīng)的λ.具體的實(shí)現(xiàn)過程參見文獻(xiàn)[16].

3F-MEWMA性能分析

以構(gòu)造的新統(tǒng)計(jì)量為2維變量為例,以識(shí)別變異的概率為指標(biāo)展開仿真分析.假設(shè)過程均值向量發(fā)生偏移,方差向量不變.用Matlab產(chǎn)生200個(gè)樣本,前100個(gè)樣本均值向量為μ0,后100個(gè)樣本均值向量為μ′0.按照2.3節(jié)中控制圖控制限的確定方法確定H,選取λ與H的對(duì)應(yīng)關(guān)系,如表1所示.針對(duì)過程均值向量發(fā)生不同偏移ξ,運(yùn)用Matlab進(jìn)行仿真,作出F-MEWMA控制圖,統(tǒng)計(jì)失控點(diǎn)的數(shù)目mi,對(duì)每種不同偏移ξ運(yùn)行5 000次,求出識(shí)別變異的概率為

當(dāng)λ=1時(shí),F-MEWMA控制圖變?yōu)镕-T2控制圖.為了對(duì)比分析,作出F-T2控制圖并計(jì)算識(shí)別變異的概率.在計(jì)算程序中,F-T2的樣本量n=200.計(jì)算結(jié)果如表4所示.可以看出,對(duì)于F-MEWMA,λ越小,相應(yīng)的p越大,控制圖越靈敏.F-MEWMA的p均比F-T2的p大,說明新設(shè)計(jì)的F-MEWMA比F-T2更加靈敏．

4F-MEWMA案例應(yīng)用分析

電能表是電能計(jì)量、線損考核的計(jì)量器具,電能表的測(cè)量值是否準(zhǔn)確將直接影響電費(fèi)收取的公平公正.電能表的潛動(dòng)不良和起動(dòng)不良是2個(gè)發(fā)生頻次較高并且相關(guān)的不良項(xiàng)目.潛動(dòng)是指電能表各電流線路無負(fù)載電流,各電壓線路加80%～110%的參比電壓, 電能表的轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)動(dòng)應(yīng)少于1轉(zhuǎn).由于制造、裝配、維修時(shí)造成的磁路不對(duì)稱的情況, 產(chǎn)生固有的補(bǔ)償力矩, 該力矩稱為附加潛動(dòng)力矩.當(dāng)附加補(bǔ)償力矩超過摩擦力矩, 電能表在無負(fù)荷電流時(shí), 轉(zhuǎn)盤會(huì)不停地轉(zhuǎn)動(dòng), 從而形成潛動(dòng).企業(yè)檢驗(yàn)“潛動(dòng)”這一特性時(shí)觀察電能表無負(fù)荷電流時(shí)轉(zhuǎn)1/4圈內(nèi)、1/4圈～1/2圈、1/2圈～1圈、1圈以上的情況.分別表示為：T(C1=潛動(dòng))={C11,C12,C13,C14}={很好,好,一般,不合格}.所謂起動(dòng)是指電能表在參比頻率、參比電壓和cosφ=1(對(duì)有功電能表) 或sinφ=1(無功電能表) 的條件下,電能表電流線路通以規(guī)定的起動(dòng)電流(三相電能表各相同時(shí)加電壓和通電流),轉(zhuǎn)盤應(yīng)連續(xù)轉(zhuǎn)動(dòng).這一指標(biāo)反映了電能表靈敏度的高低.企業(yè)檢驗(yàn)“起動(dòng)”這一特性時(shí)觀察電能表15 s內(nèi)轉(zhuǎn)1圈、15～30 s時(shí)轉(zhuǎn)1圈、30～60 s時(shí)轉(zhuǎn)1圈、60 s未轉(zhuǎn)1圈的情況.分別表示為

T(C2=起動(dòng))={C21,C22,C23,C24}={很好,好,一般,不合格}．

電能表的潛動(dòng)和起動(dòng)是衡量計(jì)量性能的重要指標(biāo).是否滿足規(guī)程要求, 是電能表能否正確計(jì)量電能的關(guān)鍵.將電能表的潛動(dòng)和起動(dòng)情況進(jìn)行統(tǒng)計(jì),如表5所示. C1的模糊函數(shù)如圖2所示,C2的模糊函數(shù)如圖3所示．

圖2　潛動(dòng)模糊函數(shù)Fig.2　Creeping fuzzy function

圖3　起動(dòng)模糊函數(shù)Fig.3　Starting fuzzy function

批次C11C12C13C14C21C22C23C24115030182149291932149301921482920331492921115230180414729222152291815149311731532818161532916214730212714929202150301828150311811492821291522819114829212101512919115029192111503117214930183121513117114830193131493118215030182141542718114729204151532918014630213161523018014829212171513117114929211181483020215030200191493020115030182201522919015029192

對(duì)表5中的數(shù)據(jù),按照提出的方法計(jì)算第1個(gè)樣本號(hào)的第1個(gè)特性,本例中α=0.6,w(α)=3α2．

0.052 5+0.65×(0.115 0-0.052 5)=0.093 1,

0.400 0-0.65×(0.400 0-0.115 0)=0.215 0,

取λ=0.1,可以計(jì)算出Z11=λT11+(1-λ)Z0=0.141 78．

0.035+0.65×(0.158 8-0.035)=0.115 5,

表6　模糊統(tǒng)計(jì)量計(jì)算結(jié)果

0.368 8-0.65×(0.368 8-0.158 8)=0.232 3,

Z12=λT12+(1-λ)×Z0=0.166 48.

對(duì)變量1、2的正態(tài)性檢驗(yàn)如圖4、5所示.圖中，Pad為Anderson-Darling提出的P統(tǒng)計(jì)量.由圖4、5可以看出,變量1、2均服從正態(tài)分布,無需進(jìn)行Box-Cox變換,可以直接作出圖6所示的F-MEWMA控制圖.變量1和變量2的F-EWMA分別如圖7、8所示. 如圖9、10所示分別為變量1和變量2的不合格品率控制圖(p圖),如圖11所示為F- T2控制圖．

圖4　變量1的正態(tài)性檢驗(yàn)Fig.4　Normal inspection for variable 1

圖5　變量2的正態(tài)性檢驗(yàn)Fig.5　Normal inspection for variable 2

圖6　F-MEWMA控制圖Fig.6　F-MEWMA control chart

圖7　變量1的F-EWMA控制圖Fig.7　EWMA control chart for variable 1

圖8　變量2的F-EWMA控制圖Fig.8　EWMA control chart for variable 2

圖9　變量1的p控制圖Fig.9　pcontrol chart for variable 1

圖10　變量2的p控制圖Fig.10　pcontrol chart for variable 2

圖11　F-T2控制圖Fig.11　F-T2 control chart

分析圖6～11得出如下結(jié)論.

2)圖6顯示,樣本號(hào)1、2、4、5均顯示失控.由圖7的變量1即潛動(dòng)的F-EWMA控制圖看出,樣本號(hào)4、5顯示失控.由圖8的變量2即起動(dòng)的F-EWMA控制圖看出,未顯示失控.說明新設(shè)計(jì)的F-MEWMA和F-EWMA體現(xiàn)了單個(gè)變量的個(gè)別控制不能代替多個(gè)變量的聯(lián)合控制的原則；圖11僅顯示樣本號(hào)1失控,說明F-MEWMA的靈敏性優(yōu)于F-T2控制圖．

5結(jié)論

(1)針對(duì)模糊多級(jí)特征的多個(gè)質(zhì)量特性的控制問題,提出借助模糊理論設(shè)計(jì)面向模糊多級(jí)特征的F-MEWMA控制圖的方案.由于該方法充分地利用了分級(jí)量化所揭示的信息,并且包含了多變量之間的統(tǒng)計(jì)關(guān)系,從而可以提高控制圖的檢出力及降低對(duì)樣本量的要求.

(3)引入傳統(tǒng)的單變量指數(shù)加權(quán)移動(dòng)平均控制圖EWMA方法,將其擴(kuò)展為多變量的形式,設(shè)計(jì)了面向多級(jí)模糊質(zhì)量特性的F-MEWMA控制圖.重點(diǎn)對(duì)控制限的確定、控制圖的性能進(jìn)行討論.

(4)電能表潛動(dòng)和起動(dòng)特性現(xiàn)場(chǎng)監(jiān)控算例結(jié)果表明,新設(shè)計(jì)的多變量F-MEWMA控制圖對(duì)于控制模糊多變量的質(zhì)量特性具有較好的性能．

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收稿日期：2015-05-20.浙江大學(xué)學(xué)報(bào)(工學(xué)版)網(wǎng)址： www.journals.zju.edu.cn/eng

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(50835008,71071138).

作者簡(jiǎn)介：周娟(1979-)，女，講師，博士生，從事質(zhì)量工程的研究.ORCID: 0000-0002-2579-0067.E-mail:happyzhoujuan@126.com 通信聯(lián)系人：余忠華，男，教授，博導(dǎo). ORCID: 0000-0003-3326-5526. E-mail:yuzhh@zju.edu.cn

DOI:10.3785/j.issn.1008-973X.2016.07.021

中圖分類號(hào)：O 213

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號(hào)：1008-973X(2016)07-1373-08

F-MEWMAcontrolchartforfuzzyhierarchicalquantitativecharacteristics

ZHOUJuan,YUZhong-hua,HOUZhi

(Key Laboratory of Advanced Manufacturing Technology of Zhejiang Province, Zhejiang University,Hangzhou 310027, China)

Abstract:Fuzzy multivariate exponentially weighted moving average control chart (F-MEWMA) was proposed in order to solve the problem of lower power when implementing statistical process control to the quality characteristic which was difficult to quantify but could be described in hierarchical levels. F-MEWMA tried to blur the hierarchical quantitative characteristics based on fuzzy theory. Since different α cut sets containing different amount of information, interval value of weighted fuzzy α cut set was proposed. Mathematical characterization and comparison of the quality characteristics for fuzzy univariate data and fuzzy multivariate data were conducted respectively, and the control limits for different weight coefficients and different dimensions were determined by Matlab simulation. Then F-EWMA and F-MEWMA were designed. The effect of F-MEWMA was analyzed by calculating probability of identifying variation by Matlab simulation. The implementation of the F-MEWMA on the electric energy meter running and starting quality characteristics showed good result．

Key words:fuzzy hierarchical quantitative characteristic; fuzzy theory; fuzzy multivariate exponentially weighted moving average control chart (F-MEWMA); interval value of weighted fuzzy α cut set; probability of identifying variation