極限究竟是什么運(yùn)算

摘 要：高等數(shù)學(xué)是高等學(xué)校一門重要的基礎(chǔ)課程，學(xué)好它對(duì)每一位大學(xué)生都是極為重要的，很多專業(yè)課程的計(jì)算都要用到高數(shù)。另外培養(yǎng)你的邏輯思維能力也是高數(shù)的功能之一。對(duì)于高數(shù)學(xué)習(xí)不太有信心的同學(xué)，希望能給以幫助。極限的內(nèi)容，對(duì)于剛?cè)敫咝５膶W(xué)生而言是入門部分的重要環(huán)節(jié)。是“初等數(shù)學(xué)”向“高等數(shù)學(xué)”的起步階段。

關(guān)鍵詞：高等數(shù)學(xué)，極限，運(yùn)算

從概念上來講的話，我們首先要掌握逼近的思想，所謂極限就是當(dāng)函數(shù)的變量具有某種變化趨勢(shì)（這種變化趨勢(shì)是具有唯一性），那么函數(shù)的應(yīng)變量同時(shí)具有一種趨勢(shì)，而且這種趨勢(shì)是與自變量的變化具有對(duì)應(yīng)性。通俗的來講，函數(shù)值因?yàn)楹瘮?shù)變量的變化而無限逼近某一定值，我們就將這一定值稱為該函數(shù)在變量產(chǎn)生這種變化時(shí)的極限！從數(shù)學(xué)式子上來講， 趨近于在任何數(shù)學(xué)教材中都沒說該怎么運(yùn)算，是一筆糊涂賬。

那么，極限到底是什么運(yùn)算呢？其實(shí)很簡(jiǎn)單6個(gè)字：說一套做一特。說的是趨近于其實(shí)就是等于，老師總覺得講的不過癮，學(xué)生多半云里霧里罩著，沒多少人愿意揭開這層面紗

函數(shù)的 極限分x趨近常數(shù)和x趨近于無窮大。X趨近于常數(shù)好辦，直接將x等于常數(shù)代入，若有結(jié)果就寫答案。什么叫有結(jié)果呢？就是極限存在和不存在都叫有結(jié)果。什么叫不知道結(jié)果？不知道結(jié)果只是暫時(shí)不知道結(jié)果，我們把這種型叫待定型。如0比0型，無窮大比無窮大型，1的無窮大次方型，無窮大減無窮大型等等。對(duì)于0比0型和無窮大比無窮大型，我們用現(xiàn)在時(shí)髦的術(shù)語就是來pk，就是用代數(shù)這的因式分解法和合差化積法，分子有理化或分母有理化，將分子和分母中的0或無窮大至少pk掉一個(gè)0或無窮大，只有至少pk掉一個(gè)，才能使得極限定了型，定了型才能寫出極限的結(jié)果。如果因事分解法和差化積法及分子分母有理化都不靈，我們還有最后一招若必達(dá)法則。即分子分母分別求導(dǎo)數(shù)，用了一次若必達(dá)法則停一下，看看是否定了型，定了型寫結(jié)果，未定型來繼續(xù)，直到定了型為止。

只要你認(rèn)真的記住這些內(nèi)容，高數(shù)部分所要求的極限內(nèi)容基本可以全部解決。數(shù)學(xué)再難也是基本的內(nèi)容，基本的方法，關(guān)鍵是技巧性。其實(shí)不是討巧，是有規(guī)律可循的！今天我寫的內(nèi)容希望可以對(duì)大家的學(xué)習(xí)有幫助！

我們看到一道數(shù)學(xué)題的時(shí)候，首先是審題，做極限題，首先是看它的基本形式，是屬于什么形式采用什么方法。這基本上時(shí)可以直接套用的。

1 連續(xù)函數(shù)的極限

根據(jù)連續(xù)函數(shù)的定義，函數(shù)在某點(diǎn)的極限值等于函數(shù)在該點(diǎn)的函數(shù)值，即將常數(shù)代入函數(shù)，這是最簡(jiǎn)單的極限.

2 不連續(xù)但極限有結(jié)果的

很多同學(xué)會(huì)把極限不存在與極限的待定型搞混淆了，分不清.其實(shí)極限要搞清楚的是極限的狀態(tài)與極限的結(jié)果不是一回事，極限存在與極限不存在都是有結(jié)果，有結(jié)果就寫結(jié)果，題目做完了.而極限的狀態(tài)包括有結(jié)果和等結(jié)果，所謂等結(jié)果，就是結(jié)果不能一眼看出來，它的極限可能存在可能不存在，我們把這類型叫做待定型.

3 待定型的極限

待定型有很多形式，如0比0型，無窮大比無窮大型，無窮大減無窮大型，1的無窮大次方型等等.在極限的計(jì)算應(yīng)用中，待定型的技巧最多，難度相應(yīng)也大些，通常我們用到的技巧有：因式分解法，和差化積法，分子有理化，分母有理化，無窮小與無窮小的比較，無窮大與無窮大的比較，有界函數(shù)與無窮小的乘積為無窮小，極限中兩個(gè)重要的公式及數(shù)學(xué)形式不變性等等.下面舉例說明待定型的解題技巧.

第一，所有的含有無窮小的，首先要想到等價(jià)無窮小代換，因?yàn)檫@是最能簡(jiǎn)化運(yùn)算的。等價(jià)代換的公式主要有六個(gè)， 需要注意的是等價(jià)物窮小代換是有適用條件的，即：在含有加減運(yùn)算的式子中不能直接代換，在部分式子的乘除因子也不能直接代換，那么如果一般方法解決不了問題的話，必須要等價(jià)代換的時(shí)候，必須拆項(xiàng)運(yùn)算，不過，需要說明，拆項(xiàng)的時(shí)候要小心，必須要保證拆開的每一項(xiàng)極限都存在。

此外等價(jià)無窮小代換的使用，可以變通一些其他形式，比如： 等等。特別強(qiáng)調(diào)在運(yùn)算的之前，檢

驗(yàn)形式，是無窮小的形式才能等價(jià)代換。

當(dāng)然在一些無窮大的式子中也可以去轉(zhuǎn)化代換，即無窮大的倒數(shù)是無窮小。這需要變通的看問題。

在無窮小的運(yùn)算中，洛必答法則也是一種很重要的方法，但是洛必答法則適用條件比較單一，就是無窮小比無窮小。比較常見的采用洛必答法則的是無窮小乘無窮大的情況。（特別說明無窮小乘無窮大可以改寫為無窮小比無窮小或者無窮大比無窮大的形式，這根據(jù)做題的需要來進(jìn)行）。

第二，在含有∞的極限式中，一般可分為下面幾種情況：

（1），“∞/∞ ”形式

如果是冪函數(shù)形式的（包含冪函數(shù)四則運(yùn)算形式），可以找高次項(xiàng)，提出高次項(xiàng)，這樣其他一切項(xiàng)就都是無窮小了，只有高次項(xiàng)是常數(shù)。比如： ，這道題中，可以看到提出最

高次x（注意不是）其他項(xiàng)都是“0”，原來的x都是常數(shù)1了。當(dāng)然如果分式形式中，只有分子中含有高次項(xiàng)，那么該極限式極限不存在（是無窮大），如果只有分母中含有高次項(xiàng)，那么該極限式極限為0，如果分子分母都含有高次項(xiàng)，我們可以直接去看高次項(xiàng)的系數(shù)，基本原理其實(shí)就是上面所說的提高次項(xiàng)。比如上面的例子，可以直接寫1/2。

如果不是純冪函數(shù)形式，無法用提高次項(xiàng)的方法（提高次項(xiàng)是優(yōu)先使用的方法），使用洛必達(dá)也是一種很好的方法。需要強(qiáng)調(diào)的是洛必達(dá)是一種解決“∞/∞ ”或“0/0 ”的基本方法，它的嚴(yán)格限制形式只有這兩種，所以比較好觀察。但是多數(shù)時(shí)候我們優(yōu)先采用其他的方法來解決，這主要是考慮運(yùn)算量的問題。

（2），“∞-∞ ”形式

“ ∞-∞”形式不能直接運(yùn)算，需要轉(zhuǎn)換形式，即轉(zhuǎn)換成“∞/∞ ”或“0/0 ”的形式，基本解法同上。比如：

這道題是轉(zhuǎn)換形式之后是“∞/∞ ”的形式，提高次項(xiàng)解。

這也是需要轉(zhuǎn)換的一種基本形式。因?yàn)闊o窮大與無窮小之間的倒數(shù)關(guān)系，所以這種轉(zhuǎn)換時(shí)比較簡(jiǎn)單也是比較容易解決的。轉(zhuǎn)換之后的形式也是“∞/∞ ”或“0/0 ”的形式。

這種形式的解決思路主要有兩種。

第一種是極限公式 ，

這種形式也是比較直觀的。比如：這道題的基本接替思路是，檢驗(yàn)形式是“ ”，然后選用公式，再湊出公式的形式，最后直接套用公式。

第二種是取對(duì)數(shù)消指數(shù)。簡(jiǎn)單來說，“ ”形式指數(shù)的存在是我們解題的主要困難。那么我們直接消掉指數(shù)就可以采用其他方法來解決了。比如上面那道題用取對(duì)數(shù)消指數(shù)的方法來解，是這樣的：

可以看出盡管思路切入點(diǎn)不一樣，但是這兩種方法有異曲同工之妙。

4 極限運(yùn)算思維的培養(yǎng)

極限運(yùn)算考察的是一種基本能力，所以在做題或者看書的時(shí)候依賴的是基本概念和基本方法。掌握一定的技巧可以使學(xué)習(xí)事半功倍。而極限思維的培養(yǎng)則是對(duì)做題起到指導(dǎo)性的意義。如何培養(yǎng)，一方面要立足概念，另一方面則需要在具體的運(yùn)算中體會(huì)。

作者簡(jiǎn)介

楊錦（1951-），男，數(shù)學(xué)教授，研究方向：數(shù)學(xué)分析、心理數(shù)學(xué)。