關于函數單調性教學的幾“點”思考

◇　貴州　韋崇裕

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關于函數單調性教學的幾“點”思考

◇貴州韋崇裕

函數的單調性是中學數學的重點和難點.但教材中僅僅涉及它的定義,然后以幾個例題說明,因此學生往往在處理相關問題時顯得力不從心,從而影響到后面的學習內容.在此筆者總結了如下單調性學習的“5步曲”.

1　先學后教,探求基點

在教師的引導下組織學生自主學習,熟悉函數單調性的定義,要求學生不僅會用文字語言來描述,而且能較熟練地用符號語言進行表達.

2　緊扣定義,突出要點

在利用函數的單調性定義證明時,x1、x2的任意性是極其重要的，但學生往往忽略了“任意”這個;單調性的定義體現了自變量x1、x2與函數值f(x1)、f(x2)的密切聯系.可以用一句話總結:“同”增“反”減.

3　拓展延伸,突破難點

1) 對于復合函數y=f[g(x)],若t=g(x)在區間(a,b)單調,且y=f(t)在區間(g(a),g(b))(或(g(b),g(a)))上單調, 則函數y=f[g(x)]在區間(a,b)的單調性可以用一句話來總結:知“二”求“三”,“同”增“異”減.

2) 容易證明:若f(x)、g(x)均為定義在同一區間上的2個函數f(x)、g(x)的單調性一致時,那么f(x)+g(x)的單調性可隨之確定.

g(x)=1/x是遞減的,y=x-1/x=f(x)-g(x)是遞增的;同樣可推斷y=x-1/x在x∈(0,+∞)上是遞增的.

4　重審定義,解惑疑點

1) 函數y=f(x)在其定義域內單調與在區間上單調是一樣嗎?

2) 函數單調性的證明用圖形來證明嚴密嗎?

圖1

一般來說函數單調性是按照定義嚴格證明的，即按:取值→作差→變形→定號→下結論來進行的.圖形證明,顯然不具有說服力.但是可以用圖象來求函數的單調區間.

5　溫故知新,剖析考點

1) 求函數值域(或最值),另辟蹊徑.

雖然函數值域(或最值)的求法很多,但是有時用函數的單調性來處理卻不失為最實用的方法.

2) 求解不等式,馭繁為簡.

此題若用常規方法操作,顯然計算量太大易半途而廢.而用函數的單調性來解決,則令人耳目一新,其簡潔的解法令人拍案叫絕.

貴州省羅甸縣第一中學)