數字黑洞“6”，你知道嗎？

◇　江西　錢雯婧

?

數字黑洞“6”，你知道嗎？

◇江西錢雯婧

一般情況“數字黑洞”——黑洞數又稱陷阱數,是一類具有奇特轉換特性的整數．任何一個數字不全相同的整數,經有限次“重排求差”操作,總會得到某一個或一些數,這些數即為黑洞數．“重排求差”操作即組成該數的數字重排后所得的最大數減去重排后所得的最小數．但本文探討的數字黑洞數和上面的不相同．

1　數字黑洞“6”猜想的由來

大家在小時候都聽說過完美數,什么是完美數呢?如：28就是一個完美數,28的因數有1、2、4、7、14、28,將比28小的所有因數相加1+2+4+7+14,得數剛好是28．一個數除了它本身以外的所有因數相加的和如果等于這個數本身,那么這個數就叫做完美數．于是我就萌發了這樣一個想法:是否其他的數也能類似這樣拆分、組合而得到一個具體的數呢?通過不斷嘗試得出猜想:任何一個大于6的數按照某種規則拆分和組合,有限次之后都會變成6．(這一規則下面會敘述．)

2　數字黑洞“6”的問題描述

設m是大于6的正整數,a、b是m的因數,而且m=a×b,令c=a+b．

1) 如果m是質數,則只有因數1、m滿足m=1×m,令c=m+1,也就是說m增加1變成合數c,然后轉到下面第2)步;如果m是合數,則直接從第2)步開始轉換.

2) 將這個合數寫成2個因數相乘的形式(1和本身2個因數除外). 如:30=2×15, 30=3×10,30=5×6.

3) 然后將2個因素相加得到一個新的數.如2+15=17, 3+10=13, 5+6=11.

4) 上面第3)步組合得到的數如果小于6,則結論錯誤,如果是6,則得到數字黑洞“6”的結果,如果大于6，再從第1)步重新開始轉換操作．

于是發現一個神奇的結論:任何一個大于6的數按照上面的轉換規則,經過有限次的拆分和組合操作之后,最后相加的數字和一定是6．

以30為例,具體變換過程如下:

30=2×1530=3×1030=5×62+15=173+10=135+6=1117+1=1813+1=1411+1=1218=2×918=3×614=2×712=2×612=3×42+9=113+6=92+7=92+6=83+4=711+1=129=3×39=3×38=2×47+1=812=2×612=3×43+3=63+3=62+4=68=2×42+6=83+4=7得到結論得到結論得到結論2+4=68=2×47+1=8得到結論2+4=68=2×4得到結論2+4=6得到結論

3　用數學歸納法證明數字黑洞“6”的結論

3.1數學上的定性分析(有限次轉換操作的可能性)

本文提到的數,可以非常大,沒有規定上限．本文中提出的經過有限次的轉換是否可行呢?

設m是大于6的正整數,a、b是m的因數,而且m=a×b,令c=a+b.

易證c

3.2使用數學歸納法進行證明

先進行數學上的定量分析(在有限范圍內進行枚舉證明問題的正確性).

1) 對于大于6小于等于20的數枚舉證明如下:

7+1=8, 8=2×4, 2+4=6，

8=2×4, 2+4=6，

……(由于版面原因, 此處略)

20=2×10, 2+10=12, 12=2×6, 2+6=8,

8=2×4, 2+4=6;

12=3×4,3+4=7,7+1=8,8=2×4,2+4=6;

20=4×5, 4+5=9, 9=3×3, 3+3=6.

上面的枚舉說明當6

2) 對于大于20小于100的數.

a) 我們也可以像上面一樣逐個地枚舉出來(由于篇幅的限制,表格中只列舉了21、91時的情況)．

21=3×7, 3+7=10, 10=2×5, 2+5=7,

7+1=8, 8=2×4, 2+4=6;

91=3×17, 3+17=20, 20=2×10, 2+10=12, 12=2×6, 2+6=8, 8=2×4, 2+4=6;

b) 從上面的數學定性分析可以知道大于20小于100的數按照本文中提到的規則經過數次的拆分和組合轉換,一定會變成大于6而小于等于20的數.從上面的數學歸納證明1)可以知道大于6小于等于20的數全部符合規律．

所以可以得出當20

3) 假設當n≤k時結論成立,下面只需要證明n=k+1時結論成立即可．

a) 如果n是質數,c=n+1;c變成了合數,令a、b是它的2個因數(1和n本身除外),c=a×b,令c=a+b;

b) 如果n是合數,令a、b是它的2個因數(1和n本身除外),n=a×b,c=a+b;

c) 由于a和b是n的大于1小于它本身的因數,所以c=a+b

我們已經假設當n≤k時,結論是成立的,所以可以得出當n=k+1時,結論也是成立的．

由數學歸納法可知,任何一個大于6的數按照上面的轉換規則,經過有限次的拆分和組合操作之后,最后相加的數字和一定是6．至此數字黑洞“6”的猜想得到了證明．

4　利用計算機編程在更大范圍對上面的結論進行枚舉補充證明

對于數字黑洞“6”的猜想,在沒有想到數學理論證明之前,對于小一點的數,通過逐個去嘗試,給出了直接證明.對于大一些的數該怎么辦呢?直接嘗試過于煩瑣,容易出差錯,這個問題是否可以使用計算機幫助驗證呢?設計一個計算機程序,從鍵盤輸入一個任意大于6的數,按照本文的轉換規則,其結果都等于6,即陷入這個數字黑洞6里.是不是所有的數字都這樣呢？

下面的程序對100萬內的數進行了逐一證明(如果想證明更大的數,只需要修改程序第2行的參數就可以),程序的運行結果表明大于6小于等于100萬的數都符合本文的規則．從而進一步證明了數字黑洞“6”猜想的正確性．

程序如下:

program yam;

const maxn=1000000;var a:array[1..maxn] of integer; b:array[1..maxn] of integer;

seq:array[1..maxn] of longint;n,i,j,k,s,t,head,tail:longint;

begin

assign(output,′de6.txt′); rewrite(output);

readln(n); fillchar(a,sizeof(a),0);

for i:=2 to n do

if a[i]=0 then for j:=2 to n div I do a[i*j]:=1; fillchar(b,sizeof(b),0); b[6]:=1;

for i:=7 to n do if b[i]=1 then writeln(i,′: same′,i-1)

else

begin

write(i,′:′); if a[i]=0 then k:=i+1 else k:=i; b[k]:=1;

fillchar(seq,sizeof(seq),0); seq[1]:=k;

head:=1; tail:=1;

while head<=tail do

begin

t:=seq[head]; for j:=2 to trunc(sqrt(t)) do

if t mod j=0 then begin s:=j+t div j; write(j,′+′,t div j,′=′,s,′;′); if a[s]=0 then inc(s);

if (b[s]=0) and (s<>6) then begin inc(tail); seq[tail]:=s;end; end;

inc(head);

end;

b[i]:=1; writeln;

end;

close(output);

end.

上面的程序對100萬內的數進行了逐一證明,如果不考慮計算機位數的局限性,從理論上講,更大的數只要適當修改程序也能證明,可見又一次證明了數字黑洞“6”猜想的正確性．

5　結論分析

本文敘述的神奇的數字黑洞“6”結論是指:任何一個大于6的數按照本文的轉換規則,經過有限次的拆分和組合操作之后,最后相加的數字和一定是6．

從小時候的數字游戲、猜數游戲、完美數的欣賞,到數學黑洞的猜想,從枚舉中證明想法的正確性,到使用數學的思維方式進行的定性分析和定量分析,進行完整性的歸納法證明,從對小范圍的數使用手工的方法進行枚舉證明,到使用計算機編程的方法,在非常大的范圍對猜想進行逐一證明,我們可以肯定地說本文提出的結論是正確的．

廣袤的數字宇宙中可能還有很多類似于這樣的數字黑洞,以不同的形式、不同的維數存在著,等待我們去挖掘．這個數字黑洞“6”讓我從另一個角度去欣賞美麗而又變幻莫測的數學世界．

江西省新余市第四中學)