二次求導，解決函數問題的一把利刃

◇　云南　白金石

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二次求導，解決函數問題的一把利刃

◇云南白金石

隨著新課標改革的不斷推進,高中階段的數學教學逐漸向培養學生解決實際數學問題能力的方面轉變.由于導數在解決函數問題中有著廣泛的應用,因此與導數有關的內容成為新高考必考熱點之一．二次求導是導數應用中比較困難的內容,但其在高考中出現的頻率較高，所以作為數學老師,一定要教會學生利用二次求導方法來解決函數問題,這是學生應對高考的一把利刃．

下面筆者結合多年數學教學經驗,就如何利用二次求導法解決函數問題發表一些看法,供參考．

1　二次求導,求取單調區間

我們知道導函數是用來判斷原函數單調性的有利工具,如果導函數大于零,則原函數為增；導函數小于零,則原函數為減．這是函數一次求導的應用,但有時一次求導并不能確定導函數的值與零之間的關系,此時就需要對原函數的導函數再次進行求導,這就是二次求導．用二次求導來判斷導函數的增減性,進而判斷原函數的單調變化．

最后得出正確答案a>b．

具體過程如下：令g(x)=xcosx-sinx，求導得

g′(x)=cosx-xsinx-cosx=-xsinx.

當x∈(0,π)時， g′(x)<0,所以g(x)在(0,π)內單調遞減， 所以g(x)

又因為0≤x1f(x2),即a>b.

本題的難點在于如何轉變學生的解題思路,不能每次碰到求單調區間問題都使用畫函數圖象的方法．因為有的題目函數圖象不易畫出,一定要讓學生學會變通,放棄圖象法,而采用二次求導法,將會發現另一片新的天地．

2　巧用因子,求解取值范圍

在一些求解某些未知數的取值范圍的題目中,有些同學能夠聯想到一次求導和二次求導來解題,但是在面對解題過程中的一些復雜方程式，常感不知如何下手．

下面介紹一種方法——巧用因子．

xlnx≤x2+ax．

a≥lnx-x, a≥(lnx-x)max.

其實很簡單,只要細心觀察就能夠發現巧用因子這種方法,只要透過這層面紗,下面如何解題就變得相對簡單了．

作為老師不應該僅僅教會學生使用二次求導的方法,更要強化他們的應用意識以及在二次求導中需要的技巧．巧用因子只是其中的一種方法,老師可以在這種變通的方面多做總結與介紹,讓學生不僅能用二次求導,更能夠用好二次求導．

3　構造函數,求證不等關系

二次求導在很多問題中都可以使用,數學高考中的壓軸題大多為函數問題,而且參照這幾年來的高考可以發現,二次求導法在其中的應用是必不可少的．函數問題基本類型:求單調區間、極值、最值以及證明不等式恒成立等．這些題型都可以采用求導法來解決．在高中范圍內一次求導不能完成問題解答,就再次進行求導,基本就可以解決了．

下面再以一道高考真題為例,講解如何利用二次求導求證函數不等關系．

(1) 求f(x)的單調區間與極值;

(2) 求證:當a>ln2-1且x>0時,ex≥x2-2ax+1．

先對函數g(x)求導得g′(x)=ex-2x+2a,再對g′(x)求導得g″(x)=ex-2,令g″(x)=0，即ex-2=0,得x=ln2.

接下來列表分析:

x(0,ln2)ln2(ln2,+∞)g″(x)-0+g'(x)減極小值增

觀察上表可以發現g′(x)≥g′(ln2),所以須求出g′(ln2),才能繼續向下分析．老師要引導學生逐步分析題意,只有知道下一步如何走,學生才不會對數學的壓軸題感到恐懼．

根據所求得的g′(ln2)可以發現,g′(ln2)>0,所以g′(x)>0，g(x)在(0,+∞)上為增函數,可以判斷出g(x)>g(0)，而且g(0)=0．即可證出上述不等式．

這種求證不等式的問題,都會有一個零點,例如原函數在x=0時的函數值為0，這是解題的關鍵,本題也是如此．正是由于g(0)=0,這道題才有解下去的可能．抓住這一點,便找到了解題的突破口．

二次求導的應用很多,它是解答函數問題的一把利刃．掌握好二次求導法的應用,學生基本就可以從容地面對高考中的函數問題了．老師要多為學生考慮,考慮到學生對高考的恐懼與顧慮,在數學思想與解題方法中給予學生最大的幫助．掌握了數學的核心思想與核心手段,解題即可得心應手．

云南省玉溪市新平縣第一中學)