不拘一格有妙招

余亞明

【摘要】在學生已有認知經驗的基礎上，教師根據題型的具體特征，引導學生嘗試突破常規的解法，歸納方法和技巧，讓學生感受成功。

【關鍵詞】靈活變式探究生成提升能力

數學離不開解題，但解題教學時不應該只重視教會學生一招一式，讓學生習慣于所謂的“標準”解法，而應該重視對知識的靈活應用，鼓勵學生不斷地去探索新的解法，長此以往，學生就能隨機應變，從而提高思維能力和創新能力。下面結合教學實際舉例談談幾種突破常規的數學解題方法。

一、 “目標轉移”法

例1如圖1，已知菱形ABCD，CE、CF分別垂直于AB、AD，垂足為E、F。求證：CE=CF。

解法1：證BCE≌DCF得CE=CF，這是學生易想到的常規解法。

解法2：轉移目標，讓學生聯想菱形對角線的性質，如圖2，連結AC，不難得到AC平分∠BAD， 又CE、CF分別垂直于AB、AD，垂足為E、F，利用角平分線的性質可迅速得到CE=CF。

解法3：轉移目標，讓學生聯想菱形面積的計算方法，可得出

S菱形ABCD=AB·CE，S菱形ABCD=AD·CF，又AB=AD， 從而得到CE=CF。

很明顯，后兩種解法比較簡單，不僅改變了學生通過三角形全等來證明結論的習慣，也讓學生對菱形的性質有了更深刻的認識，有利于學生溝通知識間的縱橫聯系。

二、 “一反常態”法

例2計算：（2-1）（2+2）

解法1：原式=2×2+2×2-1×2-1×2=22+2-2-2=22-2=2；該常規解法是運用多項式乘以多項式的法則進行解題。

解法2：觀察到2+2=2（2+1），故本題就可以采用以下解法：

原式=（2-1）·2·（2+1）=（2-1）·（2+1）·2=2。

后一種解法改變了固有計算的模式，巧妙地將2+2進行了分解，從而簡化了運算的過程，也提高了學生的思維水平。

例3已知方程組2x+3y=11

3x+2y=4，則x+y=。

解法1（常規解法）：利用加減消元或代入消元法解方程組，得到x=-2，y=5，再計算x+y=3。

解法2：將原方程組中兩個方程相加得5x+5y=15，再把所得方程兩邊除以5得x+y=3。

三、 “去偽求真”法

例4如圖3，在ABCD中，E、F分別是邊AB、CD上的點，已知AE=CF，M、N是DE和FB的中點。求證：四邊形ENFM是平行四邊形。

解法1（常規解法）：證ADE≌CBF得DE=BF，∠AED=∠CFB，再由中點條件得EM=NF，由ABDC得∠AED=∠CDE，等量代換得∠CFB=∠CDE，從而DEBF即EMNF，證得四邊形ENFM是平行四邊。（甚至有學生證兩次全等，此處略過。）

解法2：引導學生去掉無用的線條，分析出BEDF且BE=DF可得四邊形EBFD是平行四邊形，再結合中點條件，學生易得四邊形ENFM是平行四邊形。

后一種解法去掉了不需要用的線條（“去偽”），抓住要證的，把與問題有關的圖形抽象出來（“求真”），輕松解決問題。

四、 “貼近實際”法

例5一次越野跑中，當小明跑了1600米時，小剛跑了1400米，小明、小剛在此后所跑的路程y（米）與時間t（秒）之間的函數關系如圖6，則這次越野跑的全程為米。

解法1（常規解法）：結合圖像設兩條直線的解析式為：y小明=k1x+1600，y小剛=k2x+1400，當x=100時，y小明=y小剛， 當x=300時的y小明與當x=200時的y小剛相等，100k1+1600=100k2+1400

300k1+1600=200k2+1400，解得k1=2

k2=4，故這次越野跑的全程為：1600+300×2=2200米。（此方法與設兩人速度列方程組的方法相同，此處略去。）

解法2：由圖像中兩線交點的實際意義可知：100秒的時間內小剛比小明多走了200米，說明小剛每秒比小明多走2米；再結合兩線交點及兩線的末端可知：小剛用100秒（200-100）走的路程和小明用200秒（300-100）走的路程，說明小剛的速度是小明的2倍。故小剛的速度是每秒4米，小明的速度是每秒2米， 最終得出全程2200米。

兩種解法本質上是相同的，只是理解的角度不同，筆者在教學時，發現學生更傾向于后種解法，認為更貼近自己的生活實際，實踐說明，后種解法更方便、更省時。

五、 “他山之石”法

例6如果關于x的方程|x-1|+|x+1|=k有實根，則實數k的取值范圍是（）。

A. k≥0B. k>0C. k≥2D. k≥1

解法1：（1） 當x≥1時，k=|x-1|+|x+1|=x-1+x+1=2x≥2；

（2） 當x≤-1時，k=|x-1|+|x+1|=1-x-x-1=-2x≥2；

（3） 當-1≤x≤1時，k=|x-1|+|x+1|=1-x+x+1=2；

該常規解法需要分類討論，而且學生極易發生錯誤。

解法2：聯系數軸， 如圖7，把數軸上表示-1、1的點記著點A、B，設實數x對應數軸上的動點P，由絕對值的幾何意義可知：

PB+PA=|x-1|+|x+1|

當點P在點A的左側以及點P在點B的右側時，PA+PB>AB。

當點P在點A、B之間時，PA+PB=AB

故PA+PB≥AB即PA+PB≥2，又因為方程|x-1|+|x+1|=k有實數根，所以選C。

后一種解法用從幾何的角度解決了代數問題，更形象更直觀，學生易于理解。

例7點（x，2-x）不可能在第幾象限？

解法1（常規解法）：分類考慮x是正數、0、負數三種不同情形時，得到的點的坐標情況，解決過程較煩瑣。

解法2：設y=-x+2，易得函數y=-x+2的圖像分布在第一、二、四象限，所以點（x，2-x）不可能在第三象限。

后一種解法避開了繁雜的分類討論，巧妙地用函數解決了坐標問題。

以上是筆者在教學實踐中的一點嘗試。題海茫茫，千變萬化，只有不斷地總結解題方法，在總結中反思，在總結中比較，才能在總結中提升。從而提高學生的學習積極性，拓寬學生的思維空間，提高教育教學水平。