提升數學概念教學立意的策略

曹建軍

摘 要：數學概念教學應以概念發生發展過程為載體，使學生經歷完整的數學思考過程.如從數學知識內部的發展需要引入；讓學生充分參與概念本質特征的概括活動；通過精細加工明確概念的內涵與外延.只有這樣，才能讓學生逐步樹立從數學的角度看問題的觀點，逐步掌握數學思考的過程與方法.

關鍵詞：數學概念；教學立意；策略

數學的育人功能要求教師在日常教學中，以數學概念發生發展過程為載體，使學生經歷完整的數學思考過程.只有這樣，才能讓學生逐步樹立從數學的角度看問題的觀點，逐步掌握數學思考的過程與方法，進而學會數學地認識和解決問題[1].我們“基于動態問題鏈的‘雙徑共振數學教與學的研究”課題組也針對概念教學進行了如何提升教學立意、落實育人目標的嘗試.經過深入的研究與嘗試，我們提出以下幾個方面的教學建議，以期能為教師提供教學的參考.

一、從數學知識內部的發展需要引入

概念引入環節主要是讓學生體會和認識學習的必要性，包括明確學習這一概念的意義，了解概念的作用，引發學生學習的動機.這是概念引入環節的主要目的和任務[2].

許多教師能充分關注“數學從現實中來”，采用從實際引入的方式.如分式概念教學，創設學生感興趣的、比較新穎的、當前正在發生的事件作為背景，讓學生寫出各種分式，再讓學生進行概括，形成定義.

實際上，學生的現實，不僅包括生活現實，也包括數學現實、其他學科的現實，我們要關注學生的現實，為學習的必要性而引入.但是考慮到初中學生的心理特征正處于從感性認識上升到理性認識的關鍵階段，我們更應關注學生的數學現實，即努力從數學知識內部的發展需要引入.如平方根一課中，對于面積為2的正方形邊長問題，即x2=2如何求解.這樣的引入以逆運算為認知沖突產生學習的需要，同時，與數學知識發生發展過程也比較吻合.當然，我們還可以從逆運算的角度更加深入地開展平方根概念引入教學的研究.

【案例1】 平方根的引入

師：我們已經學過有理數的哪幾種運算？

生（齊答）：加、減、乘、除、乘方.

師：在這些運算中，哪些運算互為逆運算？

生：加法與減法互為逆運算；乘法與除法互為逆運算.

師：對此，你還會有怎樣的思考呢？

生1：乘方有無逆運算？

師：你講得太好了！這其實就是本章研究的主要內容.

師：既然我們要研究乘方的逆運算，那么讓我們一齊來回顧乘方的內容：乘方的一般形式是an，其中a為底數，n為指數，an叫作冪.

根據n的不同，我們知道乘方包含一次方、平方、立方、四次方……n次方……，我們可以選擇其中最為特殊的平方進行研究.

評析：我們對某一數學對象的認識，一般都是先研究它的某種特殊情況或簡單情況，由簡入繁，循序漸進，從而更容易認識它，如小學時我們研究三角形、四邊形，我們先研究它們的特殊情況，如直角三角形、正方形、長方形等.

師：對于平方有無逆運算的問題，我們同樣可以先以一個特殊情況52=25為例進行研究.請大家思考：在式子52=25中，5為底數，2為指數，25為冪，你認為其中會有幾種運算？

生2：三種，求冪，求底數，求指數.如：

（1）52=（ ），已知底數、指數，求冪的運算；

（2）（ ）2=25，已知冪、指數，求底數的運算；

（3）5（ ）=25，已知底數、冪，求指數的運算.

師：我們已經知道，求52=（ ）即平方運算，那么你認為平方的逆運算是哪一種運算呢？

生3：因為我們研究的是平方的逆運算，所以指數2是確定的.因此平方的逆運算只能是求底數的運算，即求（ ）2=25.

師：式子（ ）2=25是求一個數的平方等于25. 類似地，我們可以一般化.

一般地，如果一個數的平方等于a，即x2=a，那么這個數x就叫作a的平方根.

求一個數的平方根的運算叫作開平方.

顯然，開平方與平方運算互為逆運算.

師：我們已經知道求25的平方根是一種運算，即開平方，那么運算的結果是什么呢？

生4：5，因為52=25.

生5：不對，還有-5，因為（±5）2=25.

師：補充得很好！因為（±5）2=25，所以±5叫25的平方根.

這樣的引入設計較為符合數學知識內部的發展需要，也更能引發學生的數學思考，即模擬數學家的思考方法來研究知識，讓學生經歷完整的數學思考過程.同時，這樣的研究過程也為學生研究類似的概念提供了方法的參考.如我們可以引導學生進行如下的類比思考：現在我們已經知道平方運算有逆運算開平方，那么立方有沒有逆運算？叫什么？你能得出相關概念嗎？類比得出：x3=a，那么這個數x就叫作a的立方根.求一個數的立方根的運算叫作開立方. 也就是說這樣的概念的引入方式更具可遷移性，這顯然對學生的數學思考，甚至學習能力的培養更有幫助.

二、讓學生充分參與概念本質特征的概括活動

讓學生參與概念本質特征的概括活動是使概念課生動活潑、優質高效的關鍵.這就要求我們一方面充分利用新舊知識蘊含的矛盾，激發認知沖突，把學生卷入其中；另一方面要讓學生有參與的時間與機會，特別是有思維的實質性參與.其中對于定義性概念，要注意以下兩方面的問題.

（一）提供合理的例證

【案例2】 分式本質屬性的概括

浙教版教科書在分式概念學習時提供給學生如下幾個代數式的例證，希望學生在概括其本質屬性的基礎上得出定義[3].

由這幾個例證，學生能比較容易地概括出除式中含有字母，大多也能概括出分子分母都是整式.但由于例子提供不合理的原因，不少學生還概括出了“分子分母都是一次式”這一非本質屬性.如果我們將例證改成如下形式，就可以避免這一情況的發生.

（二）設置分類活動

【案例3】 一元一次方程本質屬性的概括

一元一次方程概念教學中，我們會給出如下的問題，請學生概括其本質屬性.

問題：觀察以下幾個方程，請找出它們的共同特征.

三、通過精細加工明確概念的內涵與外延

正確地理解和形成一個數學概念，必須明確這個數學概念的內涵——對象的“質”的特征，及其外延——對象的“量”的范圍.概念的內涵是概念的本質屬性的總和；概念的外延是指具有概念所反映的本質的全體對象.在通過概括活動基本把握概念的內涵之后，我們還需要通過更精細的加工，進一步明確概念的內涵與外延.

（一）提供充足的概念的正例（原型、變式）與反例

概念的正例，主要是反映概念本質屬性的.在數學概念中，正例主要體現為原型和變式兩種類型.數學概念的原型是具有表征數學概念本質屬性的最典型的標準實例.它是數學概念所有例子中的中心樣例.因而，原型在概念學習中具有重要地位，學生一想到概念最容易聯想到的也是原型.

學習數學概念最終必須掌握其本質屬性，這些本質屬性在概念的各種例子中是相同的，但由于許多無關特征的干擾，使得概念的本質屬性往往隱藏很深，僅從原型的標準特征上難以真正把握其本質屬性.因此，必須通過各種變式比較，排除由具體對象本身的非本質屬性所造成的干擾，才能充分揭示概念的本質屬性，真正形成概念.例如，“同位角”的概念，如果學生過于關注原型，則會誤認為“平行性”也是這一概念的本質特征，從而影響概念的準確把握.因此，必須提供變式幫助學生排除“平行性”這一非本質特征.

（二）通過類似概念的對比，準確把握概念的細節

用對比方法找出容易混淆的概念的異同點，有利于學生區分概念，獲取準確的知識.如學完單項式、多項式、整式的概念后，可以讓學生指出哪些是單項式，哪些是多項式，仔細觀察后并說明單項式與多項式的聯系.再如，在學習“一元一次不等式”時，就可以與“一元一次方程”進行對比學習，在“一元”與“一次”上是相同的，不同的是前者含不等號，后者含等號，以及它們的解法都進行類比、對比學習，可以加深對知識的理解.對于易混淆的概念的最主要區別要特別強調，如“整式乘法”與“因式分解”的區別，主要是積化和差或和差化積的過程；軸對稱圖形與圖形成軸對稱的區別，主要是一個圖形與兩個圖形的區別；一個角的平分線與三角形的角平分線主要是射線與線段的區別，等等.這樣對概念的辨析、概念間聯系的分析等過程，就是對概念的內涵進行“深加工”，對概念要素做具體界定的過程，讓學生通過對概念的對比，能更準確地把握概念中的細節，加深對概念的理解.

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2011年版）[S].北京：北京師范大學出版社，2012：3.

[2]曹一鳴，張生春.數學教學論[M].北京：北京師范大學出版社，2010：148.

[3]義務教育教科書數學教學參考書（七年級下冊）[M].杭州：浙江教育出版社，2014：114.

[4]義務教育教科書數學教學參考書（七年級上冊）[M].杭州：浙江教育出版社，2014：115.