思維視角下數(shù)學(xué)教師專業(yè)發(fā)展的探索
——基于四節(jié)同課異構(gòu)課“正弦定理”的課堂教學(xué)案例分析

高紅志，陳雪梅（．滄州師范學(xué)院 數(shù)學(xué)系，河北 滄州 0600；．河北師范大學(xué) 數(shù)信學(xué)院，河北 石家莊 05004）

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思維視角下數(shù)學(xué)教師專業(yè)發(fā)展的探索
——基于四節(jié)同課異構(gòu)課“正弦定理”的課堂教學(xué)案例分析

高紅志1，陳雪梅2
（1．滄州師范學(xué)院 數(shù)學(xué)系，河北 滄州 061001；2．河北師范大學(xué) 數(shù)信學(xué)院，河北 石家莊 050024）

摘要：通過對(duì)某“國培計(jì)劃”項(xiàng)目研修成果“正弦定理”的4節(jié)同課異構(gòu)課的數(shù)據(jù)收集與分析，發(fā)現(xiàn)其共同點(diǎn)是教師漠視學(xué)生的思維發(fā)展.課堂教學(xué)在形式上體現(xiàn)了課標(biāo)的部分理念，但實(shí)質(zhì)上沒能落實(shí)，甚至偏離了數(shù)學(xué)教育的核心——發(fā)展思維.反思現(xiàn)象背后的原因，探索改變對(duì)策，提出了思維視角下數(shù)學(xué)教師專業(yè)發(fā)展的3個(gè)建議：掌握數(shù)學(xué)思維培養(yǎng)的規(guī)律；理解數(shù)學(xué)和學(xué)生是根本；構(gòu)建連續(xù)的支持性學(xué)習(xí)環(huán)境.

關(guān)鍵詞：思維；數(shù)學(xué)教師；專業(yè)發(fā)展；教師改變

1 背景與問題

隨著課程改革的推進(jìn)，數(shù)學(xué)教育的變化有目共睹：如“高水平的數(shù)學(xué)教師到底該教什么”的質(zhì)問［1］；88.7%的數(shù)學(xué)教師把是否引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)積極地思維作為一堂“好”的數(shù)學(xué)課的標(biāo)志［2］；傳統(tǒng)學(xué)習(xí)方式正在向新的學(xué)習(xí)方式轉(zhuǎn)變，學(xué)生喜歡的新的學(xué)習(xí)方式依次是體驗(yàn)學(xué)習(xí)、合作學(xué)習(xí)、自主學(xué)習(xí)、探究學(xué)習(xí)［3］；命題探究課大致步驟明確為設(shè)計(jì)問題情境，激發(fā)探究欲望，引導(dǎo)自主探究，指導(dǎo)發(fā)現(xiàn)結(jié)論；暴露思維過程，探索論證方法；反思探索過程，優(yōu)化思維品質(zhì)；加強(qiáng)變式應(yīng)用，發(fā)展創(chuàng)新能力［4］.教師的評(píng)價(jià)體系也逐漸形成，關(guān)于數(shù)學(xué)教師認(rèn)識(shí)信念理論框架的建立與量表設(shè)計(jì)的完善［5］.教師以“學(xué)思知行”有機(jī)結(jié)合作為數(shù)學(xué)教育的過程性要求，是關(guān)于數(shù)學(xué)教師評(píng)價(jià)研究的新視角［6］.均反映了數(shù)學(xué)教、學(xué)理念、方式及評(píng)價(jià)觀的發(fā)展變化.但江蘇省的一項(xiàng)調(diào)查結(jié)果顯示，仍有 33%的高中數(shù)學(xué)教師幾乎沒有系統(tǒng)學(xué)習(xí)、研究過《課標(biāo)》，解題教學(xué)基本上就是學(xué)生做題，教師講題，至于解題思路是如何找到的，教師不知，學(xué)生更不知［7］.

那么現(xiàn)實(shí)情況如何？數(shù)學(xué)教師學(xué)習(xí)與改變的難點(diǎn)在哪里？研究者跟蹤某所省部共建高校舉辦的“國培計(jì)劃”農(nóng)村中小學(xué)骨干教師短期研修項(xiàng)目，并對(duì)研修成果——“正弦定理”的課堂教學(xué)進(jìn)行研究分析，嘗試對(duì)數(shù)學(xué)教師專業(yè)發(fā)展的特征進(jìn)行探索.

2 研究方法與過程

研究中運(yùn)用了現(xiàn)象學(xué)方法，描述案例中要研究的教學(xué)現(xiàn)象，分析原因，還原現(xiàn)象背后的實(shí)質(zhì).4位執(zhí)教教師，分別來自河北省4個(gè)縣級(jí)中學(xué)，教齡在15年至22年之間，由4個(gè)研修小組推選產(chǎn)生.作為“國培計(jì)劃”農(nóng)村中小學(xué)骨干教師為期20天培訓(xùn)的最后一項(xiàng)活動(dòng)——成果展示，在小組集體備課的基礎(chǔ)上，4位教師進(jìn)行了“正弦定理”的同課異構(gòu)，因此這4節(jié)課具有一定的代表性.

通過對(duì)教學(xué)錄像的觀摩，發(fā)現(xiàn)在正弦定理的發(fā)現(xiàn)與證明兩個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)出現(xiàn)不順暢、不自然的現(xiàn)象，因此重點(diǎn)分析了這兩個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)，訪談內(nèi)容也是針對(duì)這兩個(gè)環(huán)節(jié)展開.

3 現(xiàn)象的描述與分析

3.1 正弦定理的發(fā)現(xiàn)

4位教師分別記為T1、T2、T3、T4，均遵循了由特殊到一般的認(rèn)識(shí)過程，通過問題情境引入正弦定理.下面摘取由直角三角形中邊與角的正弦關(guān)系推廣到任意三角形中的片段：

T1教師：在直角三角形中有這個(gè)式子．這個(gè)式子對(duì)于一般的三角形是不是也成立呢？

師：有同學(xué)說“試試”．……一輩子也驗(yàn)證不完．再想想，三角形分成幾類？

生：3類．

師：哪3類？

生：三角形可以分成3類：銳角三角形、鈍角三角形、直角三角形．

師：直角三角形已經(jīng)證明了．我們只需證明，這個(gè)結(jié)論在銳角和鈍角三角形中也成立．下面我們來探究一下，能不能證明這個(gè)結(jié)論在銳角三角形和鈍角三角形中也成立，……女生驗(yàn)證銳角三角形，男生驗(yàn)證鈍角三角形．

T2教師：這個(gè)式子（）非常好，因?yàn)樗侵苯侨切沃羞吅徒侵g的具體的量化關(guān)系，具體的數(shù)量關(guān)系．同學(xué)們想，在一般的三角形中，有大角對(duì)大邊，不是具體的數(shù)量關(guān)系，比如說：a=3 cm，b=2 cm.a所對(duì)的角A，一定大于b所對(duì)的角B，但是，他們只有大小關(guān)系，具體是多大？沒有具體的量的關(guān)系.那么這種具體的量的關(guān)系在一般的三角形中是不是也成立呢？

生：銳角和鈍角三角形．

師：銳角和鈍角三角形．這邊（同學(xué)）證明銳角的，這邊（同學(xué)）證明鈍角的．

T3教師：在直角三角形里咱們推導(dǎo)出了這個(gè)等式．咱們數(shù)學(xué)中有個(gè)有名的“哥德巴赫猜想”，知道吧？在直角三角形中推出這個(gè)關(guān)系式，我就把它叫做“T3老師猜想”，這兩個(gè)三角形（銳角、鈍角三角形）里面可能也有等式成立．下面咱們?cè)囍C一下．T4教師：“在銳角三角形中是不是也成立呢？”

T4教師自己提出問題并借助情景問題中的輔助高線，推得正弦定理.

3.2 正弦定理的證明

T1直接請(qǐng)兩名學(xué)生上講臺(tái)板書，6分鐘后沒證出，另換兩名同學(xué)完成證明，師講解訂正.T2、T3采用學(xué)生獨(dú)立思考與合作探究的教學(xué)方式，7～9分鐘后，請(qǐng)學(xué)生在投影上展示其證明過程.T4采用啟發(fā)式，自己講解了證明.4節(jié)課上共出現(xiàn)了3種證明方法（以銳角三角形為例）：

T1的學(xué)生板書的證法一，師生檢驗(yàn)正確通過，沒有對(duì)證法作分析、評(píng)議，而是問男同學(xué)在鈍角三角形中如何證明，男同學(xué)中沒有人站出回答，師 T1自已講述了證法三，沒有和證法一作對(duì)比.T2與T3的學(xué)生給出了證法二，對(duì)證法二，T2認(rèn)為不如證法三簡明，建議采用證法三；T3說，很好，限于時(shí)間關(guān)系，我們不推導(dǎo)了，下面給出一種更簡單的證法，即證法三.均沒有對(duì)兩種證法做比較；T4直接講解了證法三.關(guān)于正弦定理的其它證法，T1提示學(xué)生可用向量法，課下完成，其他3位沒有提到.

3.3 課后訪談

訪談問題：“本節(jié)課的重點(diǎn)和難點(diǎn)是什么？”

T1教師“重點(diǎn)是正弦定理，如何解決問題，難點(diǎn)是如何發(fā)現(xiàn)和證明正弦定理．”

T2教師“重點(diǎn)是內(nèi)容和應(yīng)用，難點(diǎn)是證明．”

T3教師“正弦定理這節(jié)重點(diǎn)是怎么用正弦定理，咱們教課的時(shí)候證明不是重點(diǎn)．”

T4教師“重點(diǎn)是正弦定理，什么時(shí)候使用正弦定理．難點(diǎn)是推導(dǎo)定理．”

訪談問題：“你認(rèn)為學(xué)生是否能夠自己證出正弦定理呢？”

T1、T2教師“學(xué)生不能夠自己思考得出，還是靠教師啟發(fā)、講解．”

T3教師“根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生即使能證出方法也不簡潔，還要判斷學(xué)生的問題所在．”

T4教師“如果學(xué)生主動(dòng)地話，可能也能完成，但是課上內(nèi)容較多，時(shí)間來不及．只好用講授的方法．”

4位教師都認(rèn)為正弦定理及其應(yīng)用是這節(jié)的重點(diǎn)，而正弦定理的證明“并不是重點(diǎn)”，3位教師認(rèn)為其是“難點(diǎn)”，并安排了學(xué)生自主探究來突破“難點(diǎn)”，而定理推導(dǎo)的思考過程4位教師均沒有提到，即不在教學(xué)的重難點(diǎn)之列.由訪談問題“本節(jié)課教學(xué)設(shè)計(jì)的關(guān)注點(diǎn)是什么？”等中還了解到教師在教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)關(guān)注的是教學(xué)環(huán)節(jié)的銜接，以及例題的配備，課上關(guān)注的是教學(xué)任務(wù)能否順利完成，而對(duì)于學(xué)生證明的“艱難困苦”，歸結(jié)為“學(xué)生比我的學(xué)生差”，“沒有學(xué)習(xí)的積極性”等原因.

3.4 現(xiàn)象分析

數(shù)學(xué)命題的教學(xué)重點(diǎn)是結(jié)論的發(fā)現(xiàn)過程與推導(dǎo)的思考過程，這也正是錘煉學(xué)生思維品質(zhì)、提高學(xué)生思維能力所在.正弦定理的發(fā)現(xiàn)源于直角三角形中邊角關(guān)系的類比猜想，均由教師直接提出，沒給學(xué)生猜想的機(jī)會(huì)；而推導(dǎo)思考過程的關(guān)鍵是輔助線的添加——作三角形的高，為什么要作高？你是如何想到的？這是學(xué)生思維發(fā)展的關(guān)鍵點(diǎn)，沒有一位教師在此駐足；如何想到的證明思路？可否優(yōu)化？如何得到簡潔自然的證法？在4位教師的教學(xué)中均沒有體現(xiàn).而在課堂上學(xué)生思考探究時(shí)2位老師的提示語是：直角三角形中已證出了，我們可做高把銳角三角形轉(zhuǎn)化為直角三角形來證明.轉(zhuǎn)化思想確是中學(xué)數(shù)學(xué)中最常用的思想，但銳角三角形做高轉(zhuǎn)化為兩個(gè)直角三角形后，并沒有用到直角三角形中的邊角關(guān)系——正弦定理，所以引導(dǎo)提示屬于歪打正著.事實(shí)上，從正弦定理的形式出發(fā)，學(xué)生更容易想到利用三角形的邊來表示角的正弦值，再試圖找到間的關(guān)系，因?yàn)榻堑恼沂窃谥苯侨切沃卸x的，要表征角的正弦當(dāng)然要構(gòu)造直角三角形，而最自然的方法是作三角形的高.表征出角的正弦及三角形的邊與其所對(duì)角的正弦比，經(jīng)運(yùn)算、推理，證得定理，證法一和二正是這樣的思路，是學(xué)生思維的自然體現(xiàn).表征出角的正弦后，對(duì)思維過程進(jìn)行監(jiān)控，觀察與目標(biāo)間的距離還有多遠(yuǎn)，聯(lián)系它們的橋梁是什么？發(fā)現(xiàn)是高AD，好了，通過它就建立起了三角形的邊角關(guān)系，同理，綜合即得，這是證法三的思路.

證法一、二好似低頭拉車而沒注意道路的選擇，到達(dá)目的地但多走一段路，展示了學(xué)生思維品質(zhì)的現(xiàn)狀，此時(shí)教師沒有珍視學(xué)生思維結(jié)果的潛在價(jià)值，把它作為教學(xué)資源，以促進(jìn)學(xué)生思維品質(zhì)的提高，使教與學(xué)“擦肩而過”.而簡明快捷的證法三是元認(rèn)知調(diào)控下的思維結(jié)果，師生可謂領(lǐng)略了證法三的“冰冷美麗”，而沒有體會(huì)到其背后的“火熱思考”.

從思維的視角看，4節(jié)課的突出共同點(diǎn)：重思維結(jié)果，輕思維過程，漠視學(xué)生思維的發(fā)展，由此可能會(huì)產(chǎn)生的結(jié)果是：認(rèn)真完成證明的學(xué)生會(huì)想：我的證法咋就繁瑣呢？簡潔證法是如何得到的？我怎么就想不到呢？沒有證出來的學(xué)生會(huì)想：我太笨了，不是學(xué)數(shù)學(xué)的材料，或者數(shù)學(xué)真是莫名其妙……，于是一批批學(xué)困生和厭學(xué)生就此誕生了.

培訓(xùn)研修并非對(duì)執(zhí)教教師的教學(xué)沒有影響，如案例中3位教師在正弦定理的證明中采用了讓學(xué)生探究的形式，給予全體學(xué)生思維的機(jī)會(huì)和少數(shù)學(xué)生展示思維結(jié)果的機(jī)會(huì)，但而后還是走回了呈現(xiàn)事實(shí)覆蓋數(shù)學(xué)思維的老路.“豐富學(xué)生的學(xué)習(xí)方式，讓學(xué)生經(jīng)歷探究發(fā)現(xiàn)及證明的過程”的課標(biāo)理念形式上被落實(shí)，但教師對(duì)學(xué)生的探究不能正確引導(dǎo)，在探究結(jié)果與自己的預(yù)設(shè)不符時(shí)，“接不住學(xué)生拋出的球”，不能在學(xué)的基礎(chǔ)上教，是一個(gè)客觀現(xiàn)實(shí).

4 思考與建議

雖然是對(duì)4節(jié)課兩個(gè)環(huán)節(jié)的案例分析，但就它具有的代表性而言，可知數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中思維能力的培養(yǎng)沒有受到應(yīng)有的重視的現(xiàn)象普遍存在，事實(shí)上，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，無論是教科書的設(shè)計(jì)還是教師的課堂生成，都缺乏對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)形成過程及深層思考的重視［8］.研究者認(rèn)為，教師不關(guān)注數(shù)學(xué)教育的基本目標(biāo)，不重視數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)，不認(rèn)真研究學(xué)生的思維過程是內(nèi)在原因.當(dāng)然，外在原因也不容忽視：長期為考而教，高考不考你是如何思考的，只考題目解答是否正確，所以知道定理會(huì)用定理解題是教學(xué)的重點(diǎn)，為了應(yīng)對(duì)考試，過分強(qiáng)調(diào)解題訓(xùn)練和解題技巧，而不是讓學(xué)生體驗(yàn)發(fā)現(xiàn)與應(yīng)用數(shù)學(xué)的快樂，發(fā)展思維.

思維是智力與能力的核心，數(shù)學(xué)俗稱“思維的體操”.研讀課標(biāo)，研究者想到的核心關(guān)鍵詞是“思維”［9］.課程標(biāo)準(zhǔn)“以學(xué)生發(fā)展為本”的基本理念，落實(shí)到數(shù)學(xué)課堂教學(xué)層面，則要求充分體現(xiàn)數(shù)學(xué)的核心價(jià)值——發(fā)展思維，讓學(xué)生變得更聰明［10］.而現(xiàn)實(shí)依然令人堪憂，根據(jù)認(rèn)知發(fā)展心理學(xué)以及教師學(xué)習(xí)的規(guī)律，研究者對(duì)思維視角下的數(shù)學(xué)教師專業(yè)發(fā)展提出3點(diǎn)建議，以期對(duì)關(guān)注數(shù)學(xué)思維培養(yǎng)的教師培訓(xùn)項(xiàng)目的課程設(shè)計(jì)有所啟發(fā).

4.1 掌握數(shù)學(xué)思維培養(yǎng)的規(guī)律

思考——展現(xiàn)思維：教學(xué)的本質(zhì)不在于傳授，而在于激勵(lì)、喚醒、鼓舞.所以數(shù)學(xué)課堂上教師首先要?jiǎng)?chuàng)設(shè)適當(dāng)?shù)膯栴}情境，引發(fā)學(xué)生的積極思考，并展現(xiàn)思維的過程.如案例中4位教師中有3位安排了學(xué)生思考探究的環(huán)節(jié)，證法一、二也展現(xiàn)了部分學(xué)生的思維之路，但證明過程的艱辛顯示出學(xué)生思維品質(zhì)的欠缺，此時(shí)就需要監(jiān)控——學(xué)會(huì)思維.

監(jiān)控——學(xué)會(huì)思維：思維的訓(xùn)練與培養(yǎng)以問題解決為載體，問題解決過程也就是架起由已知到目標(biāo)的橋梁的過程，如何架橋是解題理論及元認(rèn)知理論的合理運(yùn)用.按數(shù)學(xué)教育家波利亞的“怎樣解題表”的4個(gè)步驟［11］：（1）了解問題：已知三角形，證明邊角關(guān)系——正弦定理；（2）擬定計(jì)劃：尋找出已知與目標(biāo)間的關(guān)系，要架起已知與目標(biāo)間的橋梁，可以利用什么？為了能利用它，你是否應(yīng)該引入某些輔助元素？可以利用銳角的正弦函數(shù)定義，應(yīng)引入輔助線，三角形的高，表征、運(yùn)算、推理，架橋成功；（3）實(shí)行計(jì)劃：書寫證明；（4）回顧反思：你能校核論證嗎？你能用不同的方法得出結(jié)果嗎？有否更簡潔的方法？這種聯(lián)想提問對(duì)學(xué)生思維的監(jiān)控與指引，使學(xué)生學(xué)會(huì)思維.案例中缺乏擬定計(jì)劃中的啟發(fā)思考和回顧反思，由此造成思維之路的不順暢，證明的艱難.

反思——發(fā)展思維：反思存在于數(shù)學(xué)教學(xué)的多個(gè)環(huán)節(jié)：反思思維過程，使思維條理化、清晰化、概括化；反思思維策略，提煉數(shù)學(xué)的基本思維方法；反思問題的本質(zhì)，對(duì)問題進(jìn)行推廣引申，提高思維的深刻性；反思思維的調(diào)控過程，優(yōu)化解題過程，提高元認(rèn)知水平.如在正弦定理的證明中，面對(duì)證法一、二，師生在理清思路肯定其正確后，反思：是否有更簡潔的方法？與三角形邊角有關(guān)的知識(shí)還有哪些？你能用不同的方法得出結(jié)果嗎？回顧、優(yōu)化、簡化，自然得到證法三.感悟到對(duì)思維過程的適時(shí)監(jiān)控與調(diào)整，可優(yōu)化證明過程，提升元認(rèn)知水平；而聯(lián)想起與三角形邊角有關(guān)的向量與面積等知識(shí)，向量法及面積法自然水到渠成.經(jīng)歷以上問題的思考與驗(yàn)證，正弦定理自然銘記于心，數(shù)學(xué)思維的魅力得以展現(xiàn)，學(xué)生的思維品質(zhì)得到錘煉，發(fā)展思維得以實(shí)現(xiàn).

4.2 理解數(shù)學(xué)和學(xué)生是根本

理解數(shù)學(xué)，不僅要知道定義、原理等陳述性知識(shí)，而且要理解數(shù)學(xué)的特征，千百年來，數(shù)學(xué)一直是人類的一種活動(dòng)，在聯(lián)系現(xiàn)實(shí)的問題情境中，通過學(xué)生的思維活動(dòng)再創(chuàng)造數(shù)學(xué)才能感悟其蘊(yùn)含的思想方法、掌握解題的策略，從而發(fā)展思維，提高能力，達(dá)成數(shù)學(xué)教育的根本目標(biāo).理解學(xué)生，意味著教師要順應(yīng)學(xué)生好奇心、好探究、好講理、好分享的天性，能根據(jù)學(xué)生已有的經(jīng)驗(yàn)恰當(dāng)設(shè)計(jì)新知識(shí)的生長點(diǎn)，給學(xué)生思考分享的機(jī)會(huì)；能洞察學(xué)生解答問題中的合理成分、不足甚至錯(cuò)誤觀念，并以此為資源，優(yōu)化完善學(xué)生的思維品質(zhì).教師理解數(shù)學(xué)與學(xué)生方能進(jìn)一步融合數(shù)學(xué)的邏輯與學(xué)生的認(rèn)知，對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)展，重新進(jìn)行表征和構(gòu)造，顯化數(shù)學(xué)核心知識(shí)的“過程特征”與“對(duì)象特征”，在教學(xué)中做到善于舉例；善于提問；善于比較與優(yōu)化［12］，并將自己定位到組織、引導(dǎo)、指導(dǎo)者的角色上來，還學(xué)生學(xué)習(xí)主人之地位、數(shù)學(xué)思維教育之本色.

4.3 為教師改變構(gòu)建連續(xù)的支持性學(xué)習(xí)環(huán)境

教師改變是教師專業(yè)發(fā)展的目標(biāo)，是一個(gè)復(fù)雜漸進(jìn)的多元循環(huán)的過程，是圍繞教師的不同核心領(lǐng)域（例如個(gè)人教育理念、實(shí)踐性知識(shí)、外部環(huán)境、教學(xué)結(jié)果與成效領(lǐng)域）之間和諧連續(xù)的相互作用，是教師主動(dòng)自覺持續(xù)反思與實(shí)踐的結(jié)果.作為教師專業(yè)發(fā)展的指導(dǎo)者要充分認(rèn)識(shí)教師專業(yè)發(fā)展的復(fù)雜性，通過加強(qiáng)短期集中與后期跟蹤的整體性，構(gòu)建連續(xù)的支持性學(xué)習(xí)環(huán)境，根據(jù)數(shù)學(xué)思維培養(yǎng)的主題，合作評(píng)價(jià)教師行為，提出改進(jìn)策略；開展相關(guān)理論學(xué)習(xí)，認(rèn)清策略實(shí)質(zhì)；在新的教學(xué)實(shí)施中指導(dǎo)學(xué)員教師反復(fù)經(jīng)歷從新策略中反思課堂實(shí)踐，概括學(xué)生學(xué)習(xí)的新結(jié)論，同時(shí)不斷追問原主體理論，形成教師的“認(rèn)知沖突”，促進(jìn)教師從“不足之感”向“求足之感”轉(zhuǎn)化.設(shè)計(jì)專業(yè)引領(lǐng)、同伴合作、自主學(xué)習(xí)與反思等多種學(xué)習(xí)方式，促進(jìn)教師實(shí)踐性知識(shí)的調(diào)整與重組.

致謝：感謝美國加州長灘州立大學(xué)安淑華教授的肯定、鼓勵(lì)和對(duì)文章的指導(dǎo)．

［參 考 文 獻(xiàn)］

［1］ 李煒.高水平數(shù)學(xué)教學(xué)到底該教什么［J］.數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2014，23（6）：31-35.

［2］ 韓龍淑，曾小平.數(shù)學(xué)教師對(duì)啟發(fā)式教學(xué)認(rèn)識(shí)的調(diào)查研究［J］.數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2014，23（4）：55-58.

［3］ 胡典順，王靜，徐漢文.新課程背景下數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式轉(zhuǎn)變的調(diào)查研究［J］.數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2013，22（5）：47-52.

［4］ 徐章韜，梅全雄.論基于課堂教學(xué)的數(shù)學(xué)探究性學(xué)習(xí)［J］.數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2013，22（6）：1-4.

［5］ 喻平.數(shù)學(xué)教師認(rèn)識(shí)信念的一個(gè)理論框架與量表設(shè)計(jì)［J］.數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2013，22（4）：34-37.

［6］ 王光明，劉金英，馬曉丹，等.基于“學(xué)思知行”有機(jī)結(jié)合的數(shù)學(xué)教師評(píng)價(jià)指標(biāo)［J］.數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2014，23 （3）：43-47.

［7］ 宋輝，惠群，余水.高中數(shù)學(xué)教學(xué)現(xiàn)狀調(diào)查研究——基于教師專業(yè)素養(yǎng)的視角［J］.數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2014，23（6）：58.

［8］ 王瑞霖，綦春霞，李孝成.數(shù)學(xué)活動(dòng)理論探求與實(shí)踐反思［J］.數(shù)學(xué)通報(bào)，2012，（7）：1-5.

［9］ 任景業(yè).走進(jìn)孩子的課堂［M］.長春：東北師范大學(xué)出版社，2014.

［10］ 徐文彬，曹新，王興福.數(shù)學(xué)課程改革與數(shù)學(xué)教師專業(yè)發(fā)展［J］.數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2013，22（4）：91-92.

［11］ 波利亞.怎樣解題［M］.上海：上?？萍冀逃霭嫔纾?007.

［12］ 鄭毓信.中國數(shù)學(xué)教育的重要生長點(diǎn)［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2012，（3上旬）：2-4.

［責(zé)任編校：周學(xué)智］

中圖分類號(hào)：G451

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1004-9894（2016）02-0066-04

收稿日期：2015-12-08

基金項(xiàng)目：2011河北省社會(huì)科學(xué)基金項(xiàng)目——河北省中學(xué)數(shù)學(xué)專家型教師專業(yè)發(fā)展研究（HB11JY010）

作者簡介：高紅志（1965—），女，河北東光人，副教授，主要從事數(shù)學(xué)教學(xué)與教師教育研究．陳雪梅為本文通訊作者．明．同學(xué)們分成兩部分證明．直角三角形中已經(jīng)證明了，我們還需要證明什么？

Exploration of Mathematics Teachers’ Professional Development from Thought Perspective——Based on Case Studies of Four Differently Taught Lessons on “Sine Law”

GAO Hong-zhi1， CHEN Xue-mei2
（1. Mathematics department of Cangzhou Normal College， Hebei Cangzhou 061001， China；
2. College of Mathematics and Information Science Hebei Normal University， Hebei Shijiazhuang 050024， China）

Abstract:After data collecting and analyzing four differently performed lessons on the same topic--the law of sine， which is a research and study outcome of the National Teacher Training program， we found a common feature that all teachers neglect students’ thought development. Their classroom teaching diverged from the core value of math education--developing thought. considering the causes behind the phenomenon， we explore countermeasures and provide three suggestions on math teachers’professional development from thought perspective: master the rule of math thought cultivation； comprehend math and student；construct a successive and supportive study environment.

Key words:thought； math teacher； professional development； teacher transformation