職前數學教師教學設計信念轉變的個案研究
——以HPM視角下的勾股定理教學為例

馮振舉，王惠揚子（．曲阜師范大學 數學科學學院，山東 曲阜 7365；．中國海洋大學 基礎教學中心教育系，山東 青島 66003）

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職前數學教師教學設計信念轉變的個案研究
——以HPM視角下的勾股定理教學為例

馮振舉1，王惠揚子2
（1．曲阜師范大學 數學科學學院，山東 曲阜 273165；2．中國海洋大學 基礎教學中心教育系，山東 青島 266003）

摘要：分析個案教師不同階段的教學設計和教學敘事，發現職前數學教師的教學設計信念在設計思路和教學設計各個環節均發生了認識上的明顯變化.開展教學設計是職前數學教師培養的有效方法，HPM應成為數學教師教學信念的重要組成部分，案例設計和教學也是解決HPM研究“高評價、低應用”現象的途徑之一.

關鍵詞：職前數學教師；教學信念；教學設計信念；HPM；勾股定理

1 問題提出

1.1 數學教師信念

Charalambous等人[1]認為教師關于數學的信念和態度是影響教師所采用數學教學方法的關鍵.信念是一個多層次的結構，可以描述成個人主觀上“對現實世界的理解、假設或觀點”.教師擁有各種信念：關于他們自身作為數學教師和學生的，關于知識獲得方式的，關于數學學科本質的，關于影響數學學習的內部和外部因素的.數學教師的信念是指教師在教育教學中所形成的對相關教育現象，特別是對數學以及自己的教學能力和所教學生的主體性認識，它影響著教師的教育實踐和學生的身心發展[2].數學教師信念包括數學信念[3]，數學教學信念和數學學習信念[4].

黃毅英以歐內斯特[5]對數學教師信念的分類模型為基礎，對內地中學教師的數學信念做了系統研究.發現被訪問教師的數學信念主要是柏拉圖主義的觀點，即教師把數學看成是一個與邏輯有關的、有嚴謹體系的、關于圖形和數量精確計算的學科[6].

還有學者[7]認為教師的數學信念可以分成多種維度.這些信念起源于在中學時先前傳統的學習經歷.一旦獲得，教師的信念最終會在課堂教學中復制.有證據表明，教師的信念影響了他們的教學行為，信念與行為之間關系的本質是復雜的并受外部因素的調節[8].

研究表明，大學期間形成的以教師中心和傳統主義取向的教學信念與師范生的教學行為基本一致[9].數學教師的信念影響著他們的教學決策和行為，對于師范院校來講，不但要讓未來的數學教師掌握從事數學教學所需要的知識和技能，也要讓他們形成合乎現代數學教學要求的信念[10].教師關于數學教和學的信念在決定課程改革的地位時非常重要[11].

綜述以上，教學信念系統主要包括數學信念、數學教學信念和數學學習信念3部分，教師教學信念會決定和影響教學實踐.但研究者認為在教師教學信念和教學實踐之間還存在一種信念即教學設計信念.

1.2 數學教學設計信念

數學教學設計是溝通數學教育理論研究與數學教學實踐研究的橋梁，尤其對于職前數學教師來講，數學教學設計是職前數學教師真正走進課堂實踐前的一次重要的“思想實驗”，是檢驗職前數學教師能否將所學的學科知識、學科教學知識以及自身教學能力進行整合的合情演練.

數學教學設計信念就是教師對數學教學設計本身的認識和看法.由于信念是人類任何認識和行為的基本前提，是一種指向終極性的認識要求，也是推行知行統一的動力源泉，是人類自身的本質屬性之一，所以數學教學設計信念會指引教師開展教學設計，實施教學設計活動，教師擁有合理的數學教學設計信念是下一步進行教學實踐的前提和保障.

1.3 職前數學教師教學設計中存在的問題

職前數學教師在教學技能的培養中，“重視動作技能，輕視數學思想內化，輕視數學教育理論內化”[12]的現象是普遍存在的.郭桂榮等[13]研究表明職前教師的教學信念還是停留在教師為中心，教學方式以講授為主.張彥春等[14]認為職前數學教師在教學設計過程中存在以下問題：新課導入環節問題情境簡單且抽象，新知建構設計缺乏層次且表征形式單一，應用鞏固缺乏變式與明確目的，小結梳理流于形式.

研究者調查并總結職前數學教師在教學設計中主要存在以下問題：只關注教學過程的完整性而忽視對重點、難點的深度理解；過度關注知識的記憶與掌握而忽視概念的本質及思想方法的提煉；只關注雙基而忽視學生的情感、體驗、價值觀的發展，忽視學生內在的變化；對概念引入、定理公式的教學停留于機械地模仿，而少有自己獨特的創設；忽視數學發展史在數學知識教學中的指導作用；對知識的理解支離、片面，沒有整體意識；教學課件缺少美觀藝術性等.在教學實踐中則存在過度關注教學各環節的連貫性而忽視學生對知識的接受和理解，從而導致各教學環節齊全但重點不突出的現象發生.

上述問題的出現表明，職前數學教師對教學設計沒有正確的認識，沒有形成正確的數學教學設計信念，所以轉變職

1.4 數學教學設計信念的構成

目前，相關研究主要集中于數學信念和數學教學信念，對數學教學設計信念關注較少，數學教學設計信念的要素構成幾乎沒有涉及.李孝誠等[15]認為教學設計觀念是教學設計能力的一部分，給出了數學教學設計觀念的一些指標，包括數學教學設計重要性的意識，數學教學設計過程觀、數學觀、數學教學觀、學生觀，并探討了個案教師教學設計能力的轉變.

從合理的數學教學設計所具備的要素出發，認為教師的數學教學設計信念在具體操作層面應包含關于教學目標的信念、關于教學情境創設的信念、關于教學內容的信念、關于教學流程的信念、關于學生學習的信念、關于教與學評價的信念；在對教學設計的認識層面應包含教學設計的總體思路、教學內容蘊含的思想方法等信念（見表 1）.教學設計的認識信念是教學設計信念的元信念，是指導教師進行教學設計的總指導思想，對于支配教學設計的可操作信念具有能動性.

表1 數學教學設計信念的構成

1.5 研究內容

主要通過對個案教師的不同版本的教學設計及其教學敘事的分析，探究職前數學教師教學設計信念的前后變化，試圖發現職前教師是如何用HPM（History and Pedagogy of Mathematics）視野下的數學教學設計信念指導自己的教學設計，并對HPM研究的“高評價、低應用”現象做一些認識上的詮釋.

2 研究過程與方法

2.1 研究對象

研究的個案教師是一位經歷了數學教學實習的職前數學教師，以下簡稱為W.W在大學期間除了主修數學專業課程、一般教師教育課程（教育學、心理學、教育技術學）和數學教師教育課程（數學教學論、數學史）外，還輔修了物理專業的第二學位，但是W沒有HPM研究相關的背景.W語言表達很棒，是一位出色的演講者，在大學期間擔任班干部，組織協調能力強，自身綜合素質非常高.在教學實習結束后，由于W的優異表現，代表學院參加學校層面的師范生教學技能大賽，后又代表學校參加省級師范生從業技能大賽，獲得省級一等獎.大學學業結束后，W考入一所 985高校繼續攻讀學科教學（數學）專業學位.

2.2 研究過程

2.2.1 初入數學課堂（第一階段）

大學第六學期，W來到某中學八年級進行教學實習.W要講授的內容是人民教育出版社的義務教育數學課本（2013版）（以下簡稱“人教版”）八年級下冊第17章第1節《勾股定理》[16].按照大學期間教師教育理論課所學習的知識，W 首先備教材，仔細閱讀教材以及教參，其次備學生，了解學生的知識儲備.借由自己十多年做學生的“經驗”以及對數學課的認識，W 認為上好這節初中數學課是很簡單的事，只需要在教材的基礎上，將教材內容“串連”起來，帶領學生完成課本上布置的探究任務，讓學生掌握所要求的知識與技能即可.

研讀教材之后，W 依據課本進行了教學設計，將教學重點放在了對勾股定理的“探索”之上，通過網格紙計算面積得出猜想，進而帶領學生通過動手拼圖學習兩種簡單的證明方法.通過學生課后的作業反饋，看到大多數學生都已經掌握了勾股定理及應用勾股定理解題，W 認為她已經實現所預設的教學目標.

2.2.2 探索新的教學設計（第二階段）

實習過后，W開始準備參加學校里的教學技能大賽.在W 準備參加比賽之初，計劃采用第一階段實習時的教學設計.指導教師在看過W的教學設計和她的模擬授課后提出了建議：勾股定理作為數學歷史上最為古老和基本的定理，一定要把勾股定理相關的歷史文化背景融入課堂教學之中.勾股定理的教學絕不能停留在“雙基”的基本要求上，這節課可以很好地實現數學教學從“訓練”向“教育”[17]的轉變.為此，W 開始查閱相關資料[18～23]，嘗試跳出教材框架，以新的角度重新對教學設計進行思考.經過W給同班同學和一線教師的講授，根據他們的反應，繼續反思，修改第二階段的教學設計.

2.2.3 數學史文本指引下的再設計（第三階段）

通過W本人的隨機調查（身邊的同學）和指導教師在所開設的數學史課上的廣泛調查（數學專業的大二學生），發現學生在勾股定理的學習結果方面存在很多問題，W 結合自己的教學設計深入反思，并通過對中國期刊網關于勾股定理教學設計的文獻資料[24～34]進行分析，發現這些教學設計都沒有很好地解釋“人教版”教材中“讓學生通過計算網格紙的面積來探究勾股定理”的歷史根源，已有的教學設計基本都是按照現代方法進行面積的轉換，然后匆忙過渡到下一階段——讓學生用4個全等的直角三角形進行拼湊，來實現探究證明勾股定理的目的.在W實際課堂教學和上述已有文獻研究中均表明，八年級學生并不能很好地完成這個過程的轉換.

于是W和指導教師一起探討，在指導教師的幫助下，借用數學史研究專家的成果，進行數學史原始術文的解讀，恰好可以很好地解釋學生以及教師所碰到的困難，在此基礎上完成第三份教學設計.

2.2.4 重回初中數學課堂（第四階段）

帶著“最新版”的教學設計，W再次聯系了實習時的老師，允許W再給該班學生講一節“返璞歸真”的數學課.鑒于學生已學習過勾股定理的內容并會用勾股定理解決問題，在上課之前W給每位學生下發了一張摸底小“試卷”，主要是了解學生對勾股定理相關知識的了解.上完這節課后，W請每個學生在“試卷”背面的空白處寫下自己的感想以及對前后兩次授課的比較.因為“試卷”是匿名的，同學們可以暢所欲言，W把學生認真思考寫下的話語進行了歸類整理.

2.2.5 反思教學設計（第五階段）

指導教師要求W把前后歷時半年關于勾股定理教學的整個設計和實施過程用教學敘事的方式寫下來，并強調一定多關注自己觀念上和學生學習效果的變化.為此，W自學了教學敘事研究的理論與方法，并對所寫教學敘事做了反復修改.

2.3 資料收集與研究方法

收集到的研究資料主要包括：

（1）W 在教學實習期間、準備校教學比賽、經過指導修改后的3份教學設計.

（2）W 參加校教學比賽的錄像和比賽后去實習所在班級的授課錄像.

（3）W 撰寫的從教學實習到參加比賽再到實習班級二次授課的3個階段的教學敘事.

（4）W 第二次到實習班級授課進行的課前測驗和課后學生訪談問卷及調查結果.

（5）W 代表學校參加省級師范生從業技能大賽的教學設計和說課稿.

主要采用文本分析法，對文本客觀分析以了解被研究對象的教學設計信念的變化.通過對W的3個版本的教學設計、課堂實錄、教學敘事以及對學生的測試和調查結果 4方面的分析，互相印證，以滿足文本分析的信度和效度.

3 研究結果和分析

3.1 教學設計的認識信念

對前后3個版本的教學設計分析，可以發現W對教學設計有了新的認識.最初認為上課前的準備工作就是按照課本的邏輯順序依次進行講解，能順利完成教材內容的要求即可，后來發現好的教學設計應該有一個總體設計規劃，不能是“腳踩西瓜皮，滑到哪兒算哪兒”.在了解勾股定理豐富的文化背景后，她認為教師進行教學設計的首要工作是要把課本教學內容進行解構，再按照知識發生發展的形成過程來引導學生的自主建構.

通過分析W的教學敘事，可以發現該職前教師教學信念發生了明顯的轉變，認識到上好一堂課，成為一名好的數學教師不是簡單的事情，進行上課之前的教學設計尤為重要，而教學設計的關鍵是“理解教材、理解學生、理解數學”[35].她認為第一階段的教學設計像是把知識強加給學生，比較生硬，教師好像知識的搬運工；第二階段的設計史料堆積感太強，而且給人的感覺零散瑣碎，沒有思想主線；第三階段的設計則水到渠成，設計的思想主線為“講清‘勾股’二字的由來——闡明商高和趙爽證明的原理——比較東西方不同證明方法的異同——提煉不同證明方法背后的思維方式——上升為理性精神的追求”，尤其是關于商高和趙爽的證明，配以動畫演示，學生接受起來自然，理解起來不費力.

在最初的教學設計中，只能看到知識點的羅列，到第三階段的設計可以明顯看出該職前教師除了重視基本知識外，還注重對知識背后蘊藏的思想方法進行提煉.就勾股定理的教學內容而言，W的教學設計認識信念在教學內容的思想方法層面，實現了從單重知識的傳授到注重勾股定理背后蘊含的多元文化思想的轉變，同時在總體設計思路層面實現了從過度依賴教材到“分析課程標準——查閱相關教學研究論文——教材分析——考慮學生的認知障礙——教師的認識論障礙——查找數學史文獻”的轉變.

3.2 教學設計的可操作信念

3.2.1 關于教學目標的信念

數學教育的終極目標應該是培養學生的理性精神.中國的傳統文化，由于受儒家思想影響較深，在科學的發展上，實用主義和功利主義占據了上風，理性活動和理性價值受到壓抑，在理性科學與外在功利發生沖突時，理性常以失敗而告終.數學教育應重視培養理性精神，理性精神的氛圍濃厚，才會形成重視數學的氣候，才有助于發揮數學多方面的功能.因此，數學教育中要注重理性精神的培養[36].

在執教第一階段，W認為教學設計中的“三維”教學目標中的“過程與方法”、“情感、態度與價值觀”目標比較虛無縹緲，在課堂教學中不好把握.在后來的教學設計中，通過對勾股定理多元文化的了解，認為通過勾股定理的教學側重點恰恰應該放在后面兩個維度上.分析其教學敘事及參加省級教學比賽準備的3個（構成空間幾何體的元素、正態分布、不等關系與不等式）教學設計，發現該職前教師的教學目標都特別注重后兩個維度的設計.她認為能在比賽中出彩或講出亮點的地方除了對“雙基”知識的精確把握之外，還要講出知識背后的思想方法，而思想方法的提煉恰恰需要讓學生進行經歷和體驗.過程與方法目標實現的過程，就是培養學生科學的態度、科學的思考解決問題的方法和追求實事求是、批判、質疑的理性精神的過程.

3.2.2 關于教學情境創設的信念

勾股定理歷史悠久，文化底蘊豐富，從中國古代測量土地山河、天文研究，到西方無理數的發現以及費馬大定理，勾股定理牽扯到的數學歷史極多.課堂時間有限，考慮到八年級學生理解、接受能力，W 不得不對歷史進行“斷章取義”.最終選擇了通過“商高答周公問”這一《周髀算經》中的內容作為切入點，并沒有過多提及其它歷史背景.

情境創設直接從2002年國際數學家大會的會標談起，然后從《周髀算經》中的商高與周公的對話中有“勾廣三，股修四，徑隅五”關于勾股定理特例的論述，以及周公后人榮方與陳子的對話，“……以日下為勾，日高為股，勾股各自乘，并而開方除之，得邪至日.”則給出了勾股定理的一般形式[37].以此來引出“勾股”，后人把該結論記為勾股定理.

可以看出，對教學情境創設的認識上，該職前教師也發生了很大變化.從原來過分依賴教材中提供的情境，到查閱資料分析該情境的有效性，再到數學史典籍中尋找與勾股定理聯系最緊密的歷史文本來引入新課，這是建立在對教材和學生學習需要的分析基礎之上的“再創造”.

3.2.3 關于教學內容的信念

隨著對勾股定理寬泛文化背景的認識以及與聽課者和指導教師的交流，W 認識到第一和第二階段的教學還存在很多問題.結合調查發現數學專業絕大多數的研究生、本科生不知道勾股定理在西方也叫畢達哥拉斯定理，也解釋不清楚勾股定理中的“勾股”是什么意思，更很少有人能給出幾種證明勾股定理的方法.也就是說，對于勾股定理這部分內容，絕大多數學生只記住了這樣一個公式及其變形.

這使得W在教學內容設計上產生了強烈的認知沖突，不得不冷靜思考勾股定理的教學到底應該教給學生哪些知識.最終W確定勾股定理的教學至少應讓學生掌握以下內容：（1）勾股定理的內容，以“勾股”命名的緣由，中國古代數學家是如何證明勾股定理的；（2）在西方該定理叫做畢達哥拉斯定理，畢氏學派的介紹，西方數學家怎樣證明勾股定理；（3）比較東西方數學證明方法的差異；（4）為防止勾股定理證明的探究流于形式，采用《周髀算經》中的術文導讀的方式，讓學生模仿商高和趙爽的證明過程，讓學生經歷從經典術文導讀到圖形直觀感知再到面積公式的形式推導，有利于學生理解用 4個全等直角三角形進行拼補的證明方法的背后原理.

通過復原商高“故折矩，以為勾廣三，股修四，徑隅五”和趙爽的“勾股圓方圖”中的“弦圖”的證明，即圍繞“既方之，外半其一矩，環而共盤”這句術文的解讀，通過動畫演示，可以分別給出商高和趙爽證明勾股定理的思路.商高的思路是“既方之→外半之→環而共盤”，而趙爽的思路是“既方之→環而共盤→外半之”[38].關于這句術文的兩種詮釋與人教版教材在這節課開始讓學生在網格紙中通過兩種方法計算正方形和三角形的面積完全吻合.

可以看出，該職前教師在教學內容的選擇上進行了較大的變化.第一階段的教學是“照本宣科”，自己成了知識的搬運工，現在是打亂教材編排的順序，重新組織，并加入了很多教材之外的內容，這種設計經歷讓該教師認識到不是“教教材”，而是要“用教材來教”.

3.2.4 關于教學流程的信念

很多數學教師在課堂伊始是采取給出一些具體的三角形，讓學生測量三邊長，然后計算各邊長的平方，通過計算，試圖讓學生發現三邊長間的平方關系，還有的老師會事先給出幾組整勾股數，讓學生通過簡單計算、填表、表格歸納概括出勾股定理.張廣祥教授認為這不是“發現”勾股定理，只是驗證勾股定理[39].所以這也不難理解為什么學生不知道勾股定理中的“勾股”是怎樣來的.學生只是從形式上記住了勾股定理的內容，對勾股定理內容的本質和勾股定理之所以稱為定理的原因知之甚少.

W在第三階段教學流程設計中，除了引用《周髀算經》中的術文引出勾股定理命名的由來，還側重于展示東西方不同文明證明勾股定理的方法，體現中西方不同的思維方式.西方古代數學帶有強烈的演繹傾向，任何問題都要有嚴格的推理證明，歐幾里得的證明最為嚴謹.中國古代數學帶有濃重的算法傾向，趙爽等中國古代數學家的證明具有“寓理于算”的特點.

W 在教學流程的設計方面，實現了從忠實于教材的邏輯編排順序到創造性地按照自己制定的教學目標的發生發展順序的轉變，這使她認識到教學各環節是為教學目標服務的，而教學目標的制定要圍繞學生的學習，所以教學各環節的設計最終是為學生的學而服務.教材的邏輯順序是基于知識的編排體系上的要求，這種編排方式強調結構，適合知識的復習，不適合知識的學習，而體現知識發生發展的組織材料才有利于學生的接受和理解，教學設計就是要把教材變成易于學生接受理解的“學材”.

3.2.5 關于學生學習的信念

在最初的教學設計中，W 并沒有考慮學生的學習和體驗，她的目標就是完成教材中的教學任務，學生會做課后題就可以.隨著對勾股定理內容的深入認識和對周圍同學勾股定理學習結果的調查，她在教學設計中開始側重考慮如何能讓學生真正理解勾股定理中“勾股”二字的由來，怎樣能順利地用4個全等直角三角形拼湊來完成證明，再到考慮學生對東西方不同證明背后隱藏的思想方法，乃至最終對理性精神的領悟.

從最初的教學設計到執教者最后的反思作前后對比，發現該職前教師關于學生學習的信念發生明顯轉變，即從原來只關注知識的掌握和解題技能的訓練，到注重解決學生學習中的困難和理解上的認知障礙.

3.2.6 關于教與學評價的信念

在第四階段講授之前，W 采用問卷調查的方式對學生進行了在第一階段教學設計下教學效果的測試，發現八年級學生在她第一次授課后的學習效果跟當前大學生的情況相似.對于給該班學生第二次授課的教學效果，W 采用匿名的方式讓學生自由書寫學習感受，可以看出學生通過第二次課的學習，普遍感覺對勾股定理的認識更深刻，對數學知識的豐富的文化底蘊更感興趣，同時對數學發現、證明的方法也有了重新認識.

以下是被調查的學生給出的幾例回答.“在這次學習中，學會了很多奇妙的證明方法和多種可以證明勾股定理的幾何圖形.了解了很多與勾股定理有關的人物，而且很靈活，記憶很深刻.”“第一次講學會了勾股定理的用法，沒有詳細講它是怎么來的.第二次的時候詳細講了勾股定理的證明方法，相比第一次，第二次更具趣味性，還可以互動，十分容易理解，第一次比較生硬，第二次講時豐富了我們的知識，開拓了我們的視野，我學到了許多拓展知識，在樂趣中學習，這才是最高境界啊！”“見識了古代人民的智慧，同時也對勾股定理有了深一步的了解，感覺到了數學的趣味性，激發了我對數學更深一步的興趣.”“幾何學需要人們充分發揮想象力去探索、創新、嘗試，需要擺脫思維定式.”“知道了勾股定理還有別的證法，運用一些不為人知的故事而串聯起整堂課，能使課堂更加靈活，同學們更想聽的東西是新奇的.”“擴展了其它的勾股定理的圖形拼法，打開了對勾股定理的思路，了解了很多課外知識，對勾股定理有了創新的思維，對古代數學家的智慧表示敬佩.”

通過各階段教學設計的實施，W 認為評價學生學習不能只看結果，還要看過程和參與度，評價方式不是單一的，應該是多元的和終身評價.教師更應看到數學文化立意下的勾股定理教學帶來的好處，這種有益之處雖然不如教師在課上過度強調勾股定理公式及其計算（雙基）來得明顯，但應看到文化立意下的課堂教學會給學生帶來深遠地影響.科學史鼻祖薩頓認為：學習數學史倒不一定產生更出色的數學家，但它產生更溫雅的數學家.學習數學史能豐富他們的思想，撫慰他們的心靈，并且培植他們的高雅品質[40].

3.3 對HPM的認識

面對有著如此豐富文化內涵的勾股定理，W 認為數學教師絕不能只告訴學生勾股定理的一般表達式.從這節課的整個前后設計過程及教材內容來看，數學史知識的儲備是數學教師設計文化意蘊深厚的數學課的關鍵，對數學史教育價值取向的認識起到支配數學教師進行教學設計的關鍵.

已有的勾股定理教學設計，普遍存在“H和M過多，而P較少”，也即歷史材料堆砌過多，對于這些史料如何與課本內容有機結合，這些史料在啟發學生當前的學習中發揮怎樣的作用思考較少.

在個案研究中，W發現了學生在用4個全等的直角三角形通過拼補法證明勾股定理時存在困難，這屬于學生的認知障礙，而W對這些內容也不了解，這又屬于教師的認識論障礙，然后W和指導教師一起到數學史原始文獻和研究資料中尋求幫助.雖然數學史家對歷史的詮釋或者史家的觀點一直呈現一種動態的流變，太強調史觀，反而會使教學喪失許多樂趣[41]，但教師仍然可以借鑒很多，這對于克服認識論障礙有很大幫助.

可以看出，W 在第一、二階段的設計中，史料堆砌過多，沒有考慮學生的認知障礙，在第三階段的設計中，能將認知障礙和認識論障礙有效對接，從而找到克服認知障礙的辦法，這使得該職前教師對數學史在數學教學中作用的認識更加深入.

綜上，該職前教師的教學設計信念的變化總結如下，見表2.

表2 職前教師在教學設計信念上的變化

4 結 論

4.1 開展教學設計是職前教師培養的有效方法

職前數學教師培養不是培養“知識的搬運工”、教書匠，而是培養教學工程師，教學設計是一項系統工程.“學思知行”合一的教師教育模式應該大力提倡.數學教育中的“學思知行”有機結合，就是將學習、思考、認知與應用有機融合.注重“學思知行”有機結合的數學教師既注重個人的學習、思考、認知與應用的有機結合，也注重在教學中讓學生做到學習、思考、認知與應用的有機融合[42].

在職前數學教師教育課程設置中，很重要的實踐環節就是進行數學教學設計案例教學，這是將教育教學理論與數學課堂教學實踐有機結合的最重要的途徑.通過教學設計，可以讓職前教師體會到數學教育理論來源于實踐又可以指導教學實踐.同樣，教學案例的設計也能折射出職前數學教師“學思知行”的實踐能力.

4.2 HPM與數學教師信念

HPM帶給職前教師的不僅僅是一種教學模式或方法，而是一種教學信念，當然也包括教學設計信念.通過HPM式的教學設計，讓職前數學教師看到數學教學不能直接告訴學生結論，而應當考慮到學生的自主學習，在知識的形成過程中，實現三維目標.這是一種發生的教學信念，也稱為“發生原理”、“發生教學法”.數學教育發展的百年歷程表明，發生教學法一直是數學家、數學教育家、數學史家所極力倡導的，也是符合人類學習規律的一種教學方法.無論是弗賴登塔爾的“數學化”、“再創造”，還是托普利茲的“間接發生法”，再到我國數學課程標準中的“體現知識發生發展的教學”都是在貫徹這一基本原理.

數學教師的課堂教學應該貫穿知識發生發展的教學，無論是概念的形成還是定理法則的歸納、概括，數學命題的先猜后證都要具有HPM的信念.培養對數學擁有歷史發展觀的職前教師對于理解、貫徹執行課程改革的理念具有現實意義.因此，HPM應該成為數學教師的一種教學信念.

4.3 案例設計和教學是解決HPM“高評價低應用”現象的方法之一

汪曉勤教授認為，HPM可以有效促進中學數學教師專業發展.在教師培訓中，有必要加強數學史的教學，不是泛泛講授數學的通史，而是挖掘中學數學中各個知識點背后的歷史；不僅講授歷史，而且講授如何將數學史用于課堂教學設計[43].

“高評價低應用”現象的發生就是實踐環節沒有解決好.實踐環節的解決應該遵循“專家引領—教師內化—重構設計—課堂生成”的模式.其中教師消化吸收數學史、數學課堂教學設計的理論和學科教學知識，內化形成自己的教學信念是關鍵，僅僅靠照搬或模仿HPM研究人員已有的教學設計是不夠的.

5 研究不足與展望

5.1 不足之處

由于教學信念系統非常復雜，即使是其子系統教學設計信念也不容易廓清其要素，再加上所研究個案教師自身綜合素質高的特點，所以對于其他職前數學教師的培養是否具有可遷移性，結果不得而知.另外研究只采用質性分析沒有量化研究.

5.2 進一步的研究

如何大面積轉化職前數學教師的教學設計信念和教學信念是當前職前教師教育體系亟需解決的問題，對于未來教師的培養質量起到至關重要的作用.在職前教師教育仍然大班額授課的情況下，確實存在很大的挑戰.另外，職前教師的MPCK和MKT與教學設計信念的關系，教師自身知識與信念的關系都可以繼續深入研究.

［參 考 文 獻］

[1] Charalambos Y Charalambous, Areti Panaoura, George Philippou. Using the History of Mathematics to Induce Changes in Preservice Teachers’ Beliefs and Attitudes: Insights from Evaluating a Teacher Education Program [J]. Education Studies Mathematics, 2009, (71): 161-180.

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[責任編校：周學智]

中圖分類號：G420

文獻標識碼：A

文章編號：1004–9894（2016）02–0059–07

收稿日期：2015–12–18

基金項目：山東省教育科學“十二五”規劃課題——歷史文化視野下數學教師信念重構的研究（2011GG139）

作者簡介：馮振舉（1977—），男，山東鄒城人，副教授，博士，主要從事數學教育和數學史研究．前教師的數學教學設計信念至關重要.

Case Study on the Change of Teaching Design Beliefs of Pre-Service Mathematics Teacher——The Teaching Design about the Pythagorean Theorem under the History and Pedagogy of Mathematics

FENG Zhen-jv1, WANG Hui-yangzi2
(1. School of Mathematics, Qufu Normal University, Shandong Qufu 273165, China; 2. Department of Education, Basic Education Center, Ocean University of China, Shandong Qingdao 266003, China;

Abstract:Through analysis teaching design and the teaching narrative, it is found that the pre-service mathematics teacher’teaching design beliefs make an obvious change. Teaching Design is an effective method to mathematics teachers’ education. HPM should to be seen as a kind of teaching belief. The teaching design is one method to solve the “high assessment, Low application” which happened in HPM.

Key words:pre-service mathematics teacher; teaching belief; teaching design belief; history and pedagogy of mathematics; the Pythagorean Theorem