基于TEDS-M的職前數學教師知識研究

姚一玲，方業成，孔企平（華東師范大學 教育學部 課程與教學系，上海 200062）

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基于TEDS-M的職前數學教師知識研究

姚一玲，方業成，孔企平
（華東師范大學 教育學部 課程與教學系，上海 200062）

摘要：隨著國際比較教育研究的興起，教師教育的國際比較研究也逐漸開始拉開帷幕，通過比較研究，各國可以從教師教育的實踐、理論以及職前教師的培養方面互相借鑒和自我評估.主要介紹由國際教育成就評價協會（International Association for the Evaluation of Educational Achievement, IEA）于2008年開展的一項數學教師教育與發展的國際比較研究（TEDS-M）中對職前教師知識的研究，總結該研究中教師知識的結構并選取樣題進行分析，以期能為中國職前數學教師教育研究提供理論指導和思想方法.

關鍵詞：數學教師教育；教師知識；TEDS-M

教師教育一直都是教育研究領域的熱點問題，自20世紀80年代美國學者舒爾曼（Shulman）提出教師知識的分類以來，國際上對教師知識的分類和定義都繞不開舒爾曼的研究.密西根州立大學在2007年發布的面向21世紀數學教學項目（Mathematics Teaching in the 21st Century, MT21）中對高質量教師教育模式進行了一些探究，繼而在2008年又開展了一項由17個國家和地區參與的職前數學教師教育發展的國際比較研究項目（Teacher Education Development Study——Mathematics, TEDS-M）.該項目主要從3個層面展開研究：國家教師教育政策、教師教育實踐以及教師教育成效，其中教師教育成效關注的是教師知識和信念.這里擬通過對這一國際比較研究中關于教師數學知識和教學知識的研究分析及其對知識分類的闡釋，探尋中國職前數學教師的教育策略和知識的影響因素，以期對中國職前數學教師知識的研究有所啟示.

1 國際視野下數學教師知識研究背景

從舒爾曼首次提出教師教學知識開始，國際上對教師知識的研究風靡一時，學者們圍繞著舒爾曼的定義對教師知識的分類也是各家之言.一般包括：數學學科知識和教學知識兩方面.

1.1 數學學科知識（MCK）

數學知識是教師教學活動和認知活動的基礎，對數學教學質量起關鍵作用[1].德國數學家菲利克斯·克萊因認為教師應該具備較高的數學觀點，因為觀點越高，事物越顯得簡單.例如實數域里不好理解的某些東西，從復數域的觀點看就清楚了[2].他強調教師在教學時應將數學的各部分知識，如算數、代數、幾何等內容，看作一個整體，特別是數與形的整合.這也是早期數學教育研究者對教師知識的要求.根據Shulman的定義，內容知識包括本學科的事實和概念，教師不僅要掌握這些事實和概念，還應該明白這些知識成立的原因以及一般化和結構化的過程[3].這是Shulman從宏觀角度定義的學科知識，從微觀層面來說，數學學科知識（簡稱數學知識）主要是依據國家數學課程標準來界定的，國際上對數學知識領域的劃分主要有4類：數與運算、代數與函數、幾何與測量、數據和概率.這雖與中國的劃分方式稍有不同，但所包含的具體內容是一致的.

1.2 數學教學知識（MPCK）

隨著舒爾曼提出教師教學知識的概念以及相關的研究出現后，對教師知識的強調逐漸從學科知識轉向教學知識.在后續的研究中教師的教學知識被具體化為多種類型，例如，教學知識被分為一般的教學知識、具體學科的教學知識、學生的知識以及關于教學的知識.然而，研究者們對PCK的本質是達到共識的，即它是關于教師如何將學科知識轉換成適應學習者的不同興趣和能力，以使學習者更好地進行有關學習方面的知識[4].文中所論述的數學教學知識是指所有與數學教與學雙向過程有關的知識.研究者認為，教學知識分為一般性教學過程知識和具體學科教學知識.無論是一般性的還是具體學科的教學知識，它們都強調的是教師教學過程中的知識.

TEDS-M對教師知識的研究是在Shulman（1987）對教師應該具備的知識分類的框架的基礎上結合美國教師準備項目研究委員會的界定并根據TIMSS的數學知識框架和認知框架以及2007年美國密西根州立大學進行的一項由6個國家或地區參與的國際比較研究（Mathematics Teaching in the 21st Century, MT21）來展開的.其定義的MPCK包括數學課程知識、數學教學計劃知識以及實施數學教學的知識.TEDS-M主要從3個方面來研究小學和初中的職前數學教師：一是國家的教師教育政策，二是教師教育實踐，三是教師教育成效[5].基于TEDS-M的研究主要關注教師教育成效中職前數學教師知識的研究.

2 職前教師數學知識以及數學教學知識的研究框架和內容分析

2.1 數學知識框架與分析

TEDS-M 研究組從知識領域和認知領域兩個角度對職前教師數學知識進行了詳細的劃分.內容領域主要是考察未來教師對靜態數學知識的掌握和認識水平，包含數與運算、幾何與測量、代數與函數以及數據與概率4個領域的具體內容.這一內容框架來自于TIMSS的數學內容知識的評價框架,而且這些內容涵蓋了所有TEDS-M的參與國家和地區的數學課程.具體劃分及內容見表1.（表1來自TIMSS 2007 Content Domain Assessment Framework (Mullis et al., 2007); TIMSS 2008 Advanced Assessment Frameworks (Garden et al., 2006) 中初中階段數學內容知識框架）

表1 數學內容知識框架：根據內容領域劃分

TEDS-M所用的TIMSS 2007的關于數學知識的框架是綜合了被試國家的課程標準而劃分的，雖然從內容上來看與中國的數學知識體系（數與代數、圖形與幾何、統計與概率、實踐與綜合）劃分不一致，但每一部分所包含的具體內容卻相同.

認知領域的分類采用TIMSS 2007對4～8年級學生數學學習的思維過程研究，認為學習者的認知類型有3種：理解、應用和推理.理解屬于認知水平的第一層次，表示學習者對數學事實、概念、工具和過程的掌握程度；應用則屬于第二層次，主要關注學習者運用理解的知識或概念解決或回答問題的能力；推理屬于最高層級，需要學生能從已知的常規問題解決遷移到不熟悉的、復雜的或多步驟的問題解決上[6].具體見表2.（表2來自TIMSS 2007 Content Domain Assessment Framework (Mullis et al., 2007)）

表2 數學內容知識框架：根據認知領域劃分

根據以上兩個領域的劃分，TEDS-M研究從數學知識出發，根據學習者的認知發展水平設計出了考察職前數學教師數學知識水平的測試題.也即針對同一數學知識可以有不同認知水平的測試題呈現.研究中關于職前數學教師知識的測試時間共60分鐘，標準分為500分.為了縮減測試時間和滿足項目反應理論的要求，被試所做的試題會有重復.研究顯示，職前教師在理解水平以及關于數、幾何、代數及分類知識的應用方面表現都較好.但是，對更復雜推理問題或非常規情境中的應用表現不佳.例如，下題（MFC202A-D）

考察被試者關于整數加法交換律和結合律的理解，選擇 A的有81%，選擇B的有86%，選擇C的有92%，選擇D的有64%.雖然題目看似簡單，但從國際調查顯示水平來看，僅有64%的國際職前教師回答正確.雖然職前教師在平時的學習過程中會很少出現運算律的錯誤，但當面對很少接觸或者需要推理的問題時就會感到有難度.

知識和認知兩個維度是融合為一體的數學學習要求，知識作為載體培養學習者的理解、應用和推理能力，認知技能蘊含于數學內容領域中，通過測試數學內容，體現出學生的認知能力[7].TEDS-M研究結果顯示，中國臺灣、新加坡、俄羅斯以及美國的職前教師數學知識屬于國際前列，表 3是職前教師MCK排名前3位的國家和地區.

表3 職前教師MCK排名前3位的國家和地區

數據表明，美國中學職前數學教師的MCK水平要好于小學，這或許與美國小學教師培養課程設置有關.因為美國小學職前教師大學期間的課程很大一部分是通識課程，數學專業課程不是很多.從TEDS-M的報告數據看來，除了表格中的4個國家和地區，瑞士的MCK水平也較高.而波斯瓦納和智力等國家MCK水平均比較低，他們普遍覺得測試題較難.

2.2 數學教學知識框架及分析

Ball認為教師的教學知識包括：數學知識、技能以及敏感性.數學知識是指數學學科內容知識，技能是教師教學過程中處理教學任務的能力或技術，敏感性表示教師對數學語言、定義以及與非正式語言的一致性和沖突.TEDS-M對教師教學知識的分類借鑒了 Ball的研究，按照實施教學的過程——從靜態的內容知識到教學實施計劃知識再到具體實施的知識進行設計.具體包括：數學課程知識，對文本的分析即課程知識是教學的根本；數學教學計劃的知識，通過對課程知識的分析，教師便可安排相應的教學任務制定相應的教學計劃；實施數學教學的知識，實施教學過程中的知識，包括課堂生成和對學生的管理、反饋等.表4是TEDS-M關于教學知識的分類.（表 4來自 Teacher Education and Development Study in Mathematics [EB/OL]. http://www.iea. nl/teds-m.html.）

表4 數學教學知識框架

該教學知識框架不僅包含基本的教學方法和手段，還包括了如何將數學思想方法滲透到教學過程中.數學教師教學知識包括靜態的學科知識、教學計劃的知識以及動態的教學過程知識3個方面，它貫穿于教學過程的始終，不僅包含文本知識還包含教學計劃和執行教學過程中所需的知識.研究結果顯示，教師MPCK水平處于前3名的有中國臺灣、新加坡、俄羅斯、挪威和美國.從MPCK和MCK的總體排名來看，兩者具有一致性.表5是職前教師MPCK排名前3位的國家和地區.

表5 職前教師MPCK排名前3位的國家和地區

臺灣地區職前數學教師知識總體得分較高，其中小學職前教師有75%的師范生都超過了標準分；新加坡和美國小學職前教師MPCK水平要好于中學.俄羅斯的總體均值超過了第一個標準分（500分），同時瑞典的總體結果全部超過500分.雖然俄羅斯的MPCK水平高于瑞典，但相比來說，瑞典的分值更加集中，整體水平較高，俄羅斯的分值則較為分散，使得整體水平不是很高.

3 測試樣題解析

TEDS-M對職前數學教師MCK和MPCK的測試題型有3種：多項選擇題（Multiple-Choice, MC）、復雜多項選擇題（Complex Multiple-Choice, CMC）、問答題（Constructed Response, CR）.前兩項是封閉作答題，最后一項屬于開放式建構題.鑒于前面已有簡單選擇樣題，下面選擇4道具有代表性的開放樣題說明TEDS-M的測試重點和方式.

3.1 小學樣題分析

教師給學生的一道試題：數列7, 11, 15, 19, 23, ……以4為增加單位.數列1, 10, 19, 28, 37, ……以9為增加單位.19是兩個數列共有的數字.如果數列繼續下去，兩數列中下一個相同的數是多少？

問題1：此題正確答案是____

該題是MCK測試題中關于數據推理的簡單開放試題，考察被試對數據規律的探究和模式的歸納水平，僅要求作答者給出正確答案，不需要運算過程.此題屬于問答題類型，但TEDS-M對問答題的定義是建構的測試題，希望考察被試能從已知的數據中建構出未知的規律和模式.從內容上來看屬于初級難度的題目，旨在測試職前教師的排列組合知識水平.選擇高中的知識來考察小學教師的原因是 TEDS-M認為小學教師應該了解比自己所教學年級高的知識.所以，小學職前教師的測試題中除了少部分題目是小學數學的基本定理和運算法則，其余大多數是高中知識.

問題2：某一個學生給出的答案是27和46，請問學生得出這兩個答案的理由是什么？

此題考察MPCK中實施數學教學知識（互動）中對學生的數學結果和討論的分析能力，屬于中等難度的建構題型.此題需要教師能夠根據學生所給出的答案進行分析，考察教師是否了解學生的思維方式、解題方法、錯誤類型等.每一道試題都會根據預設的學生錯誤的原因給出相應的編碼，以便于評估教師的MPCK水平.但是這種測試方式是靜態的，它忽略了 MPCK的個體化和緘默性特點[8]，無法測量到實際教學過程中即時生成的MPCK.

3.2 中學樣題分析

示例1：下圖是關于xxysin-=的函數圖象.

問題：請判斷A點和B點誰的斜率更大，并寫出運算過程.

此題是MCK中關于代數運用的高難度試題，屬于建構題型.涉及的知識點有：斜率定義、導數概念、一次函數和三角函數導數的運算.該題涉及到的知識點較為廣泛，注重對基礎知識的考察，但難度并不是很大.由此也能看出，TEDS-M對MCK的考察重在基礎知識的掌握和運用，并不要求過于復雜的數學推理和運算能力.

示例2：證明：3個連續自然數乘積是6的倍數.下面是3個學生的證明過程.

問題：請判斷以上證明是否有效.

此題屬于MPCK測試題目，考察職前教師評估學生數學學習結果的能力，屬于實施教學知識范疇.該題給出了3類較為典型的證明方法：Kate的證明從內容和邏輯上來看是正確的，但沒有用數學化的方式表達；Leon只是舉例說明，沒有說明對所有自然數都成立；Maria的證明較為完整且嚴謹.此題是封閉式題型，難度不高，但考察了職前教師對學生解題方式的熟悉程度和分析方法.對學生解題過程以及結果的診斷和評價是一項非常重要的教學能力，即能幫助教師了解學情，還能幫助教師制定教學策略.

TEDS-M試題設計的初衷并不是需要被試有高水平的數學知識，而是強調教師對基礎知識和技能的掌握情況.這一類型的MCK試題不完全是測試數學知識的水平，而是結合了MPCK的內容，使得學科知識不單獨于教學之外，利用具體問題情境考察職前教師的MPCK水平是主要的調查形式.

4 對中國職前數學教師教育研究的啟示

4.1 政策約束

雖然研究者沒有參與TEDS-M的比較研究，但從研究的過程和部分結果中可以反思中國的職前數學教師的教育水平和發展方向.首先，中國師范專業沒有針對某一學科的招生要求，即師范類院校或教師教育機構對學生的數學成績沒有單獨要求.從TEDS-M的調查結果可知，職前教師成就水平較高的地區或國家，如臺灣地區、新加坡及德國等對職前教師的數學成就有較高的要求.此外，大部分參與國對選擇成為小學教師的學生沒有特殊的數學成績要求，但對未來的中學教師的入學選拔有較高要求.

此外，中國大陸地區在職前教師的課程設置上也有別于中國臺灣地區、韓國和新加坡等國家和地區.由于韓國和臺灣地區的職前教師在學習了基礎知識之后還會有一些輔助學科幫助學生聚焦自己所選專業的學習，而中國大陸4年制的課程與其他國家相比更加注重純粹學科內容的學習，從而在職前教師提高MCK水平的同時忽略了MPCK的學習.所以，高標準的選拔制度以及平衡的課程設置是提高職前數學教師質量的首要方法.

4.2 課程設置研究

中國關于師范生MPCK的培養研究相較于其它學科少之又少，師范生的課程設置研究有不少，但針對數學學科的卻很少.而且中國師范生雖然有心理學和教育學的課程，但這些課程是宏觀的基礎知識，沒有將數學學習的心理和教育學知識以及相關研究放到數學師范生的培養課程中.所以，職前教師無法了解到學生數學學習的狀況以及可能出現的問題，這也是職前教師MPCK水平較低的原因之一.此外，學科知識與教學知識不應該是不相關的知識體系，相反它們是相輔相成的關系.師范生需要學習大量的大學數學知識，同時是否還需要學習中小學數學知識體系和課程結構，以及這些知識需要占多少比例，這些問題需要進一步研究.

4.3 研究方法

由于目前中國職前教師教育研究很大程度上屬于水平性研究，對職前數學教師的數學知識和數學教學知識水平問題很少使用實證性研究而且缺乏具有理論依據的研究框架和研究工具.TEDS-M系統全面地從教師教育政策、實踐和準備等方面進行分析和測試，其中的研究視角和方法值得研究者借鑒.但TEDS-M的研究是靜態的，尤其是對教師教學知識的調查研究并不全面，因為有很多教學知識是在實際的課堂教學中生成的，無法通過測試題得到.所以，在借鑒量化工具的同時，還需要結合大量的訪談、課堂觀察、文本分析等方式來多角度研究MCK和MPCK.

5 總 結

對教師數學知識和數學教學知識的研究是一個發展促進的過程，近年來，中國的教師教育也在不斷加強，不僅有針對教師學科知識培訓的還有關注教師教學知識的.但是，中國對教師知識的研究缺少對教師知識和認知水平的深入系統認識，這樣在教師培訓上就不能起到很好的效果.所以，量化測評工具的開發和研究也是教師教育研究、實踐以及國家政策制定的重中之重.另外，在課程設置上也應該關注職前教師對目前的教育趨向和教育方面的策略和方法的了解和學習，這樣不僅可以幫助職前教師形成正確的教育觀念，還有利于促進職前教師對課改成效的總結和反思[9].MCK是數學教學的基礎，而 MPCK決定數學教師的教學能力[10].通過TEDS-M的比較研究，可以看到各國之間的異同和差距，才有助于思考中國職前教師教育的優勢和存在的問題.

［參 考 文 獻］

[1] 柳笛.美國數學教師學科內容知識的研究述評[J].數學教育學報，2010，19（6）：74-78.

[2] 菲利克斯·克萊因.高觀點下的初等數學[M].舒湘芹，陳義章譯.上海：復旦大學出版社，2007.

[3] Heather C Hill, Stephen G Schilling, Deborah Loewenberg Ball. Developing Measures of Teachers’ Mathematics Knowledge for Teaching [J]. The Elementary School Journal, 2013, (1): 105.

[4] 李渺，寧連華.數學教學內容知識（MPCK）的構成成分表現形式及其意義[J].數學教育學報，2011，20（2）：10-14.

[5] Teacher Education and Development Study in Mathematics [EB/OL]. http://www.iea.nl/ teds-m. html.

[6] 金美月，馮雪嬌，劉立立.TIMSS數學評價框架趨勢研究[J].外國中小學教育，2010，（11）：28-33.

[7] 江雪萍，蘇洪雨.TIMSS 2007數學評價中的認知領域述評及啟示[J].外國中小學教育，2008，（2）：55-58.

[8] 鮑銀霞.TEDS-M對數學教學知識評價工具的研制及啟示[J].課程教學研究，2013，（3）：28-32.

[9] 陳雋，康玥媛，周九詩，等.基于中美比較視角談職前數學教師的培養和英才教育——蔡金法教授訪談錄[J].數學教育學報，2014，23（3）：22.

[10] 童莉.數學教師專業發展的新視角——數學教學內容只是（MPCK）[J].數學教育學報，2010，19（2）：23-27.

[責任編校：周學智]

中圖分類號：G451

文獻標識碼：A

文章編號：1004–9894（2016）02–0055–04

收稿日期：2015–12–20

基金項目：教育部人文社會科學重點研究基地重大項目——義務教育階段數學學科核心能力模型與測評框架研究（11JJD880027）

作者簡介：姚一玲（1987—），女，寧夏固原人，博士研究生，主要從事數學教師教育及課堂教學研究．

Study of Future Mathematics Teachers’ Knowledge Based on TEDS-M

YAO Yi-ling, FANG Ye-cheng, KONG Qi-ping
(Institute of Curriculum and Instruction, East China Normal University, Shanghai 200062, China)

Abstract:With the spring up of the international comparative education study, the international study of teacher education was gradually much accounted of researchers. Through the comparative study, different countries can learn with each other and self-assessment from teacher education practices, teacher education theories and future teachers’ education. This paper mainly introduced future teachers’ knowledge of Teacher Education and Development Study in Mathematics (TEDS-M) which was developed by International Association for the Evaluation of Educational Achievement (IEA) in 2008, and then put forward the structures of teachers’ knowledge and gave analysis for some sample items. These introduction and analysis can be useful for giving some theories and thinking ways of teacher education in China.

Key words:mathematics teacher education; teachers’ knowledge; TEDS-M