20世紀初美國數學教科書中的幾何應用
——以建筑為例

汪曉勤，洪燕君（華東師范大學 數學系，上海 200241）

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20世紀初美國數學教科書中的幾何應用
——以建筑為例

汪曉勤，洪燕君
（華東師范大學 數學系，上海 200241）

摘要：20世紀初，在數學教科書中反映數學的應用價值，是當時數學課程改革的途徑之一.就“建筑中的數學”這一主題而言，以杜雷爾、貝茲、史密斯、帕爾默為代表的美國早期數學教育家們篳路藍縷、精心搜求，根據不同建筑物、建筑元素和裝飾性圖案，編制出豐富多彩的作圖問題、證明問題和計算問題，揭示幾何學與現實世界的密切聯系，凸顯幾何學的廣泛應用和巨大價值，展現幾何學的迷人魅力，從而大大豐富了中學幾何課程的內涵，為中學幾何教學注入了鮮活的生命力.這些早期教科書提供了豐富的教學素材和思想養料.

關鍵詞：幾何教科書；數學應用；建筑；順應式

1 引 言

眾所周知，反映數學的應用價值，發展學生的數學應用意識，是中國中學數學課程的基本理念之一.相應地，如何在數學課程中體現數學的應用價值？如何將數學應用融入數學課程？成為了數學教育研究的重要課題之一[1～4].然而，該課題并非只是到了今天才有.事實上，早在20世紀初，數學應用就已悄然成為課程改革的重要工具之一了.一些幾何教科書已完全擺脫歐幾里得《幾何原本》的束縛，將大量數學應用的素材融入其中.

那么，這些教科書的編者為何要將數學應用融入數學教科書？他們運用了哪些素材來體現數學的應用價值？他們是如何運用這些素材的？為了回答上述問題，以建筑為數學應用的主題，對美國20世紀第二個10年之內出版的4種數學教科書[5～9]進行深入考察.4種教科書的具體信息見表1.

表1 美國早期的4種中學數學教科書

其中，貝茲和韋布的平面幾何教科書和立體幾何教科書先后在不同時間分開出版，但把它們合在一起考察.下文中，為了敘述方便，用編寫者來指代教科書.

2 教科書編寫者的幾何價值觀

1901年，英國教育家培利（J. Perry，1850—1920）在英國科學促進會格拉斯哥會議上發表演講，抨擊當時英國數學教育，倡議擺脫歐幾里得的束縛，重視實驗幾何和實際測量，強調幾何實際應用，引發了著名的“培利運動”[10～11].受培利的影響，美國數學家摩爾（E. H. Moore，1862—1932）于翌年倡導實驗教學法，呼吁人們在數學教學中關注數學與科學之間的聯系，重視數學的應用.到1904年，“培利運動”的核心思想在美國被概括為5點，其中之一是：“對絕大多數學生來說，實用性要比哲學思辨重要得多”[12].同年，德國著名數學家F·克萊因（F. Klein，1849—1925）起草《米蘭大綱》，提出數學教學不應過分強調形式訓練，應重視應用；在《高觀點下的初等數學》中亦強調數學的實際應用[11].

自此，如何在數學教學中兼顧數學的邏輯思維訓練價值和實際應用價值，擺在了數學教育家們的面前.1908—1909年，美國數學和科學教師聯盟與美國教育協會聯合設立“十五人委員會”，致力于幾何課程大綱的制訂，該委員會的目標就是在“形式主義”和“實用主義”之間尋求平衡.在十五人委員會的最終報告中，專門有一節介紹有關“建筑、裝飾和設計”的實際應用問題[13].1911年，美國數學史家史密斯（D. E. Smith，1860—1944）出版《幾何教學法》，通過大量的實際例子來說明幾何定理的應用[14].無疑，培利運動、F·克萊因的數學教育主張、十五人委員會報告以及史密斯的著作，都對當時的美國教科書產生了重要的影響.

杜雷爾（F. Durell，1859—1946）是最早關注數學應用價值的教科書編寫者之一.他在《平面與立體幾何》（1904）前言里指出，該教科書的目的之一是讓學生不僅僅將幾何學理解為一系列的演繹推理，而且還要認識幾何學的價值和意義[5].作為幾何大綱“十五人委員會”成員之一的貝茲（W. Betz，1879—?）及其合作者韋布（H. E. Webb）在《平面幾何》前言中指出，完全割裂歷史和忽略時代的合理需求，都無助于解決教育上的難題；為了在傳統和現實之間尋找平衡，這本教科書試圖賦予幾何學以生命力，并將之與現實聯系起來；同時也保持幾何學小心求證的精神.教科書開篇介紹了幾何學的歷史和價值，強調：一個人要想深入了解工程、建筑、設計、天文、測量、航海等領域，幾何學是不可或缺的[6].史密斯則將幾何學分成“直觀幾何學”和“證明幾何學”，認為幾何學的應用主要包含在直觀幾何學之中[8].帕爾默（C. I. Palmer，1871—1931）和泰勒（D. P. Taylor）在

由此可見，在20世紀初美國4種教科書的編者們眼里，幾何學具有邏輯思維訓練和實際應用的雙重價值，他們都試圖在兩者之間尋求平衡.這就是為什么4種教科書中包含了那么多的數學應用素材的原因.對教科書中的數學應用素材作進一步考察，可以發現“建筑中的數學”是最突出、出現最頻繁的主題.

3 建筑素材的分類和運用方式

3.1 建筑素材的分類

對4種教科書進行統計分析，發現建筑素材可以分成如下幾種類型：建筑物、建筑元素和裝飾性圖案3類.其中，建筑物包括實際建筑物（如金字塔、長城、帕特農神殿、比薩斜塔、凱旋門、林肯大教堂、總督宮、黃金宮等）、虛擬建筑物（如水塔、桁架橋、拱橋、橋墩、煙囪、糧倉、地窖等）、弧形鐵軌和道路；建筑元素包括拱券、花窗、屋頂或教堂尖頂；裝飾性圖案包括花窗玻璃圖案、地磚鑲嵌圖案、鑲木地板圖案、地板鑲邊圖案、天花板圖案、建筑上的腳線、渦卷形等.本文所指的建筑素材不包括建筑調查問題及針對虛擬建筑的測量問題等.

表2給出了各類素材在4種教科書中的分布情況.從表中可見，3種素材在4種教科書中的比重互有不同，反映出編者不同的傾向性.貝茲和韋布使用的建筑素材最多，很多習題涉及花窗、拱券、裝飾性圖案的尺規作圖、證明或計算.帕爾默和泰勒使用建筑素材的數量僅次于貝茲和韋布，其中，涉及虛擬建筑物、拱券和裝飾性圖案的問題居多.杜雷爾傾向于圓弧形鐵軌和道路的設計以及某些裝飾性對稱圖案的尺規作法.溫特沃斯和史密斯使用的建筑素材最少，作者傾向于裝飾性對稱圖案的尺規作法以及針對建筑物平面圖的比例尺問題.

表2 4種教科書中的建筑素材統計

3.2 建筑素材的運用方式

4種教科書運用建筑素材的方式可分為點綴式和順應式兩類.點綴式是指在正文中插入建筑物圖片，其功能是美化和人性化教科書，并服務于有關主題，與文字相配.順應式是指利用建筑素材來編制數學問題，其功能是反映幾何學的實際應用.圖1給出了兩類方式在4種教科書中的分布情況.從圖中可見，4種教科書主要采用了順應式，清楚地反映出了4種教科書注重幾何學實際應用的特點.

圖1 4種教科書運用建筑素材的方式

4 順應式建筑素材

4.1 花窗與裝飾性圖案的設計

4種教科書中，哥特式教堂的花窗與裝飾性圖案主要是一些由圓弧構成的旋轉對稱圖形，分為三葉形、四葉形、五葉形、六葉形和八葉形.如圖2～4所示.

圖2 三葉形

圖3 四葉形

圖4 多葉形

4種教科書中，各類圖案多出現在習題中，要求學生用尺規作出圖形并說明作法.從圖中虛線可知相應作圖法.

由線段構成的花窗或裝飾性圖案相對較少.杜雷爾給出的各種裝飾性圖案中，有一幅圖案如圖5所示，這也是幾何大綱十五人委員會報告中列舉的圖案.史密斯和溫特沃斯在《初級中學數學》中采用了中世紀意大利某教堂的花窗圖案，要求學生用尺規，并按自己喜歡的尺寸作出該圖案，如圖6所示.史密斯認為，這是中世紀最漂亮的花窗圖案[14].

4.2 拱券與相關數學問題

拱券是教堂建筑的基本元素之一，4種教科書中，有3種都采用了拱券來編制問題，尤其是貝茲、韋布與帕爾默、泰勒的教科書中，涉及多種類型的拱券，包括半圓拱、弓形拱、弓形尖拱、馬蹄拱、等邊拱、二心內心拱、二心外心拱、四心拱、土耳其拱、波斯拱等.由這些拱的作圖法，可以產生豐富多彩的幾何問題，見表3.

帕爾默和泰勒在其教科書中，還設置習題，讓學生研究具體建筑物中的拱券.如，黃金宮是威尼斯的著名建筑，其二樓欄桿的上半部分是由波斯拱交錯而成的，如圖7所示.

圖5 由線段構成的裝飾性圖案

圖6 中世紀意大利教堂的鏤花窗

圖7 威尼斯黃金宮的拱券

表3 拱形的作圖與相應的數學問題

圖8 半圓拱內切圓窗的設計

圖9 等邊拱內切圓窗的設計

圖10 等邊拱與半圓拱或波斯拱內切圓窗的設計

4.3 拱券內切圓窗的設計

4種教科書中，有3種教科書都含有等邊拱或半圓拱內切圓窗的設計問題.圖8～10所示.其中，圖9中的第2個圖形是史密斯《幾何教學法》、十五人委員會報告以及史密斯與溫特沃斯的另一部教科書《平面與立體幾何》[15]中使用的圖形.十五人委員會報告還介紹了一種等邊拱內切圓窗的設計方法，如圖11所示，其中CE和CF是圓心在直線AB上，半徑為線段AB的圓弧.

帕爾默還設置習題，要求學生研究實際建筑物中的圓花窗，如威尼斯著名建筑總督宮的圓花窗，3個圓窗兩兩相切，又與大的等邊拱或小的波斯拱相切，如圖12所示.

拱券內切圓問題多可通過代數方法解決，即假設內切圓已作出，根據拱的跨度，求內切圓的半徑，獲得尺規作圖法.

圖11 十五人委員會報告中的一種內切圓窗設計

圖12 威尼斯總督宮的圓窗圖

5 結 語

通過以上考察，可以得出結論：在數學教育發生劇烈變革的20世紀初，少數美國的教科書編寫者已經將大量數學應用素材融入數學教科書之中，因此，在教科書中體現數學的實際應用價值，已經成為當時數學課程改革的途徑之一.就“建筑中的數學”這一主題而言，以杜雷爾、貝茲、溫特沃斯、史密斯、帕爾默為代表的美國早期數學教育家們篳路藍縷、精心搜求，根據不同建筑物、建筑元素和裝飾性圖案，編制出豐富多彩的作圖問題、證明問題和計算問題，揭示幾何學與現實世界的密切聯系，凸顯幾何學的廣泛應用和巨大價值，展現幾何學的迷人魅力，從而大大豐富了中學幾何課程的內涵，為中學幾何教學注入鮮活的生命力.

一個世紀前的數學教育與今天的數學教育已不可同日而語，一個世紀前的數學教科書也早已塵封于被人遺忘的歷史角落，但可從中汲取豐富的教學素材和有益的思想養料.

（1）一個國家的數學教科書不能割裂這個國家的文化.4種早期教科書中的大多數建筑素材都具有濃郁的西方建筑文化特征，從而更容易發揮數學文化的教育價值，更有效地反映幾何學的實際應用，更能獲得教師和學生的認同.在編寫教科書時，應考慮滲透本國的歷史文化元素.

（2）在討論如何在數學課程中體現數學的應用價值時，不應忘記數學應用的素材本身也需深入研究.早期美國教科書中的建筑素材都是研究、借鑒、挖掘甚至實地測量的結果.從不同知識領域中挖掘數學元素，應該成為數學教育研究的重要組成部分.

（3）教科書所運用的有關數學應用性素材，其功能遠遠不只是點綴，只有在更高水平上將其融入，才能發揮出更大的價值.根據有關應用性素材來編制數學問題，供學生探究，不失為理想的運用方式，值得效仿.

（4）為了研究教科書中的數學文化內涵，不應僅僅局限于現行的教科書，那些逝去時代留下的教科書同樣值得關注，理由很簡單：數學教育不可能完全割裂歷史.

［參 考 文 獻］

[1] 王尚志，孔啟平.培養學生的應用意識是數學課程的重要目標[J].數學教育學報，2002，11（2）：43-45.

[2] 汪國華.數學應用意識的再認識及研究的方向[J].數學教育學報，2006，15（1）：89-91.

[3] 張維忠，章勤瓊.論數學課程中的文化取向[J].數學教育學報，2009，18（2）：15-17.

[4] 章勤瓊.數學教育價值取向之辯[J].數學教育學報，2010，19（5）：21-24.

[5] Durell F. Plane and Solid Geometry [M]. New York: Charles E. Merrills Co., 1911.

[6] Betz W, Webb H E. Plane Geometry [M]. Boston: Ginn & Company, 1912.

[7] Betz W, Webb H E. Solid Geometry [M]. Boston: Ginn & Company, 1916.

[8] Wentworth G A, Smith D E, Brown J C. Junior High School Mathematics [M]. Boston: Ginn & Company, 1917.

[9] Palmer C I, Taylor D P. Plane and Solid Geometry [M]. Chicago: Scott, Foresman and Company, 1919.

[10] Cajori F. Attempts Made during the Eighteenth and Nineteenth Centuries to Reform the Teaching of Geometry [J]. American Mathematical Monthly, 1910, 17(10): 181-201.

[11] Cajori F. A History of Elementary Mathematics [M]. New York: Macmillan, 1917.

[12] Mock G D. The Perry Movement [J]. Mathematics Teacher, 1963, 55(3): 130-133.

[13] National Education Association. Final Report of the National Committee of Fifteen on Geometry Syllabus [J]. Mathematics Teacher, 1912, 5(2): 46-160.

[14] Smith D E. The Teaching of Geometry [M]. Boston: Ginn & Company, 1911.

[15] Wentworth G A, Smith D E. Plane and Solid Geometry [M]. Boston: Ginn & Company, 1913.

[責任編校：張楠]

中圖分類號：G40-059.3

文獻標識碼：A

文章編號：1004–9894（2016）02–0011–04

收稿日期：2015–12–20

基金項目：國家社會科學基金“十一五”規劃2010年度教育學重點課題——主要國家高中數學教材比較研究（ADA100009）

作者簡介：汪曉勤（1966—），男，浙江開化人，博士，教授，主要從事數學史與數學教育研究．其《平面與立體幾何》的前言中指出，該教科書的目的是呈現幾何學的基本知識及其應用.編者認為，在中學課程中，沒有任何別的學科能比幾何學更具實用價值[9].

Mathematical Application in Early American Geometry Textbooks——The Case of Architecture

WANG Xiao-qin, HONG Yan-jun
(Department of Mathematics, East China Normal University, Shanghai 200241, China)

Abstract:Early in the 20th century, it was a way of reforming the mathematics curricula to reflect mathematical application in textbooks. The materials about architecture were mostly used in some mathematics textbooks, such as those compiled by F. Durell, W. Betz, H. E. Webb, G. A. Wentworth, D. E. Smith, J. C. Brown, C. I. Palmer and D. P. Talyor. These early mathematics educators took pains in searching the materials from various buildings, architectural elements and ornamental designs and posed various interesting problems of construction, demonstration and calculation, which exposed the intimate connection between geometry and the real world, highlight the extensive application and great value of geometry and show the charming fascination of this subject. The mathematical application greatly enriched the geometry curriculum and instilled life into geometry teaching. The early mathematics textbooks in question supply us with abundant teaching materials and ideas.

Key words:geometry textbooks; mathematical application; architecture; accommodation approach