攀登數學教育研究高峰
——第39屆國際數學教育心理學大會綜述

董連春，曹一鳴（．墨爾本大學 教育研究生院，澳大利亞 墨爾本 VIC300；．北京師范大學 數學科學學院，北京 00875）

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攀登數學教育研究高峰
——第39屆國際數學教育心理學大會綜述

董連春1，曹一鳴2
（1．墨爾本大學 教育研究生院，澳大利亞 墨爾本 VIC3010；2．北京師范大學 數學科學學院，北京 100875）

摘要：第39屆國際數學教育心理學大會于2015年7月13—18日在澳大利亞塔斯馬尼亞州霍巴特市召開.大會主題是“攀登高峰，架設橋梁”.為方便國內數學教育工作者了解此次會議的核心內容，對第39屆國際數學教育心理學大會的主題報告和研究型論文報告進行綜述和分析，以期國內讀者能夠掌握數學教育研究領域的國際最新動態.

關鍵詞：數學教育；國際數學教育心理學大會；PME

1 國際數學教育心理學大會簡介

國際數學教育心理學大會的主辦方為國際數學教育心理學研究會（The International Group for the Psychology of Mathematics Education）.該研究會是數學教學國際委員會（International Commission for Mathematical Instruction，ICMI）的分支機構，于1976年在第三屆國際數學教育大會上正式成立.會議宗旨包括3個方面，促進數學教育研究領域內的國際聯系與信息交流，促進跨學科交流與研究，以及加深對心理學以及數學教學與學習的的準確理解.國際數學教育心理學大會每年舉辦一次，首屆會議于1977年在荷蘭烏特勒支舉辦.雖然國際數學教育心理學大會冠以“心理學”的標志，但大會的具體內容卻并不局限于此，而是包含數學教育領域的各個研究分支.

第39屆國際數學教育心理學大會（以下簡稱PME 39）于2015年7月13—18日在澳大利亞塔斯馬尼亞州霍巴特市召開.大會主題是“攀登高峰，架設橋梁”.會議形式包括大會主題報告，研究論壇，研究型論文報告，論文海報展示，簡短型報告，討論組，工作坊等.由于大會主題報告和研究型論文報告構成會議主體，這里主要對以上兩個部分進行綜述.此次大會共有4個大會主題報告.對于研究型論文報告，大會收到的研究型報告總計213篇，經過同行評議之后，最終接收132篇.

2 研究主題綜述

2.1 在職數學教師職業發展

教育研究人員與在職教師之間如何進行交流與合作，進而提高數學教師的教學水平，一直以來是數學教育研究領域的一大難題.美國北卡羅來納州立大學的 Cyndi Edgington研究團隊[1]認為，需要在教育研究人員與在職教師這兩個群體之間找到切實可行的切合點，這對于教師職業發展項目來說非常重要.Cyndi Edgington研究團隊指出，學習軌道（Learning Trajectories, LTs）可以作為切合點之一.學習軌道是一種研究導向的理論，描述學生的思考如何隨時間變化，如何從非正式的表層概念逐漸轉變成復雜的理解.在Cyndi Edgington研究團隊的研究項目中，教師與教育研究人員共同參與到教師專業發展項目中，致力于“基于學習軌道的教學模式”（Learning Trajectory Based Instruction）.學習軌道的信息主要體現在學生的筆記、作業，以及學生的訪談視頻.在該研究項目中，教師與教育研究人員以學習軌道為切合點，討論和交流學生的學習軌道.研究發現，該切合點有效地促進兩個群體進行互相交流，因此這樣的模式，能夠加強兩個群體之間的有效交流，進而有效地促進教師對學習通道的理解，能夠更加準確全面地了解學生的學習過程.

數學教師職業發展中，對于教學領導力的研究已經成為熱點問題.教學領導力人才的培養，不僅僅涉及到教學能力的提高，更重要的是教學領導力的提高.日本上越教育大學（Joetsu University of Education）Hiroshi Iwasaki研究團隊[2]，展示了日本近年來在教學領導力培養方面的改革情況.在日本，中學教師在積累了一定的教學經驗之后，可以去大學進行脫產培訓，培訓時間為1—2年.但是這種培訓的一大詬病是過于注重理論，而與實踐脫節比較大.因此，近年來日本進行了一定的改革，在教師入職以后的脫產培訓項目中，引入教學實踐的環節.實踐環節包括觀摩其他老師的課，以及自己親自授課.實踐環節中，教師都會有日志記錄.Hiroshi Iwasaki研究團隊的研究項目中，將教師日志中的“描述”分為4類，Empirical discourse簡單描述課堂中的活動，沒有使用職業或者專業術語；Practical discourse使用教學常用的術語進行描述；Quasi-theoretical discourse簡單使用教育理論術語對某些課堂活動進行描述；Theoretical discourse靈活嫻熟地使用教育理論術語對課堂活動進行描述.通過上述分類方法，該研究主要分析，在培訓項目的實踐環節中，教師的知識水平和教學領導力水平的變化和提高.

數學在職教師職業發展的另一個核心問題是，如何設計高效的在職教師職業發展項目，進而更好地促進教學.瑞典林納大學（Linnaeus University）學者Olteanu Constanta的研究[3]指出，為了切實幫助教師提高教學能力與水平，教師職業發展項目需要包含3點要素：（1）項目中包含對數學知識

在職教師培訓過程中，教師注意能力（Teacher Noticing）的培養，近年來得到越來越多學者的關注.教師注意能力，主要是指教師發現和識別課堂教學中一些關鍵事件、學生思維活動的情況以及學生學習誤區的能力.該能力體現了教師對課堂中教學與學習情況的掌控情況，因此教師注意能力對教學的有效性有很重要的影響.新加坡教育部Cynthia Seto及其同事[4]，對職業初期的數學教師的注意能力進行了研究.對于職業初期的數學教師而言，教師注意能力這方面，往往有很大欠缺.所以當新老師在觀摩一個優秀教師的課堂教學時，很容易忽略教學過程中的關鍵事件，以及學生的思維狀況.這種能力的培養，不僅僅需要教師個人教學經驗的積累，同時更加需要和專家型教師進行系統地交流與學習.其中系統性非常重要，并不是零散地學習與交流，而是有一個完善的框架.Cynthia Seto及其同事在其研究中，提出了一個系統性的學習流程.該流程主要形式為師徒一對一結對（One-on-One Mentoring）輔導，分為3個環節，課前討論，課堂教學觀察，課后討論.每個環節都會系統地研究課堂教學中需要特別關注哪些教學事件，哪些學生行為與活動等.

2.2 職前數學教師培養

師范生培養過程中，引入虛擬課堂情境作為一種工具，已經不是新興事物.但是，真實的課堂往往涉及到非常復雜的教學情境與多樣化的學生思維狀況.因此，如何在虛擬課堂環境中盡可能地還原真實的課堂狀況，切實有效地幫助師范生提升 PCK，一直是一個難題.澳大利亞墨爾本大學Lynda Ball及其研究團隊[5]，開發了一種新型的虛擬課堂情境工具（Proof-of-Concept Virtual Learning Environment）并分析了該工具的教學性與實用性.在教學性方面，該工具可以幫助師范生審視和理解學生的思維狀況，同時該工具中可以設置豐富的學習任務或問題，用以診斷和探究學生的思維狀況，為師范生提供教學范例，幫助師范生進行教學反思.在實用性方面，師范生可以自主控制學習進程，在時間安排上具有很強的靈活性.

對于師范生教育來說，研究并揭示師范生的成長過程以及思維變化過程，具有十分重要的意義.西班牙阿利坎特大學（University of Alicante）CeneidaFernández研究團隊[6]指出，師范生在學習的過程中，對課堂教學與學生數學學習的認識過程并不是均衡的，而是存在著一些比較關鍵性的節點.因此，識別出這些節點，對師范生的培養來說，至關重要.關鍵發展性理解（A Key Developmental Understanding, KDU）是一種教育理論，用以刻畫學生的認知發展過程，同時該理論也為師范生培養提供了一個平臺，幫助師范生了解學生的認知發展過程中的關鍵節點，進而幫助師范生更深刻地理解學生的認知發展過程.CeneidaFernández研究團隊的研究項目，將KDU理論與師范生培養結合起來.借助該理論，該研究以“對‘學生數學思維’的認識與理解”為例，著重分析了師范生在學習過程中的轉變，探究了師范生如何逐漸修正自己的認識，從而最終更加全面地認識和理解了“學生數學思維”.

表1 教學目標分類

如何設計師范生課程，才能有效地提升師范生如何提升師范生的教學內容知識（Pedagogical Content Knowledge, PCK）與學科知識（Subject Matter Knowledge, SMK），以及如何更好地將兩者銜接起來，一直是師范生教育的研究熱點.賓夕法尼亞米勒斯威爾大學（Millersville University of Pennsylvania）Cynthia E. Taylor及其同事[7]，對師范生課程的設計者進行了訪談，并分析了師范生課程的設計中所呈現出來的教學目標.該研究中對“師范生課程的設計者”的選取有特殊的要求：擁有碩士學位，擁有至少20年的中小學教學經驗，長期參與師范生培養與在職教師培訓工作等.通過對這些課程設計者進行訪談，發現師范生課程的設計中，呈現出15種教學目標，其中8種涉及到PCK，另外7種涉及到SMK.具體目標如下.

2.3 課堂教學研究（師生交流等）

數學課堂中師生交流，一直是課堂研究中的熱點問題.以往的研究往往指出，IRF（Initiation-Response-Followup）模式是一種低效的交流方式，而且課堂提問中應當盡量避免這種交流方式.但是，澳大利亞墨爾本大學董連春等研究者[8]，認為IRF模式下也可以產生高效的課堂交流，關鍵取決于教師的教學能力和課堂提問水平.該研究在以往研究的基礎上，提出了一種新的研究思路，幫助教師和研究者分析數學課堂中的師生交流.該研究收集了中國和澳大利亞兩國數學課堂教學錄像，以教師提問（Teacher Questioning）為突破點，借助于IRF模式，開發了一套新的課堂編碼體系，用以分析教師提問的過程.該編碼體系既涵蓋了教師提問的序列，又涵蓋了教師提問的具體問題類別，能夠幫助數學教師和教育研究人員分析和反思數學課堂交流情況.

在數學課堂教學中，教師如何引導學生對所學知識展開課堂討論，一直是一個眾所關注的問題.由于課堂討論涉及到很多的因素，保障課堂討論的有效性一直是個很難解決的問題.西班牙巴塞羅那自治大學（UniversitatAutònoma de Barcelona）Miquel Ferrer及其合作者[9]，以圖形的相似性為例，分析和研究教師如何組織有效的課堂討論，同時研究課堂討論能否幫助學生提高解題正確率.該研究通過兩個方面來探討課堂討論中的“學習機會”（Opportunity to Learn）：一方面是教學資源（包括教學任務及多媒體工具）的準備，另一方面是教學策略的使用，尤其是課堂中語言和溝通策略的使用.研究發現，以下幾點能夠為學生創造更多學習機會：（1）開放性并具有挑戰性的學習任務更能激發學生產生不同的想法，從而使學生投入到課堂討論；（2）使用 ICT工具（比如 GeoGebra），能夠協助師生對不同的想法進行進一步的驗證和探求，從而促進課堂討論的進一步深入；（3）要求學生對自己的想法進行解釋并提供理由；（4）對學生的回答進行進一步的追問.

數學論證與證明方面的能力是數學素養中的核心要素.德國慕尼黑大學Daniel Sommerhoff及其同事[10]認為，學生在數學論證與證明的能力，取決于 6個方面的知識水平：方法論知識水平（如何判斷數學證明的有效性），數學基礎水平（數學概念性知識與程序性知識），數學解題策略水平（數學知識的靈活運用），問題解決技能水平（對問題的分析和處理能力），數學認知水平（對數學及其本質的認識），情感態度水平（對數學的興趣與動機）.該研究以“6種知識水平”為分析框架，整理分析了2010—2014年PME會議上的782篇研究型論文報告，結果發現，以往研究中，數學論證與證明過程中可能出現的認知活動包括，識別問題，提出問題，提出假設，構造與設計輔助性實物，給出證據，評估證據的有效性，得出結論，交流與分享；數學論證與證明的教學目標包括論證與證明的構造，論證與證明的閱讀和理解，論證與證明的展示.同時，大多數研究都只涉及了單一方面的知識水平和認知活動，因此數學教育研究者需要更多的研究，對以上不同的知識水平和認知活動進行更深層次的整合.

課堂教學的目標是讓學生在已有知識經驗的基礎之上，對新知識形成概念性理解.然而，幫助學生建立連貫完整的數學知識體系，無疑是數學課堂教學的重點與難點.日本岡山大學（Okayama University）Masakazu Okazaki及其同事[11]分析討論了，如何設計教學活動，進而保證數學課堂的連貫性.通過比較新手教師與熟手教師的課堂教學，該研究得出，連貫性課堂的3個特點：（1）新舊知識建立關聯.在分析課堂任務時，教師注重激發學生思考當前任務與以往知識的聯系，使學生能夠與以往知識建立關聯.（2）充分的課堂討論與交流.教師會運用多種方式，引導課堂討論，使全班有機會充分討論和分析核心教學知識.（3）充分利用學生的已有知識經驗.

美國紐約大學研究者Martin A. Simon[12]，做了大會主題報告，提出并闡述了Learning through Activity這一學習模式和基于此的教學模式.Learning through Activity模式的基本前提：有效的數學教學的基礎在于，教師對學生數學概念建構過程的準確理解.為了更好準確地刻畫數學學習中概念性理解（Conceptual Understanding），Martin A. Simon對比分析了兩種不同的學習過程，一種是反思性的抽象過程（Reflective Abstraction），另一種是經驗性的學習過程（Empirical Learning Process）.在經驗性的學習過程中，學生觀察到了一些結果，比如兩個奇數相乘，結果仍然為奇數，但是學生并不知道這個結果背后的邏輯必然性.而數學結論背后的邏輯必然性才是概念性理解的核心要素.學生只有經歷了反思性的抽象過程，才能理解數學結論的邏輯必然性，因而才能對數學知識形成概念性理解.

在此基礎上，Martin A. Simon提出 LTA教學模式（Learning through Activity Instructional Approach），這有區別于皮亞杰的“認知發展是平衡與再平衡的過程”.根據皮亞杰的認知發展理論，教學中應當設置充滿智慧刺激的環境，讓兒童自行探索.但是，LTA教學模式則采取更為直接的方式，幫助學生經歷反思性的抽象思維過程，進而形成數學知識的概念性理解.同時，LTA教學模式也有別于“問題解決型（Problem-Solving Approach）”的教學模式.“問題解決型”課堂教學模式，往往被認為能夠有效促進學生形成概念性理解，但其弊端是，在課堂中，并不是每個學生都能在問題解決中有質的飛躍.實際的情形往往是，學習能力強的學生完成問題解決，然后將想法向其他學生匯報，而數學能力差的學生，則只能傾聽匯報，而不能在問題解決中有質的飛躍，因此所形成的概念性理解并不牢固.為了彌補問題解決型的課堂教學模式的弊端，教師可以在LTA教學模式中設計一系列的學習任務，讓學生有更多的機會經歷反思性的抽象思維過程.

2.4 教師知識

加拿大卡爾加里大學（The University of Calgary）學者Olive Chapman[13]探討了教師自我反思意識與教師知識之間的聯系.Olive Chapman指出，教師的思維方式，決定著教師能否習得相應的數學教學知識.這些思維方式中，除了數學思維以外，比較核心的部分包括問題解決型思維和探究型思維，等等.而這些思維的核心，就是教師的自我反思意識.因此，Olive Chapman認為在教師知識的獲得和提升過程中，自我反思意識起到至關重要的作用.該研究指出，自我反思是一切學習的基礎，教師的學習過程也不例外.教師自我反思的開始，都是因為教學中出現了問題，出現了疑惑，然后教師就開始自我反思并進行一系列的探究，然后疑惑得到解答，這樣自我反思就告一段落.自我反思同時又作為教師知識的一部分，如果教師具備了自我反思方面的知識，就會對課堂中的教學與學習行為有極大的好奇心，進而會自我提出問題，促使自己進一步采取探究行為，了解學生的想法，從而對教學與學習有更深入的理解.這樣，教師知識就會得到進一步的提升.

澳大利亞南昆士蘭大學（University of Southern Queensland）學者Seyum Tekeher Getenet及其同事[14]探討分析了數學教育情境下的教師 TPACK（Technological Pedagog- ical Content Knowledge）知識，如圖1所示.

該研究指出，在數學教學領域，內容知識（Content Knowledge，CK）被重新定義為專門的數學知識（Specialised Mathematics Knowledge, SMK），是指數學教師在教學中所需要的數學專業方面的知識.教學知識（Pedagogical Knowledge, PK）被重新定義為專門的教學知識（SpecialisedPedagogical Knowledge，SPK），包括關于數學教學策略的知識，關于學生如何學習數學的知識，以及關于數學課程的知識.技術知識（Technological Knowledge）指教師在教學中使用某種信息技術時所需要具備的知識，包括教學軟件的使用等.Specialised Pedagogical Mathematics Knowledge （SPMK）是SPK與SMK的公共部分，是指數學教學中所需要的數學知識和教育學知識.Specialised Technological Mathematics Knowledge（STMK）是TK與SMK的公共部分，是指數學教學中講授不同的數學內容時，能夠合理選取與使用恰當的軟件或者多媒體工具方面的知識.Specialised Technological Pedagogical Knowledge（STPK）是TK與SPK的公共部分，是指數學教學中使用不同的教學方式、不同層次的學生與不同難度的教材時，能夠合理選取與使用恰當的軟件或者多媒體工具方面的知識.Specialised Technological and Mathematics Pedagogical Knowledge（STAMPK）是STMK，STPK，SPMK三者的公共部分.在數學教學中，如果希望有效靈活地使用信息技術作為輔助，那么教師就必須具備以上幾個方面的知識.

圖1 數學教育情境下的教師TPACK

德國萊布尼茲數學與科學教育學院（Leibniz Institute for Science and Mathematics Education）學者Carolin Loch[15]，提出了教師知識的一個新的維度，與學校教學相關的內容知識（School-Related Content Knowledge, SRCK）.Carolin Loch認為，在CK和PCK的基礎上，有必要引入SRCK，從而使得教師知識的理論框架更加完善.通常意義上的CK包含的數學內容，往往是指嚴格意義上的數學內容及其知識體系.這些內容，無論在復雜程度上，還是在嚴格程度上，往往是高于學校數學知識的.因此，CK和PCK實質上都不涵蓋課程方面的知識（比如，中小學數學學習內容及其與課程標準的一致性等）.然而，現代數學知識體系與中小學數學學習內容之間的關聯，對于教師而言顯然很重要.因為一方面，教師需要知道，中小學的數學內容在嚴格數學知識體系中的來龍去脈；另一方面，教師也需要知道，如何調整和使用嚴格數學知識體系中的內容，以適應中小學數學教學的需求.例如，對于無限循環小數0.9…=1而言，嚴格的邏輯證明需要涉及到高等數學中的極限知識；構建實數體系的方法是使用柯西序列，或者狄德金分割.但這些顯然不適用與中小學數學教學，然而柯西序列可以用于估計無理數（比如說）的大小.對于上述知識而言，無論CK，還是PCK都沒有涵蓋這部分內容.SRCK知識可以看作是將數學知識在中小學數學教學過程中進行特殊應用的一種知識，非常有必要列入教師知識的范疇.

德國漢堡大學（University of Hamburg）學者Thorsten Scheiner[16]對教師知識的建構問題進行了研究和分析.該研究主要闡述，教師的各類知識是如何組織聯系在一起.該研究以原子結構為模型建立教師知識體系，引入了“知識原子（Knowledge Atom）”的理論框架.如圖2所示.

圖2 “知識原子（Knowledge Atom）”理論框架

該結構包括以下幾個方面：（1）關于學生數學思考與理解的知識（Knowledge of Students’ Mathematical Thinking and Understanding, KSU）；（2）關于數學學習的知識（Knowledge of Learning Mathematics, KLM）；（3）關于數學教學的知識（Knowledge of Teaching Mathematics, KTM）；（4）數學內容知識（Mathematical Content Knowledge per se, MCK per se）；（5）用于教學的數學內容知識（Mathematical Content Knowledge for Teaching, MCK for Teaching）.該結構能夠揭示出教師知識的一些獨特特點：（1）雖然教師知識可以拆分成以上這些部分，但實際上這些部分有機組合在一起，整體就具有全新的功能，即整體的功能就會大于各個部分功能之和. （2）教師培訓項目只能盡可能提供一個肥沃的土壤，以供教師成長，但教師知識的吸收與形成，都是需要教師個人進行主動建構.

澳大利亞塔斯馬尼亞大學（University of Tasmania）Nicole Maher及其同事[17]，另辟蹊徑，從學生角度出發，重新審視和探討學生視角下的教師 PCK.該研究以高中階段數學課程中概率分布的學習為例，通過問卷調查和訪談，收集了學生眼中認為對自己的學習有幫助的教學行為和策略.在此基礎上，該研究以教師PCK知識為理論框架，對這些行為和策略進行了歸類和整理.該研究表明，在學生視角下，以下幾方面顯得非常重要：教學策略與課堂教學與管理技能（Teaching Strategies and Classroom Techniques），概念的解釋方式和知識的呈現方式（Representation of Concepts, Explanations, and Knowledge of Examples），數學知識體系與知識的內在聯系（Mathematical Structure and Connections），程序性知識和解題方法（Procedural Knowledge and Methods of Solution），學習任務的認知難度（Cognitive Demands of Task）.

2.5 課程與教材

新西蘭奧克蘭大學（University of Auckland）學者Ban Heng Choy及其同事[18]，針對如何描述一個國家的教材特征（Textbook Signature），提出了相應的理論框架.該研究以直線的斜率這一概念為例，分析德國、新加坡和韓國的數學教材.該理論框架把教材特征分為 3個變量：背景變量（Contextvariables），內容變量（Contentvariables）和教學變量（Instructionalvariables）.背景變量，包括教育體系，學制安排，數學教學時間安排，教科書的數量，出版過程，數學課程的設計重點.內容變量，包括“斜率”的概念化方式（比如幾何比值、代數比值，物理意義、幾何意義、與三角函數的關系，與微積分的關系、實際情境中的意義等），以及教材中的定義、法則、表征方式、解釋方式、例題、習題.教學變量，包括教學任務（例如教學中涉及的例題與習題）的難度要求等.通過對比分析德國、新加坡和韓國的數學教材，該框架能夠比較全面地展現出一個國家在數學學科的教材特征.

傳統意義上，數學證明往往是與高年級的幾何內容的學習聯系在一起的.但是現在，隨著各個國家對數學證明的要求的提高，數學證明已經滲入到大多數年級的數學學習中.數學課程中數學證明的設置與安排就變得至關重要.數學證明中應當涉及哪些內容？以及隨著年級的變化，這些內容應該如何安排？大阪教育大學（Osaka Kyoiku University）學者Yusuke Shinno及其同事[19]，針對數學證明，建構了相應的課程開發理論模型.在該理論模型下，數學證明的課程設置，包含內容與層次（Contents and Levels）兩個方面，每個方面又分成語句描述（Statement），證明過程（Proof），理論（Theory）3個維度.具體細節如表2所示.

表2 “數學證明”課程模型

課程改革和數學教育研究一直相輔相成.世界各國都非常關心課程改革中的變化、問題以及應對措施.澳大利亞昆士蘭科技大學（Queensland University of Technology）學者David Nutchey及其同事[20]重點研究了初中教師對課程實施的應對狀況.近年來，澳大利亞進行了一系列得課程改革，新課程注重“實際情境—抽象化—數學過程—總結反思”（Reality-Abstraction-Mathematics-Reflection, RAMR）理念，設置了一系列的學習活動，幫助學生建立數學學習與實際情境的關聯，并形成概念性理解，同時建構數學知識體系.該研究分析了初中教師對于數學課程的理解，以及他們在課堂教學中對新課程的實施情況.David Nutchey及其同事所建立的理論體系包含兩個維度：課程維度，包括數學結構，順序編排，教學方法，課程資源使用，評價方式；教師行為維度，包括拒絕者，模仿者，反思者，促進者.具體如表 3所示.

表3 教師對課程實施的應對狀況

2.6 考試評價

近年來世界各國的課程改革都格外重視統計素養，但是如何考查統計探究的過程，一直是爭論的焦點.澳大利亞塔斯馬尼亞大學（University of Tasmania）學者 Noleine Fitzallen[21]將統計探究分為4大環節，并采用SOLO（Structure of Observed Learning Outcomes）模型，對統計探究過程進行考查與評價.統計探究4環節及其要素包括：提出問題，涉及情境，總體，測量方法，數據特性；收集數據，涉及問題，數據類型，統計工具，樣本大小，多樣性特征；分析數據，涉及問題，數據，圖像化工具，數據簡化工具；做出決策，涉及情境，問題，分析，不確定性，解釋.在 SOLO模型下，統計探究的理解水平分為3個層次，具體如表4.

表4 統計探究的理解水平

金融素養是世界各國課程改革的另一個重點.由于金融素養涉及數學和金融兩方面的知識，金融素養方面的課程如何設計，其實一直是難點.加拿大英屬哥倫比亞大學（University of British Columbia）Mary Connolly及其同事[22]分析和匯報了一個成功的實施案例.該案例中，課程的實施者包括兩個群體，一個群體是學校的專職教師，另一個群體是在職的金融人員.金融人員以兼職教師的身份參與到課程實施中.該課程中，金融素養范圍較廣，涉及以下諸多方面：安排預算，計算生活需求與生活成本；信用卡使用方法，包括付費，手續費，還款與利息等；貨幣付費方式，比如現金，借記卡，信用卡等；設置金融計劃，如設置目標，存款，投資等；銀行業務，如儲蓄賬戶和支票賬戶；金融騙局與消費者權益；利息計算方法，單利與復利；大學貸款；分期付款購房；銀行的盈利方式，如信用卡，借貸以及手續費等；信用報告與信用等級；股票市場常識，比如公司公權，股票價格，風險控制等.課程的教學方式也較為多樣，包括：傳統課堂教學和實際案例分析.實際案例分析中，由相關金融從業者擔任兼職教師，這些金融從業者可以從自身工作經驗出發，運用真實案例，針對普通民眾經常遇到的金融問題，進行闡述和解釋.

隨著PISA2012測試結果的公布，一系列相關研究也相繼開展.PISA數學測試國際委員會主席、澳大利亞墨爾本大學Kaye Stacey教授和澳大利亞教育研究委員會（Australian Council for Educational Research）研究員Ross Turner[23]報告了他們關于PISA2012數學測試的新研究.該研究指出，PISA2012測試第一次考查并分析了學生在“數學過程（process of Doing Mathematics）”方面的熟練程度.PISA2012測試涉及3個數學過程：將問題數學化（Formulate），運用數學知識解決問題（Employ），解釋、應用和評價數學結果（Interpret）.數學素養的全部試題中，每道試題都會涉及這3個數學過程，但為了研究的方便，每個試題解答過程中認知難度最大的數學過程，會被記為該題的數學過程，因此學生在該題的“數學過程”得分，也就是改題解題過程中認知難度最大的數學過程的得分.在這個意義下，PISA測試的題目中，50%的題目屬于 Employ，各有 25%的題目屬于Formulate和Interpret.從這個角度來分析，PISA2012數學測試的結果令人值得深思.OECD國家數學素養的平均得分為494，將問題數學化（Formulate）方面的得分為492，運用數學知識解決問題（Employ）方面的得分為493，解釋、應用和評價數學結果（Interpret）方面的得分為 497.從得分上看，Formulate類型的題目比較難，Interpret類型的題目比較容易.同時，數學素養得分最高的 9個國家中，在Formulate過程上的得分也最高.這些國家多為亞洲國家，而亞洲國家在一般印象中是比較擅長于 Employ這個過程.這個結果表明，實際情況與刻板印象并不相符.同樣的，英語國家（這里指加拿大，澳大利亞，新西蘭，美國和英國）學生往往擅長與Formulate和Interpret，但實際結果是他們僅在Interpret這一項得分較高.該研究指出，得出這樣的結果，研究者需要深思背后的原因，究竟是PISA測試本身沒能夠有效地反映出客觀事實，還是說研究者之前的認識不夠真實和全面.這些問題的回答，需要更進一步的研究與分析.

2.7 數學教育中的思辨探討

澳大利亞墨爾本大學 David Clarke教授[24]，跨界理論（Boundary crossing）能夠幫助研究人員更好地進行比較教育研究.因此，他借助跨界理論，分析和探討了數學比較教育研究中的6種不同的跨界方式.David Clarke教授指出，比較教育研究中會涉及到不同教育情境或者不同學習群體之間的比較，由于研究對象之間的差異性，不可避免地要遇到邊界及其跨越的問題.這里所指的邊界，可以是自然形成的（如不同自然地理環境），也可以是人為劃分的（如不同的人文社會情境）.David Clarke教授分析了比較教育研究中 6種不同的跨界方式及其注意事項.同時，他也指出，在數學比較教育研究中，有時打破邊界，促進交流，使得我們能夠學習其他文化背景下的教學實踐與理念；有時又需要建立新的邊界，以使得相關概念變得清晰明了.

澳大利亞弗林德斯大學（Flinders University）學者Virginia Kinnear[25]，分析闡述了數學學習與統計學學習的區別.Virginia Kinnear認為，明確兩者之間的區別以及統計學習的特點，對統計知識的教學和學習至關重要.她認為，統計學的核心是多樣性（variation）與不確定性（uncertainty），數學知識的作用，是使統計學中的多樣性得以量化.統計學與現實情境和數據緊密相連，統計推理的主要形式為歸納推理.而數學學習的過程，往往與不確定性是對立的，對于數學問題而言，正確答案往往只有一個.

德國不萊梅大學（Universit?t Bremen）學者 David A Reid[26]分析和歸納了國際測試比較研究中的 4大障礙.David A Reid以數學證明（Proof and Proving）為例，對PISA測試和TIMSS測試進行了分析.他指出，國際測試研究中研究者需要認真對待以下4大障礙：語言方面障礙，知識論方面障礙，文化方面障礙，教育體系障礙.其中語言方面障礙與知識論方面障礙，尤其需要特別重視.在語言方面，Proof與 Proving所蘊含的含義在不同文化中往往不同.例如，Proof通常指一個對象，數學教育者使用時，有兩種可能的含義，書面證據，或者有說服力的理由.Proving通常指一個過程，數學教育者使用時，有3種可能的含義，演繹推理的過程，“對觀察結果正確性產生或者去除疑惑”的推理過程，“教師與學生共同完成數學證明”的集體過程.這些不同往往容易被研究者忽略.類似地，在知識論方面，不同文化中，對 Proof與 Proving知識論基礎的認識并不相同.這往往會涉及證明與真理、有效性等概念之間的關系.David A Reid強調，理解以上這些障礙，并在此基礎上，一致地使用和理解 Proof與 Proving，對國際比較研究意義重大.

2.8 學生數學學習

英國倫敦大學國王學院學者Karen Skilling及其同事[27]，研究和分析了學生對數學學習的學習態度，與學生學習成績之間的聯系.對數學學習的投入往往是數學教育工作者特別關心的問題，有些學者甚至會把學生對數學學習的投入程度作為預測其數學成績的一個指標.但是，對數學學習的投入程度與數學學習的成績之間并沒有顯著性關聯，因為有很多學生，雖然對數學學習和投入，但數學成績并不理想.同樣地，也有另外一部分學生，學習成績相對較好，但是他們對數學的學習并不投入.兩類學生的存在，都應該引起數學教育工作者的重視，因為這表明，這兩類學生在數學學習方面，還需要教師提供特別的支持與指導，只有這樣，才能保證學生既要對數學保持很高的學習動機，同時還能掌握所學的知識.

德國慕尼黑工業大學（Technische Universit?t München）學者Jana T. Beitlich及其同事[28]，使用Eye Movement新技術，追蹤學生眼球運動，從而分析學生在不同的表征方式之間注意力的轉移.Jana T. Beitlich及其同事觀察和分析了學生面對不同類型的例題時的反映.兩種例題包括啟發式例題（Heuristic Worked Examples）與普通例題，這兩者之間的區別為：普通例題往往直接展示解題的過程；啟發式例題的展示過程則比較間接，比較注重探究過程，以及容易出現的錯誤，等等.同時，啟發式例題也展示出一個數學證明從無到有逐步形成的過程，其目的在于提高學生論證技能.啟發式例題中所包含的3種表征方式：文字（Text），圖片（Picture），符號（Symbol）.該研究表明，追蹤學生眼球運動，能夠更加切實有效地反映出學生在不同表征方式之間的轉換，從而能夠幫助研究者更加有效地分析學生的心理活動狀況.

澳大利亞蒙納什大學（Monash University）學者James Russo[29]通過認知負荷理論（Cognitive Load Theory），分析和探討了如何更好地在數學學習中實施“基于問題的學習模式（Problem-Based Learning, PBL）”.James Russo指出，基于問題的學習模式（Problem-Based Learning, PBL）在使用上受到很多批評，主要是因為PBL學習模式在實際使用時，如果教學設計不夠合理，或者教學目標設定的不夠恰當，那么就會造成學生認知負荷過重，進而影響學生的數學學習.根據認知負荷理論（Cognitive Load Theory），James Russo展示了一種成功的課程實踐，既保證降低外部認知負荷（Extraneous Cognitive Load），同時在學生可接受范圍內最大化內部認知負荷（Intrinsic Cognitive Load），從而最大化地促進學生的學習.

針對模仿式推理與創造性推理（Imitative and Creative Reasoning），瑞典于默奧大學（Umea University）學者Johan Lithner[30]做了大會主題報告.Johan Lithner指出，長期以來，數學課堂中的主要學習方式是，注重數學解題過程的模仿性學習（Imitation of Task Solutions），該學習方式過于強調記憶和模仿，而無法有效培養學生的數學能力（Mathematical Competence），比如數學理解能力，數學判斷能力以及數學應用能力.因而，該學習模式飽受批評.盡管數學教育學者長期致力于提出對這種“模仿性學習”進行改革，但收效甚微.與上述模式相對的，創造性學習模式就是學生主動建構數學解題過程，積累數學活動經驗.Johan Lithner介紹了他的最新研究項目“數學學習中的模仿式推理與創造性推理Learning Mathematics by Imitative and Creative Reasoning （LICR）”.該項目為跨學科研究，涉及到數學教育研究人員，心理學專家，認知神經科學專家之間的合作.該項目考查了4個變量的關系：教學任務的特點，教學策略，學生思維和學生學習結果.研究目的在于，提出新的教學模式，替代過去的模仿式學習.Johan Lithner及其研究團隊采用新的任務設計，并使用測驗和眼球跟蹤技術（Eye-Tracking）和功能性磁振造影技術（Functional Magnetic Resonance Imaging，fMRI）分析學生的思維和能力提升.

2.9 STEM教育與數學教育

當前 STEM領域的人才儲備不足，國際比較測評結果也進一步證實了這一問題更加突出.因此，加強 STEM教育，培養學生在 STEM學科方面的能力，已經成為國際社會的共識.近年來，STEM教育受到了研究者、一線教師與校長、工業界人士還有教育部門政策制定者的關注.澳大利亞昆士蘭科技大學（Queensland University of Technology）Lyn English教授[31]的大會主題報告，探討了STEM中數學教育面臨的挑戰與機遇.Lyn English 教授指出，STEM這個名詞在20世紀90年代由美國國家科學基金會（National Science Foundation）提出.其目的是聯合每個領域的力量，強調 STEM學科的重要性，進而引起社會對 STEM的重視.但是，自從這個名詞被提出以來，各方面的爭論就一直持續不斷.這些爭論的主要原因在于，國際社會并沒有對STEM教育有統一的定義.同時Lyn English教授指出，STEM內部學科之間在重視程度上也存在不平等現象.尤其是，STEM教育越來越成為科學教育的代名詞.這無疑提升了科學教育的地位，但是在無形之中也降低了數學教育的地位.因此，隨著學校與社會強調STEM教育的同時，STEM教育中的數學成分面臨邊緣化的危險，尤其是相對于科學而言.但是從另外一方面看，數學素養得到越來越多的重視，世界各國對于國際測評結果中數學成績格外關注.針對這些挑戰和機遇，Lyn English教授指出，為了增強和提升數學教育在STEM中的地位，需要尋找到契合點.尋找STEM內部不同領域間深層次的聯系.數學可以起到橋梁作用，將STEM內部各個領域聯系起來.因為隨著科技的發展，STEM的很多問題都會涉及到大量的數據，這些數據都具有不確定性的特點.這使得數學和統計學的作用變得越發的重要.在處理和分析這些數據時，如果一個人具備較高的數學素養，那么所做出決策就會更為明智，同時也能夠在全球性或者地域性事務中提供建設性意見.同時，Lyn English教授還提供了兩個成功案例，展示如何更好地實施STEM教育.

2.10 大學數學教育研究

針對大學數學教育改革，韓國首爾大學（Seoul National University）Kwon, OhNam教授[32]做了題為“How to Teachwithout Teaching”的大會主題報告.Kwon, Oh Nam教授指出，大學數學教學的模式往往是大班授課，更加注重知識傳授，而忽視數學思維能力的培養.而且大學教育普遍存在的一個誤區是，學生學到的知識越多，那么學生思維能力就會越強.Kwon, Oh Nam教授引用以往的一個研究，該研究考查中美兩國大學生在數學知識和思維能力兩方面的差異，結果發現，中國大學生比美國大學生知識容量要大，但是兩個群體在思維能力上并沒有顯著差異.這表明，知識容量大并不代表思維能力水平高.因此Kwon, Oh Nam教授呼吁對大學數學教育進行改革，它從“借用中小學數學教學中的教育理念”出發，闡述了如何對大學數學教學進行改革.同時，她還給出了兩個案例，其中一個案例涉及兩種教學模式的對比：傳統式教學與探究式教學；另一個涉及如何利用信息技術對大學教學進行翻轉課堂改革.

3 討論與啟示

3.1 研究主題與研究方法

PME會議上，來自世界各地的學者往往報告最新的研究成果和發現.PME會議歷來對研究型論文報告的要求較高，因此通過對PME39中研究型論文報告的研究主題進行分析，可以清晰地了解當前國際學術界在數學教育研究方面的動向.通過對以上研究主題的綜述，可以發現數學教師專業發展與教師知識、課程與教材的開發與比較、考試評價依然是研究的熱點問題.隨著大型國際測試開展，各國對教育改革越來越重視.如何在課程改革的背景下，培養合格的師資力量往往決定著課程改革的成敗.相應地，課程與教材的開發決定著課程改革的理念能否具體落實.

與此同時，STEM教育的相關研究在大會主題報告中進行匯報，說明國際數學教育界已經逐漸將STEM教育與數學教育視為研究的重點.新的國際形勢下，各國對 STEM人才的需求和依賴越來愈大.可以說一個國家的競爭力，將在很大程度上取決于 STEM人才的培養水平.同時，此次大會中關于STEM的大會報告說明，STEM領域還有很多亟待解決的問題，比如STEM核心概念的澄清，STEM教育與數學教育之間的關聯，以及如何在中小學分科教學的現狀下達成STEM學科內部的整合.

在研究方法方面，除了傳統的研究方法（問卷調查，訪談等）之外，課堂錄像研究也逐漸被數學教育研究學者所采用，用以分析和解決本領域的實際問題.同時，認知科學領域內高新技術也得到了很大的應用，比如通過眼球跟蹤技術（Eye-Tracking）和功能性磁振造影技術（Functional Magnetic Resonance Imaging, FMRI）分析學生的思維和能力提升.

3.2 大陸數學教育研究的國際交流程度

PME會議的國際化程度較高，并且在國際數學教育研究領域具有較高的聲譽和水準.但是，參會的大陸數學教育研究學者較少，而且與大陸數學教育教學相關的研究報告也比較少.眾所周知，大陸數學教育研究已經取得了長足的進步和發展，與其他國家和地區的合作也越來越廣泛.因此，會議上大陸數學教育的缺乏，說明中國學者在與國際學術界的交流還相對較少.但值得慶幸的是，2020年PME大會將會在北京師范大學舉辦，相信隨著2020年PME大會的召開，大陸數學教育界與國際同行的交流會越來越廣泛和深入.

［參 考 文 獻］

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[責任編校：周學智]

中圖分類號：G40-059.3

文獻標識碼：A

文章編號：1004–9894（2016）02–0001–10

收稿日期：2016–04–10

基金項目：國家留學基金委“國家建設高水平大學公派研究生項目”資助

作者簡介：董連春（1986—），男，河北滄州人，澳大利亞墨爾本大學教育研究生院在讀博士研究生，主要從事數學教育研究．和教育學知識的學習，也需要包含教師之間的討論與交流，從而使得教師對所學習的知識有更深入地理解；（2）給予教師足夠的時間在彼此之間進行互相合作；（3）給予每個教師足夠的機會，使其對自身的教學方式進行評價.這樣，教師職業發展項目就不會與教師的日常工作割裂開，而是形成更加緊密的整體.

Climbing Mountains in Mathematics Education Research——A Review of the 39th Conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education

DONG Lian-chun1, CAO Yi-ming2
(1. Graduate School of Education, University of Melbourne, Melbourne, VIC3010, Australia; 2. School of Mathematics, Beijing Normal University, Beijing 100875, China)

Abstract:The 39th Conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education was held in Hobart, Tasmania in Australia from 13 July to 18July, 2015. The theme of the PME 39 is “Climbing Mountains, Building Bridges”. In order to help the domestic mathematics education researchers to capture the main ideas of the research reports in this conference, this article aims to explore the research papers presented in this conference and introduces the trend and advancements in mathematics education research worldwide.

Key words:mathematics education; Conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education; PME