一類四階非線性特殊兩點邊值問題的正解

趙冬霞，張　玲，趙　微，田淑杰，唐　莉

(1.大慶師范學(xué)院 教師教育學(xué)院，黑龍江 大慶 163712；2.東北石油大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，黑龍江 大慶 163000)

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一類四階非線性特殊兩點邊值問題的正解

趙冬霞1，張玲1，趙微1，田淑杰2，唐莉1

(1.大慶師范學(xué)院 教師教育學(xué)院，黑龍江 大慶 163712；2.東北石油大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，黑龍江 大慶 163000)

摘要：非線性泛函分析在現(xiàn)代數(shù)學(xué)中處理非線性問題時有極為重要的作用，特別是在處理實際生活中出現(xiàn)的常見的微分方程問題時發(fā)揮著十分重要的作用，利用不動點定理，并結(jié)合Green函數(shù)的性質(zhì)，證明了一類非線性四階特殊兩點邊值問題的正解存在性。

關(guān)鍵詞：錐不動點;非線性四階邊值問題;Green函數(shù)

0引言

非線性四階邊值問題在物理學(xué)、應(yīng)用數(shù)學(xué)、航天、生物等領(lǐng)域有著極為廣泛的研究和應(yīng)用，尤其是非線性四階邊值問題的正解具有深刻的意義。不少作者都曾對此問題有過研究，并且得到了一些結(jié)論。本文討論包含參數(shù)的非線性四階兩點邊值問題，當(dāng)參數(shù)屬于一定范圍時，得出問題的正解。

1 問題與假設(shè)：

研究非線性四階邊值問題，即

(1)

本文假設(shè)如下：

μΦu≠u,?u∈?Kr,0≤μ≤1

2邊值問題的格林函數(shù)

下面為了研究格林函數(shù)的導(dǎo)數(shù)估計與上下界估計,給出如下引理。

滿足

3正解的存在性

邊值問題等價于如下形式的積分方程

其中

引理4Φ:K→K是緊算子，且為連續(xù)算子。

再由引理3知，

故有

即

故Φ:K→K是全連續(xù)算子。

現(xiàn)在證明定理1。

下證μΦu≠u,?u∈?Kr,μ≥1,采用反證法。

上式左右兩端乘以sinπt再取0到1得積分，得

4結(jié)語

本論文改善已有的研究方法,將微分方程理論與非線性泛函分析相結(jié)合,對一類含參數(shù)的四階邊值問題進(jìn)行了研究，文章的關(guān)鍵是構(gòu)造出Green函數(shù)，在適當(dāng)?shù)目臻g中來定義算子，將積分方程化為算子方程，再結(jié)合算子緊性與全連續(xù)討論，利用錐不動點定理，并結(jié)合Green函數(shù)性質(zhì)，在非線性項滿足超線性或者次線性的條件下，證明了四階邊值問題正解的存在性。

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[責(zé)任編輯：崔海瑛]

作者簡介：趙冬霞(1983-)，女，黑龍江大慶人，講師，從事非線性問題研究。

基金項目：大慶師范學(xué)院自然科學(xué)基金項目(12ZR10)。

中圖分類號：O631

文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

文章編號：2095-0063(2016)03-0039-05

收稿日期：2015-12-24

DOI 10.13356/j.cnki.jdnu.2095-0063.2016.03.011