理解概念本質意義　把握概念核心價值
——《面積單位復習》教學實踐與思考

□陳　晶

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理解概念本質意義把握概念核心價值
——《面積單位復習》教學實踐與思考

□陳晶

【摘要】學生對面積單位核心意義的理解，不能僅停留于形成面積單位的表象，理解面積單位就是邊長是單位長度的正方形，還要能夠借助已有經驗推導出面積單位之間的進率，理解面積單位進率與長度單位進率之間的區別與聯系。

【關鍵詞】核心意義；經驗；關聯

“蘇教版”小學數學教材三年級（下冊）安排了面積單位平方厘米、平方分米以及平方米的學習，五年級（上冊）再次安排了兩個較大的面積單位公頃與平方千米的學習。到此時，對面積單位的學習已經基本結束。經歷了這兩次面積單位的學習后，學生對面積單位究竟掌握得怎么樣呢？在這兩次學習結束后，筆者組織了一個問卷測試，題目如下：

1.如果你忘記了平方米與平方分米之間的關系，你會選擇什么方法找到它們之間的關系？

2. 1英寸=2.54厘米，你知道1平方英寸是多少平方厘米嗎？

第一個問題主要考查學生能否利用已有的經驗再次探索出面積單位之間的進率；第二個問題主要考查學生能否理解長度單位的進率與面積單位進率之間的關系，利用長度單位之間的進率探索出面積單位之間的進率。選擇了100個學生進行測試，結果如下：

第1題

項目人數能夠利用示意圖找到進率32人能夠利用長度單位之間的進率算面積單位之間的進率24人其他方法10人不能夠解答34人

第2題

項目人數能夠解答　不能夠解答19人　81人

從上面的結果可以看出，學生雖然學習了面積單位，也能夠記住面積單位之間的進率，但是沒有理解面積單位的核心意義，也就不能夠正確推導出面積單位之間的進率，更不能夠借助于已有的經驗去探索出不同系列面積單位之間的關系。如何讓學生理解面積單位的核心意義，并且讓學生根據已有的經驗探索出面積單位之間的關系呢？筆者在學生學習了公頃與平方千米這兩個面積單位的基礎上執教了“面積單位的復習”一課，取得了較好的教學效果，具體教學過程如下。

一、理解核心意義，加深概念理解

對于面積單位的理解，不能僅僅停留于形成面積單位的表象，更要能夠理解每一個面積單位的核心意義，面積單位的核心意義就是邊長是單位長度的正方形。面積單位的名稱表示方式里面蘊藏著數學運算，學生只有理解了面積單位名稱里面蘊藏數學運算的意義，才能夠形成對面積單位的抽象理解。

【教學片斷一】

師：從三年級到五年級，我們學過了很多面積單位。你們記得有哪些嗎？

生：平方厘米、平方分米、平方米、公頃、平方千米。

師：思考問題真有條理。這些面積單位，你知道些什么了？

生：我知道這些面積單位是怎么規定的，還有它們的大小。

師：平方厘米是怎么規定的？究竟有多大呢？

生：邊長是1厘米的正方形，面積是1平方厘米，大

師：聯系生活中物體的表面來描述面積單位就方便多了，接下去幾個誰來試試。

生：邊長是1分米的正方形，面積是1平方分米，大約有我們手掌這么大。

……

學生在交流的過程中，完成板書：

師：規定這些面積單位的時候有什么相同的地方？

生：它們都是用正方形來規定面積單位的。

生：正方形的邊長是1厘米、1分米、1米等。

師：這些面積單位都是運用正方形來規定的，都是運用單位長度來規定正方形的邊長。對面積單位你們還有什么疑問嗎？

生：除了公頃以外，為什么其他的面積單位都有平方兩個字？

師：你們能夠解釋嗎？

（學生在下面搖頭）

師：這得從平方這個詞的意義來思考，兩個相同的數相乘，記作這個數的平方，例如4×4，記作42，讀作：4的平方。根據剛才的理解，你知道平方厘米表示什么意思嗎？

生：正方形的面積是邊長乘邊長，邊長是1厘米的正方形，如果要計算面積就是1厘米乘1厘米，兩個運用厘米作單位的長度相乘，結果得到一個新的單位平方厘米。

生：平方分米就表示兩個用分米作單位的數量相乘結果的單位。

……

生：這里有個比較特殊的面積單位公頃，它里面沒有平方。

生：長度單位里面有厘米、分米和米，但是沒有百米。如果有百米這個長度單位，那么公頃可以說成是平方百米。

師：確實公頃就是平方百米，從字母表示里面也能夠看出來。在長度單位里面沒有百米這個單位，所以數學家換了一個詞，叫公頃。如果再接著造，你還能夠造出面積單位嗎？

生：邊長是1微米的正方形，面積是1平方微米。

生：邊長是1毫米的正方形，面積是1平方毫米。

生：邊長是1萬米的正方形，面積是1平方萬米。

……

上述過程中，讓學生描述面積單位的意義，借助于生活中物體的表面去表示其大小，進一步加深對面積單位的理解。在此基礎上，通過一系列面積單位的比較，抽象出面積單位的核心要素，即邊長是單位長度的正方形。通過對平方這種運算的介紹，借助于數學運算去理解面積單位的文字表示與字母表示兩種方式的合理性。在學生理解了面積單位的意義后，讓學生根據自己的經驗創造新的面積單位，進一步加深學生對面積單位的理解，初步體會到長度單位與面積單位之間的關系。

二、把握關系本質，形成多維度表征

學生對面積單位之間關系的理解，不僅僅是能夠記憶面積單位之間的進率，而且要能夠根據對面積單位的理解去把握進率的形成過程，理解長度單位進率與面積單位進率之間的關系，基于已有的經驗形成對面積單位進率的多元表征。

【教學片斷二】

師：僅僅知道了面積單位的意義還不夠，還要知道面積單位之間的關系。平方厘米與平方分米之間的關系是什么？你能夠解釋一下嗎？

生：1分米=10厘米，所以在1平方分米的正方形里面擺1平方厘米的小正方形，每排擺1平方厘米的正方形可以擺10個，擺這樣的10排，10×10=100，所以1平方分米=100平方厘米。

（配合學生的發言演示圖1）

圖1

師：其他幾個面積單位之間的關系你們也能夠解釋嗎？自己在小組里畫一畫，說一說。

……

（在交流結束后，讓學生進行反思）

師：根據剛才的研究過程，你對面積單位之間的關系有什么新的認識？

生：想弄清楚面積之間的關系，關鍵要弄清楚對應的兩個長度單位之間的關系。

生：分米和厘米之間的進率是10，根據剛才的示意圖可以知道平方分米與平方厘米之間的進率就是10×10=100。

生：千米與百米之間的進率是10，根據剛才的示意圖也可以知道，公頃與平方千米之間的進率是10×10=100。

……

師：兩個面積單位之間的進率，也就是用與之對應的兩個長度單位之間的進率相乘。平方千米與平方米之間的進率是多少？

生：千米與米之間的進率是1000，所以平方千米與平方米之間的進率就是1000×1000=1000000。

師：看來，記住了長度單位之間的進率，就能夠很快地理解面積單位之間的進率。以前我們用一個臺階擺了長度單位，還記得嗎？

（出示長度單位的臺階，如圖2）

圖2

師：如果還用這個臺階去擺面積單位，應該怎么樣擺呢？自己試一試。

（學生在小組試著擺，結束后組織學生交流）

生：一個臺階表示10，平方厘米與平方分米之間的進率是100，也就是10×10，所以中間隔一個臺階。

生：其余的都是中間隔一個臺階，只有公頃與平方米中間隔著三個臺階，它們的進率是10000。

師：比較長度單位與面積單位兩個臺階，擺完這兩個臺階，你有什么體會？（如圖3）

圖3

生：毫米、厘米、分米和米相鄰長度單位之間的進率是10，所以是靠在一起的。而平方厘米、平方分米以及平方米之間相鄰面積單位的進率是100，所以中間隔了一個。平方米與公頃的進率是10000，中間隔了三個。

生：面積單位比長度單位中間空得要大一些，借助于這兩個臺階，可以很快地記住長度單位之間的進率以及面積單位之間的進率。

師：根據剛才的經驗，在括號里填上合適的數。

（出示下面的習題，讓學生進行練習）

1.課桌面的面積是40平方分米，可以說是（）平方厘米，還可以說是（）平方米。

2.學校試驗田的面積是0.02公頃，可以說是（）平方米，還可以說是（）平方分米。

3.光明小學的占地面積是5公頃，可以說是（）平方米，還可以說是（）平方千米。

師：完成了上面這些題后，你有什么新的體會呢？

生：同一個物體表面，可以用不同的面積單位來描述。

生：光明小學的占地面積是5公頃，如果用平方米來說就是50000平方米，用平方分米單位比用公頃說起來麻煩。

師：如果能夠選擇合適的面積單位來描述物體表面的面積，那么說起來就方便多了。

上述教學過程中，首先讓學生借助于簡單的示意圖，根據面積單位的意義去研究面積單位之間的進率，然后基于示意圖的經驗進一步去思考面積單位的進率與長度單位之間的關系，認識到面積單位的進率就是對應的長度單位進率的平方，進一步提升學生對面積單位之間進率的認識。在臺階上擺長度單位與面積單位的過程，讓學生利用臺階進一步去理解面積單位的進率與長度單位的進率之間的區別與聯系，形成對面積單位進率與長度單位進率的多元表征。在運用不同面積單位描述物體表面面積的過程中，一方面讓學生運用面積單位之間的進率靈活進行單位轉換，另一方面也讓學生體會雖然不同的面積單位都可以描述一個物體表面的面積，但是選擇合適的面積單位可以讓描述變得更加方便。

三、靈活運用單位，豐富概念聯系

學生真正理解了面積單位的核心意義具體表現在兩個方面，一方面表現在能夠根據物體的表面選擇合適的面積單位去描述，另一方面還要能夠根據已有的對面積單位的理解去嘗試理解其他系列的面積單位，能夠根據已有的經驗靈活進行不同系列面積單位之間的轉換。

【教學片斷三】

讓學生完成下面的兩組習題：

第一組：

1.我國崇明島的面積大約是1267（）。

（1）公頃（2）平方千米（3）平方米

2.一個物體表面的面積是40平方分米，這個可能是（）。

（1）文具盒面（2）課桌面（3）教室地面

3.一塊土地的面積大約是10公頃，這可能是（）。

（1）崇川區（2）文峰公園（3）上海市

第二組：

1.辨一辨

桌子的長是6分米，寬是50厘米，你能夠求出桌子的面積嗎？

馬小虎的解法是這樣的：

6×50=300（平方厘米）

2.一條高速公路路基的長是60千米，寬50米，你能夠求出這個路基的面積嗎？

（在完成了上面的兩組題后，讓學生繼續提問）

生：除了平方米、平方分米、平方厘米這樣的面積單位，還有其他的面積單位嗎？

師：我國以前分土地的時候就有畝、分、厘。外國還有平方英里、平方英尺、平方碼、平方英寸……國際上測量海洋的面積常用平方海里，1平方海里究竟有多大呢？能不能利用我們今天的知識解決？

生：如果知道海里與學過的長度單位之間的進率，我們就能夠算出來。

師：1海里=1.852千米，1平方海里是多大呢？

生：用1.852×1.852可以算出是多少平方千米。

師：面積單位之間的進率就是對應長度單位之間的進率相乘，用這樣的方法你還能夠研究出其他面積單位與我們學習的面積單位之間的關系嗎？同學們下課繼續研究。

在教學過程中，通過兩組題目的練習，一方面讓學生能夠根據物體表面積或土地面積選擇合適的單位，以及根據具體數量去猜測具體的土地或物體的表面，加深對面積單位表象的記憶與理解；另一方面通過不同的長度單位去計算面積，讓學生在統一長度單位的過程中體會到合適的長度單位可以算出合適的面積單位。最后再進一步拓展了學生的認識，理解不僅僅基于毫米、厘米、分米……這個系列的長度單位下產生面積單位，基于其他系列的長度單位也可以產生對應的面積單位。只要知道了不同系列長度單位之間的關系，相應的面積單位之間的關系也就清楚了，讓學生帶著這樣的經驗進一步去研究其他面積單位之間的關系。

（編輯：張婕）

中圖分類號：G623.5

文獻標識碼：A

文章編號：1671-0568（2016）10-0038-03

作者簡介：陳晶，江蘇省南通崇川學校中學高級教師，南通市學科帶頭人。約有我們中指指甲蓋這么大。