談合成定理和基點法的異同點

吳鶴翔　劉　瑤　李明寶

(東北林業大學土木工程學院，黑龍江哈爾濱　150040)

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談合成定理和基點法的異同點

吳鶴翔劉瑤李明寶

(東北林業大學土木工程學院，黑龍江哈爾濱150040)

摘要:以學生在學習過程中存在的問題為出發點，對比分析了點的速度(加速度)合成定理和點的速度(加速度)基點法之間的聯系與差別，為學生深入理解和應用點的合成運動和剛體平面運動相關知識點提供了參考。

關鍵詞:理論力學，合成定理，基點法

0　引言

有關點的合成運動和剛體平面運動的內容在理論力學中是較難真正理解掌握的內容之一。大部分同學對這兩部分內容的學習是相互獨立的，學習過程中對每部分內容似乎都懂了，也能夠求解相關的習題，但對于部分勤于思考的同學，在理解兩部分內容之間的聯系和差異時卻出現了問題。本文從學生理解相關知識過程中存在的問題出發，通過理論分析和例題分析對理論力學教材中關于點的合成定理和基點法之間的關系給出了解釋和說明，以期解決初學者在理解和應用這兩部分知識點時存在的問題。

1　問題的提出

在許多理論力學教材中點的合成運動和剛體的平面運動是相連的兩章內容，分別重點介紹了點的速度(加速度)合成定理和點的速度(加速度)基點法兩種求解運動學問題的思路［1-4］。兩種求解方法之間存在著理論上的聯系和應用上的差異，是運動學部分的重點所在。應用這兩部分理論內容求解的習題均是運動學問題，并且從題目的條件和問題的敘述，物體系的組成，到求解過程均存在著極大的相似之處。這使得部分勤于鉆研的同學在理解時產生了困難，在題目未明確要求使用方法的情況下，或者處理綜合類題目的時候，如何判斷求解題目應采用的方法，以及這兩部分理論在本質上存在哪些聯系和差別。

2　分析和討論

通過分析如下例題對上述問題進行深入的討論［1］。

例1:如圖1a)所示刨床機構，已知曲柄O1A=r，以勻角速度ω1轉動，l=4r。求圖示位置滑枕CD的速度和加速度。

圖1　刨床機構

例2:如圖1b)所示刨床機構，已知曲柄O1A=r，以勻角速度ω1轉動，l=4r。求圖示位置滑枕CD的速度和加速度。

已知例1和例2中Ⅰ區部分的條件完全相同，因此根據速度和加速度合成定理對兩例題中的Ⅰ區部分進行求解。如圖2a)所示，取A點為動點，桿件AB為動系，進行速度分析:

聯立方程(3)和方程(4)得:

圖2　動點A運動分析

如圖2b)所示，取A點為動點，桿件AB為動系，進行加速度分析:

將方程(7)～方程(9)代入方程(6)中得:

基于上述求解結果，對例1和例2中的Ⅱ區部分分別求解。

根據速度和加速度合成定理對例1中的Ⅱ區部分求解，如圖3a)所示，取B點為動點，桿件AB為動系，進行速度分析:

圖3　例1中動點B運動分析

如圖3b)所示，取B點為動點，桿件AB為動系，進行加速度分析:

將方程(14)和方程(15)代入方程(13)中得:

根據速度和加速度基點法對例2中的Ⅱ區部分求解，如圖4a)所示，取桿件BC為研究對象，以 B點為基點，進行速度分析:

圖4　例2中桿件BC運動分析

如圖4b)所示，取桿件BC為研究對象，以B點為基點，進行加速度分析:

將方程(21)和方程(22)代入方程(20)中得:

由上述例題及求解過程可以看到，兩道題目給出的已知條件和求解問題完全相同，圖示給出的機構極其相似，其中Ⅰ區完全相同，只有Ⅱ區一個桿件的連接方式有差別。題目的相似性是初學者在區分理解和應用點的速度(加速度)合成定理和點的速度(加速度)基點法時存在困難的主要原因。題目中Ⅱ區桿件連接方式是唯一的差別所在，這也正表明了點的速度(加速度)合成定理和點的速度(加速度)基點法之間的聯系和差異。對例1的求解采用了點的速度(加速度)合成定理。分析圖1a)中Ⅱ區桿件的連接方式可以看到，求解運動狀態的C點和已知運動狀態的B點在兩個不同的剛體上，點的速度(加速度)合成定理用于分析兩個剛體(桿件AB和桿件BC)相接觸且有相對運動或兩個剛體雖然不接觸但有相對運動時，這兩個不同剛體上相重合的一點的速度和加速度的問題。這里在使用點的速度(加速度)合成定理時，剛體有兩個，點只有一個(本質是兩個，在不同的兩個剛體上，但重合于一點)。對例2的求解采用了點的速度(加速度)基點法。分析圖1b)中Ⅱ區桿件的連接方式可以看到，求解運動狀態的C點和已知運動狀態的B點在同一個剛體上，點的速度(加速度)基點法用于分析作平面運動的一個剛體(桿件BC)上兩個不同點間的速度和加速度的問題。這里在使用點的速度(加速度)基點法時，剛體只有一個，點有兩個。

理論力學教材中講解點的速度(加速度)合成定理和點的速度(加速度)基點法時的方法和過程是相似的，這是由于兩種理論方法既存在聯系也具有差異。通常對點的速度(加速度)基點法的講解會引用合成運動理論的觀點進行解釋，兩種理論方法的本質都是點在定參考系中運動的參數等于點在動參考系中運動和動參考系在定參考系中運動的同一參數的矢量和，是一種合成理論，這是兩種理論方法的共同點。兩種理論方法的差異除了上述求解應用時要依不同條件選擇相應的理論方法外，合成定理求解加速度時重點討論了科氏加速度的問題，而基點法中卻未提及科氏加速度。科氏加速度是在點的合成運動中牽連運動為曲線運動時產生的加速度。在基點法求平面內任一點的加速度時，雖然也是基于點的加速度合成理論(牽連運動與相對運動合成絕對運動)，但基點法的運動合成是隨同基點的平移和繞基點的轉動。此時是將基點上建立參考坐標系的運動作為牽連運動，牽連運動是基點上的坐標系的運動，而不是基點的運動。參考系運動過程中坐標軸的方向始終保持不變，因此牽連運動始終在作平動。通過基點法求解點的加速度問題時不存在科氏加速度。

3　結語

本文從習題應用的角度出發，通過分析例題討論了運動學中點的合成定理和基點法的相關性及差異性，研究結果表明:

1)點的速度(加速度)合成定理和點的速度(加速度)基點法都是基于運動合成基本理論。

2)點的速度(加速度)合成定理用于分析有相對運動的兩個剛體上相重合的一個點的速度和加速度的問題。點的速度(加速度)基點法用于分析作平面運動的一個剛體上兩個不同點間的速度和加速度的問題。

3)建立在基點上的參考坐標系的牽連運動始終作平動，因此按照運動合成的觀點，基點法求解點的加速度問題中不存在科氏加速度。

本文的結論對深入學習點的合成運動和剛體平面運動兩部分內容有重要的意義，有助于澄清學生在理解過程中產生的問題。

參考文獻:

［1］ 哈爾濱工業大學理論力學教研室．理論力學［M］．北京:高等教育出版社，2009．

［2］林蘭華．理論力學［M］．北京:科學出版社，2009．

［3］羅特軍．理論力學［M］．武漢:武漢大學出版社，2013．

［4］ 孫雅珍，侯祥林．理論力學［M］．北京:中國電力出版社，2015．

中圖分類號:G642．0

文獻標識碼:A

文章編號:1009-6825(2016)17-0247-02

收稿日期:2016-04-03

作者簡介:吳鶴翔(1983-)，男，講師

On similarities and differences between compound theorem and basic point method

Wu HexiangLiu YaoLi Mingbao
(College of Civil Engineering，Northeast Forestry University，Harbin 150040，China)

Abstract:From some problems in the students’learning process，the paper compares and analyzes the relation and difference between the compound theorem of the point’s speed and the basic point method of the point’s speed，so as to provide some reference for the understanding and application of the compound movement and the related knowledge of rigid movement plane movement．

Key words:theoretic dynamics，compound theorem，basic point method