用向量法解決立體幾何中的探索性問題

北京市延慶第一中學　付冬雪

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用向量法解決立體幾何中的探索性問題

北京市延慶第一中學付冬雪

在直角坐標系中引入空間向量，為解決立體幾何問題提供了一個有效的代數工具.

立體幾何中的探索性問題一般描述的是動態過程，需要一定的空間想象能力，而向量可以使復雜的問題簡單化，降低思維難度，可操作性強，能有效提高數學學習效率.

下面列舉幾種常見的用向量法解決立體幾何中探索性問題的類型與方法.

一、與平行有關的探索性問題

問題1：如圖1，四棱錐S-ABCD的底面是正方形，每條側棱的長都是底面邊長的倍，P為側棱SD上的點.若SD⊥平面PAC，問：側棱SC上是否存在一點E，使得BE∥平面PAC？若存在，求線段CE：ES的值.若不存在，說明理由.

圖1

假設在側棱SC上存在一點E使BE∥平面PAC.連BD，設AC交于BD于O，由題意知，SO⊥平面ABCD，以O為原點建立如圖1所示的空間直角坐標系O-xyz，設OB=1，則B（1，0，0），D（-1，0，0），S（0，0，），C（0，1，0）.

因為BE不在平面PAC內，故BE∥平面PAC.

二、與垂直有關的探索性問題

問題2：如圖2，四邊形ABCD是邊長為1的正方形，MD⊥面ABCD，NB⊥面ABCD，且MD=NB=1，E為BC中點，問：在線段AN上是否存在一點S，使ES⊥平面AMN？若存在，求線段AS的長；若不存在，說明理由.

圖2

點評：空間中的線線、線面、面面垂直都可轉化為兩向量的垂直來解決，本問題也可以利用向量與平面AMN的一個法向量共線來求得S的位置.

三、與角有關的探索性問題

問題3：已知在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為4的正方形，△PAD是正三角形，平面PAD⊥平面ABCD，E、F、G分別是PA、PB、BC的中點.問：線段PD上是否存在一個動點M，使得直線GM與平面EFG所成角為，若存在，求線段PM的長度，若不存在，說明理由.

圖3

解析：取AD中點O，連結PO

∵平面PAD⊥平面ABCD，PO⊥AD，∴PO⊥平面ABCD

如圖3，以O點為原點，建立空間直角坐標系O-xyz，則O（0，0，0），A（0，-2，0），B（4，-2，0），C（4，2，0），D（0，2，0），

從以上問題可以看出，向量是“數”與“形”相互轉化的橋梁和紐帶，既能體現“數”的運算性質，又具有“形”的直觀特征，能融數形于一體.因此，向量是解決立體幾何中平行、垂直、角和距離的有效工具.用向量法解決立體幾何中的探索性問題時，要恰當地建立空間直角坐標系，合理地等價轉化所求問題，就能將幾何問題代數化，將復雜問題簡單化，將邏輯推理運算化.

編輯/王一鳴

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