常微分方程穩定性的簡單應用

郜欣春+田苗青

摘要：對于某些動態的模型可以通過微分方程來討論，有些情況我們不需要求解微分方程只是利用穩定性理論就可以得到方程解的變化趨勢，本文介紹常微分方程穩定性的一些理論，應用這些理論討論漁業可持續捕撈以及關于軍備競賽的問題。

關鍵詞：自治方程；平衡點；穩定性

我們描述實際對象的某些特性隨時間或空間而演變的過程，例如人口演變，物種的相互依存、競爭、弱肉強食，可再生資源的持續發展等問題，可以根據研究對象內在的或者可以類比其他對象的規律列出微分方程。利用微分方程來分析它的變化規律，預測它的未來趨勢，從而研究對它的控制手段。但大多數的微分方程是無法求出它的解析解，而且對于某些實際問題我們也沒有必要求出方程的解去尋求每個時刻的狀態，而僅是研究當時問充分長了之后動態過程的變化趨勢。比如在什么樣的條件下會趨于某個特定的數值或者在什么條件下它會離這個特定數值越來越遠。對于這樣的問題，我們就不需要去求解微分方程，只是利用微分方程的穩定性理論，通過對平衡狀態的穩定性討論就可以得出一個簡單實用的結論。

1一階常微分方程平衡點的穩定性及其應用