淺談高中數學在解決實際問題中的應用

竇若旸

[摘要]用高中數學知識解決實際問題，要準確審題，要善于閱讀直接或間接給出的條件，學會挖掘隱含的條件，準確理解題目的文字陳述和符號的含義，以圖形、圖表等數學語言，列舉、提煉出問題的關鍵。應具備巧用方程、函數、數形結合、整體、分類討論、轉化等數學思想和方法的能力。應通過多模仿、勤訓練、多總結等方式，有意識地把數學知識與生產、生活、相關學科聯系起來，綜合運用好不等式、向量、數列、函數等數學知識，構建數學模型。

[關鍵詞]數學；能力；應用；建模

通過高中數學的系統性學習，可以看出數學知識都有其具體、直接的應用，如運用不等式的性質、線性規劃、函數等求解實際問題的最值，用概率統計知識解決概率統計問題等。這些數學知識的實踐性學習與應用讓我們充分感受和體驗到了數學的應用價值。本文擬結合學習實踐，談談高中數學在解決實際問題時需要具備的能力。

一、審題能力

解題過程就是一個信息的“輸入——加工——輸出”的過程，解題首先要準確審題。審題要求我們主動發現、辨認、轉譯題目中一切直接或間接給出的條件，排除干擾條件，有計劃、有目的地積極思考，達到準確解題的目的。求解數學問題必須準確審題，弄清問題的文字陳述和符號的含義，依據具體問題的題設和結論，適當運用圖形、圖表等數學語言，列舉、提煉出問題的關鍵。

例1.已知？琢是三角形的一個內角，且sin？琢+cos？琢

思路（2）：借助sin2？琢+cos2？琢=1，將弦化為切，減少計算，是數學轉化思想的體現。

本例的第（1）問也可用第（2）問的方法解決。

通過以上的運算可以看出審題對于解題而言起著至關重要的作用，但是審題時常常感覺難度較大，往往無從下手。我們應該善于閱讀題設條件，學會挖掘題目隱含的條件。審題能力是剖析問題、解決問題的重要組成部分，科學的審題方法是我們每個人必須具備的能力，解題中應引起足夠的重視。只有在平時的學習中多訓練、多思考，逐步培養良好的審題習慣，才能大大提高我們解決數學問題的能力。

二、合理應用數學知識、思想、方法的能力

數學思想方法是數學的靈魂和生命，是一種“隱性知識”，也是把抽象的數學理論轉化為數學應用能力的關鍵，能否靈活掌握并用好數學思想方法，直接影響答題的效率和整個解題的思路。針對不同的問題，巧用方程、函數、數形結合、整體、分類討論、轉化等數學思想方法，是高中數學知識在解題中的具體體現。

例2.已知橢圓？賺的中心在原點，焦點在橫軸上，e=，且橢圓經過點 （1，3）。

（1）求橢圓M的方程；

（2）是否存在過點Q（2，1）的直線L與橢圓M相交于不同的兩點A、B ，滿足 2？若存在，請求解直線l的方程；若不存在，請簡述理由。

思路（1）：確定橢圓的方程，必須確定a 、b 的值，故可用待定系數法。

解：設橢圓 M的方程為（a>b>0），由題意得a2=b2+c2

解得a2=4，b2=3

所以橢圓M的方程為

思路（2）：存在性問題，先假設存在，再根據題意，用方程、函數、整體、分類討論、轉化等 數學思想方法解題，若求得符合題意的解，則存在，否則就不存在。

假設存在直線l，且斜率存在，方程即為y=k（x-2）+1，代入橢圓M的方程得：存在直線l滿足條件，方程為y=x，運算過程略。

從以上求解過程中可以看到，本例主要考查不等式的解法，是平面向量與解析幾何知識的綜合應用，反映了方程思想，考察了邏輯思維能力、推理能力、解題運算能力等。多模仿、勤訓練、多總結是提高數學應用能力與合理應用數學知識、思想、方法的有效途徑。

三、數學建模能力

數學建模能力是綜合運用數學知識，解決生產和生活中實際問題的有效方法；具備建模能力對應用數學知識，解決實際問題是十分重要的。

例3.某校在組建校園網時，在項目建設階段，采購電腦等設備及安裝調試期間共花費5萬元。校園網正常運行期間，該校每年要向網絡運營服務商支付網絡通訊費0.5萬元，且校園網的維護費用每年都各不相同，按照合同約定，其第一年的維護費用為0.1萬元，之后，每年的維護費用比上一年增加0.1萬元。

（1）如果該校的校園網正常運行滿5年，其累計總投資費用（含采購電腦等設備及安裝調試費用）是多少？

（2）試問該校的校園網正常運行多少年時，其累計總投資費用的年平均值最小？

思路（1）：建立數列模型。此題符合等差數列的特征。

解：5年內，校園網的維護費是以0.1為首項，以0.1為公差的等差數列，其累計維護費用可化轉為等差數列的求和問題，所以使用5年時其累計總本案例是數學建模知識在現實生活中的實際應用，是利用數列、函數建立的模型，用基本不等式的知識求解實際問題的最值問題。應用數學建模知識解決實際問題的關鍵在于如何建模，建立什么樣的模型，才能更好地、準確地解決問題。因此，在平時的學習中要注重學習方法的積累和總結，要勇于探索、敢于提出問題，嘗試自主解決問題。并且，在解題中要努力展現創造力，提高綜合利用所學知識解決問題的能力，感受數學的應用價值。同時也要注重團隊合作精神，養成與人交流的習慣，學習借鑒他人的方法，體會學習的樂趣。

數學是現代文化的重要組成部分，數學思想方法向一切領域滲透，數學的應用越來越被社會所重視。數學源于生活，服務于生產實踐。在學習中將數學和現實生活中的問題聯系起來，可以讓學生充分認識到數學在日常生活中的重要作用，有助于激發學生的學習興趣，提高應用數學知識解決實際問題的意識和能力，對開闊學生的視線有十分積極的意義。

參考文獻：

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（責任編輯 馮 璐）