數(shù)據(jù)處理方法在數(shù)學(xué)建模競賽中的應(yīng)用

余建熙河南經(jīng)貿(mào)職業(yè)學(xué)院

數(shù)據(jù)處理方法在數(shù)學(xué)建模競賽中的應(yīng)用

余建熙
河南經(jīng)貿(mào)職業(yè)學(xué)院

在總結(jié)數(shù)學(xué)建模競賽歷屆考題解題模式的前提下，從數(shù)據(jù)解析、插值與擬合、數(shù)據(jù)仿真、回歸解析等四個層面歸納了數(shù)據(jù)處理方法與數(shù)學(xué)軟件在數(shù)據(jù)建模比賽中的運用，能夠在數(shù)學(xué)建模中，為如何選擇數(shù)據(jù)處理模式帶來啟發(fā)。

數(shù)據(jù)處理；數(shù)學(xué)建模；比賽；運用；探討

數(shù)學(xué)建模是使用數(shù)學(xué)語言對實際疑問進(jìn)行精簡、抽象與描繪，構(gòu)建解答問題的數(shù)學(xué)模型，同時使用電腦技術(shù)予以輔助，對解答的成果進(jìn)行解析與檢測，最終獲得化解具體疑問的預(yù)案。在數(shù)學(xué)建模階段，大量的實驗參數(shù)要予以解析，必須使用電腦軟件來協(xié)助進(jìn)行整合，這個流程就是數(shù)據(jù)建模中的數(shù)據(jù)處置。利用特定的處置手段從實驗參數(shù)中摸索出其規(guī)律，進(jìn)而將看似無關(guān)的參數(shù)結(jié)合起來分析。在模型建設(shè)的初期，使用既定的數(shù)據(jù)處理模式能夠有效解讀問題所闡述的模型變量間的聯(lián)系，進(jìn)行初始規(guī)劃。一部分模型可以使用統(tǒng)計解析的方法予以建立，例如回歸分析法與時序分析法等。

一、數(shù)據(jù)解析

通常，數(shù)據(jù)建模搜集與提供的原始數(shù)據(jù)絕大多數(shù)都以電子表格的形式存在，電子表格軟件具備參數(shù)排列、選擇、實效性、分類總結(jié)、內(nèi)部函數(shù)換算等多重能力，用來對參數(shù)實施初級整合，比如使用關(guān)鍵詞排列、根據(jù)數(shù)據(jù)或范圍進(jìn)行選擇，分類總結(jié)，換算最大值與最小值、頻數(shù)、方差等，同時電子表格還具備繪圖能力，比如描繪散點圖、曲線圖、直方圖等，對參數(shù)的發(fā)展趨勢進(jìn)行預(yù)估與解析等。

二、插值與擬合功能

在建模比賽中，應(yīng)對參數(shù)實施處置，最常見的方法是參數(shù)插值與參數(shù)擬合的方法。比如1998年美國賽A題中的生物組織切片版塊就運用了三維插值方法；1994年國賽A題在演算山體海拔的時候，參數(shù)插值方法就被合理運用；2001年國賽中血管三維重建問題也運用了相同的方法；2003年國賽“非典”版塊就使用數(shù)據(jù)擬合的模式觀測數(shù)據(jù)走勢并完成處置；2004年國賽醉酒行駛問題本質(zhì)上也利用了擬合的方法；2005年國賽降水量報告的考評也利用了插值的方法；2006年國賽B題艾滋病診斷評價與治療功效的預(yù)估也使用了參數(shù)擬合的方法；2011年國賽中城鎮(zhèn)表面土層重金屬污染問題也動用了插值與擬合方法。

擬合方法可以從實驗參數(shù)的解讀中，給定某既有函數(shù)的參數(shù)或解出某類近似函數(shù)，讓所獲得的近似函數(shù)與已有參數(shù)形成較好的擬合度。而在數(shù)據(jù)有偏差的情況下，不需要解出近似函數(shù)要經(jīng)過的所有數(shù)據(jù)點，只需要解答在既定態(tài)勢下映射參數(shù)改變情況的近似函數(shù)的模式被稱為數(shù)據(jù)擬合。而參數(shù)插值是根據(jù)既有數(shù)據(jù)點的實驗情況，根據(jù)某種插值方法來得出未知數(shù)據(jù)點的參數(shù)。

（一）數(shù)據(jù)插值

因為實驗環(huán)境的不同，加上實驗參數(shù)量小的原因，在既有參數(shù)可靠的基礎(chǔ)上，利用函數(shù)插值方法可以插值出兩類數(shù)據(jù)點間的一些數(shù)據(jù)點，所繪出的數(shù)據(jù)曲線會通過全部實驗數(shù)據(jù)點。所挑選的插值函數(shù)的類別不一，逼近的功效與光滑度也是不一樣的。常用的插值方法為：lagrange插值、分段線性插值、Hermite插值、三次樣插值，上述模式都是分段插值模式。Matlab內(nèi)形成的功能函數(shù)具備分段插值的能力而無需編寫函數(shù)流程，比如interpl（一維插值）、interp2、interp3、intern，當(dāng)中一維與二維插值使用頻率較高。一維插值函數(shù)的表達(dá)式是：yi=interpl（x，y，xi，method），當(dāng)中（x，y）是插值節(jié)點，xi是被插值點，yi是xi位置的插值數(shù)據(jù)，默認(rèn)態(tài)勢下插值方法為分段線性插值，nearest為相近位置的插值，linear是線性插值，spline為三次樣條插值，cubic是立方插值。需要注意的是，所有插值模式中x必然是單調(diào)的，而且xi要在x的數(shù)值選取范疇中。二維插值的函數(shù)能夠?qū)懗桑簔=interp2（x，y，z，x，y，method）。

（二）參數(shù)擬合

在變化多端的環(huán)境中，可以直接運用實驗參數(shù)建立模型，找到因果變量間的聯(lián)系，進(jìn)而預(yù)判未來的情景，如此構(gòu)建的模型被稱為擬合模型。使用擬合模型將實驗室參數(shù)約束在一定范圍內(nèi)，利用數(shù)學(xué)表達(dá)式從數(shù)目層面近似表述因果變量間的聯(lián)系。擬合模型的建立能夠?qū)Σ煌兞康膶嶒瀰?shù)實施觀察、總結(jié)，最后明確要使用的參數(shù)。

擬合模型基本上可以劃分為線性擬合、多項式擬合與曲線擬合。在Matlab內(nèi)可以憑借函數(shù)polyval（）與Isqcurvefit（）達(dá)成擬合，在spss內(nèi)憑借MENU與對話框測評，要同時挑選多種方法對擬合程度進(jìn)行比對。為了最后選擇出較佳的方法，應(yīng)先描繪出散點圖并參考參數(shù)的分布趨勢，最終敲定使用何種辦法。

三、參數(shù)仿真

數(shù)學(xué)建模中無法脫離電腦仿真技術(shù)，當(dāng)中隨機(jī)性模擬為常規(guī)算法。數(shù)學(xué)建模中的數(shù)據(jù)仿真通常包含數(shù)學(xué)仿真以及電腦仿真兩種。數(shù)學(xué)仿真要用到數(shù)學(xué)方程式，在既定的建立條件下要通過數(shù)學(xué)表達(dá)式進(jìn)行模擬仿真。使用電腦對體系的數(shù)學(xué)模式進(jìn)行實驗，叫做電腦仿真。通過電腦仿真模式能夠變更仿真系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)與數(shù)據(jù)，便于對模型的解析。電腦仿真模式中蒙特卡洛算法使用頻率較高，這種算法還有另外一個名稱，那就是隨機(jī)性模擬方法。

此外，使用隨機(jī)函數(shù)對要求解的疑問實施隨機(jī)樣本的抽取，取得樣本，觀察樣本值，統(tǒng)籌解析，最后獲得所要解答問題的參數(shù)。例如全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽1997年A題“零件參數(shù)預(yù)設(shè)”版塊，算題中所有元件均顯示出不同的標(biāo)定值與容差等級，要求解出元件的最優(yōu)結(jié)合模式。又比如利用計算流程較為繁瑣的數(shù)學(xué)表達(dá)式，從108類容差中選擇合適的預(yù)案，求解過程極為繁雜而且難度較大。只能通過電腦仿真模式來求出問題的答案。當(dāng)中的一種求解方法就是使用蒙特卡洛算法予以解答，尋找到優(yōu)化后的預(yù)案，在每一元件的可行區(qū)間根據(jù)正態(tài)分布隨機(jī)挑選一個標(biāo)定數(shù)據(jù)與一個容差數(shù)據(jù)，使用蒙特卡洛算法仿真出大批的預(yù)案，并挑選最佳預(yù)案。

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