從導數與定積分部分看高中數學教學

周受萍

摘 要： 基于對新型人才培養理念，高中數學老師，要注重學思結合，注重知行統一，注重因材施教，強調中學生自主學習，不要采用題海方式，因為比知識更重要的是能力及滲透在能力中的解題策略，只有注重能力的培養才是真正的培養新型人才的途徑.

關鍵詞： 導數 概念 極限 微積分

十年前的新課程改革就提出我國數學教育存在的問題要正視，數學教學不自然，強加于學生，缺乏問題意識，重結果輕過程，重解題技能技巧普遍性思考方法的概括，輕能力的培養，論層次的內容滲透不夠，機械模仿多，獨立思考少，數學思維層次不夠高，講邏輯而不講思想，等等，造成的后果是學生講過的不一定會，沒講過的一定不會.盡管通過種種嘗試，加強概念的理解，注重三維目標的構建，以及學生基本技能的培養，可高考看分數的杠依然在那，因此為提高學生的高考分數，題海戰術依然是首選，不離不棄。

2016年3月我有幸參加了中國大學先修課程《微積分》的培訓，聽了東北師范大學、清華大學、北京大學教授的講座，我感受頗深：有些學生高中數學考得非常好，進了大學卻一塌糊涂.用定理結論都會，用定理手法證明的不會.高校數學系、物理系喜歡學習能力強的，而不一定要高考成績高的，甚至高考數學140多分的，在高校老師看來是否有能力他們第一節課就見分曉.

的確，高中數學老師為了學生在高考中盡可能多地得到分數，將題目歸納為類型題，什么類型什么類型講得很詳細，講完學生反復練習，練到差不多就可以進去考試，只要聽話又勤奮的學生總能考個百來分，可是這樣的學生將來進入大學或是走向社會又會有多少作為，我們的確擔心.而大學老師則從不會歸納什么類型，還不會講太細，太細學生就沒有自己的思考空間了，這能說大學老師就不夠盡責嗎？這值得我們思考.我認為可以借鑒美國中學成功經驗放手讓我們的學生去做、去探索，這樣才能適應未來新型的社會需求.

那么如何培養新型的高中生，適應現代化科技的發展？根據高中生的認知特點，要注重學思結合，注重知行統一，注重因材施教.我就高二數學人教A版第二章導數及其應用談談看法.

1.突出實際背景培養認知能力

教材直接通過實際背景和具體應用實例──速度﹑膨脹率﹑效率﹑增長率等反映導數思想和本質的實例，引導學生經歷由平均變化率到瞬時變化率的過程，認識和理解導數概念，在對實際背景問題研究的基礎上，抽象概括出導數的概念.而教材對微積分的定位，考慮到學生的實際水平，略去函數的連續性和極限.但由于教學實際，我認為在授課之前應用適當的形式讓學生感知函數的連續性和極限.例如：如果函數是連續的，那么它的圖像是一條連綿不斷的曲線；在一定條件下極限與某個常數A的差的絕對值越來越小，可以小于預先給定的任意正數，可以通過表格定性分析和定量分析，把“無限趨近”給予確切的描述，或者舉例說明求函數的極限，這樣學生就不會在諸如“的求法”，又如“a≤，x∈恒成立，求a的取值范圍”等問題上存在的困惑.

教材用極限理論闡述導數定義之后，給出了幾個基本初等函數的導數公式，學生在此時會長嘆：導數定義好麻煩，有公式真好。實際上重視該課程的人文性，而不過于強調其工具性，重視學生數學思維的培養，不是簡單的計算，而學生具有一定的演繹推理能力才是學習數學的真正目的.舉例說明：

可見理解了導數的定義就能對此類運用自如.

2.關注知識的拓展應用

2016年福建省回歸全國高考之后，強調注意二階導數的拓展應用，雖然高中數學不涉及二階導數的提法和應用，但將函數的導數表示為新的函數，并繼續研究函數的性質的試題比比皆是，尤其是課標卷.因此有必要關注二階導數在研究函數中的拓展應用，留意函數凸性的等價性，但要注意過程性的學習，而不是定理的記憶.

雖然福建省考試說明的修訂與全國統一考試大綱一致，我們研讀的結果也發現沒有太大差異，但具體實施時，有些知識內容的考查可能超出福建的要求，造成顛覆性失誤.需要引起我們的注意和重視，比如二階導數的應用、反函數的概念等.以我之見，一些定理性質只要遇到都是可以適時增加的.

如定義：設函數在f（x）區間I上連續，如果對I上任意兩點x，x恒有f，那么稱f（x）在I上的圖形是（向下）凹的；如果恒有f那么稱f（x）在I上的圖形是（向上）凸的.

定理：設函數f（x）在[a，b]上連續，在（a，b）處具有一階和二階導數，那么

（1）若在（a，b）內f″（x）>0內時，則f（x）在[a，b]上的圖形是凹的；

（2）若在（a，b）內f″（x）<0時，則f（x）在[a，b]上的圖形是凸的.

定理、結論很多人都知道，都說得出來，用文字敘述也沒問題.很直觀的東西用數學語言怎么描述出來就難了，要聯想到應用、證明就更難了.特別強調：鼓勵學生學得深一些、廣一些，不斷提升學科素養，養成學習習慣，提高自主學習能力，為實現自身理想奠定扎實基礎.以下例2的證明就需要考慮二階導數的拓展應用.

例2.（2015年課標Ⅱ卷·理21）設函數f（x）=e+x-mx

（1）證明f（x）在（-∞，0）單調遞減，在（0，+∞）單調遞增；

（2）若對于任意|≤e-1，求m的取值范圍.

再如例3，有參加過競賽培訓的學生在處理第二小題的時候，用了大學的知識拉格朗日中值定理巧妙地構造并完美地證明出來，顯然比用導數顯得輕松得多，然而我們不要表揚鼓勵學生有這樣的能力嗎？

例3.（2016年福建省4月質檢·理21）已知函數f（x）=ax-ln（x+1），g（x）=e-x-1，曲線y=f（x）與y=g（x）在原點處的切線相同.

（1）求f（x）單調區間；

（2）若x≥0時，g（x）≥kf（x），求k的取值范圍.

3.注重概念的理解

比如定積分概念的教學應注意以下兩點：定積分是一種“和”的極限；定積分的幾何意義.若f（x）≥0，則定積分？蘩f（x）dx在幾何上表示由曲線y=f（x），直線x=a，x=b及x軸所圍成的曲邊梯形的面積S，即s=f（x）dx=-s.當f（x）在區間[a，b]上有正有負時，積分？蘩

例4.一輛汽車在筆直的公路上變速行駛，設汽車在時刻t的速度為v（t）=2t-3，（0≤t≤2）（t的單位：h，v的單位：km/h），則這輛車在2小時內行駛的路程？搖 ？搖km.

我們不幸地發現高中教學定積分部分基本上成了一種微積分基本定理的運算，只追求怎樣用這個定理，卻忽視了定理本身的內涵，而實際上定理本身的內涵更重要.微積分作為一個強大的工具，可以幫助我們解決一些用初等數學思想處理比較繁瑣的數學問題.大學老師說過這樣一句話：可微的力量比可導的力量強大得多，千萬別誤導了學生.

顯然微積分學在數學以至整個自然科學中占有重要地位，微積分的思想方法不僅是學生以后學習許多數學分支的基礎，而且對于培養學生的數學思維，增強學生的解題能力有很大的促進作用.其中導數和積分是微積分學中最重要的兩個概念，它們是研究函數和解決實際問題的重要工具.如果中學數學還一味地追求怎么用這個定理，怎么套入公式運算，而忽視了定理本身的內涵，一則對微積分強大的思想領域造成誤解；二則對學生數學思維的培養有很大的局限性.

是的，基于創新型人才培養理念，我們作為高中數學老師，要注重學思結合，注重知行統一，注重因材施教，強調中學生自主學習，不要采用題海方式，要知道比知識更重要的是能力及滲透在能力中的解題策略，只有注重能力的培養才是真正培養新型人才的途徑.

參考文獻：

[1]中國大學先修課程—微積分.