淺談數(shù)學(xué)中的辨證思想

胡爾軒

【摘 要】數(shù)學(xué)中蘊(yùn)涵著豐富的思想內(nèi)涵，辨證思想是這些思想內(nèi)涵中的重要組成部分。本文從基本概念出發(fā)，深入研究數(shù)學(xué)中的辨證思想。具體來說就是通過實(shí)例來討論直與曲、連續(xù)與間斷、有限與無限、數(shù)與形等辨證法思想在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)；辨證思想；直與曲

辨證思想是指以變化發(fā)展的視角認(rèn)識(shí)事物的思維方式，通常被認(rèn)為是與邏輯思維相對(duì)立的一種思維方式。在邏輯思想中，事物一般是“非此即彼”或“非真即假”等等，而在辨證思想中，事物可以在同一時(shí)間里“亦此亦彼”、“亦真亦假”而無礙思維活動(dòng)的正常進(jìn)行。

辨證思想是一種世界觀。世界萬物之間是互相聯(lián)系，互相影響的，而辨證思想正是以世間萬物之間的客觀聯(lián)系為基礎(chǔ)而進(jìn)行的對(duì)世界進(jìn)一步的認(rèn)識(shí)和感知，并在思考的過程中感受人與自然的關(guān)系，進(jìn)而得到某種結(jié)論的一種思維。辯證思想的本質(zhì)是反應(yīng)客觀事物矛盾著的兩方面的相對(duì)統(tǒng)一和相互轉(zhuǎn)化，因此，辨證思想的要害是抓住對(duì)立面的聯(lián)系、滲透和轉(zhuǎn)化。反映在數(shù)學(xué)中，就是應(yīng)該重視事物的數(shù)量、形式和結(jié)構(gòu)間的內(nèi)在矛盾，自覺地有意識(shí)地運(yùn)用辨證規(guī)律來解決問題。

數(shù)學(xué)中充滿著矛盾、充滿著辯證法。古今數(shù)學(xué)家都把自然辨證法的思想作為研究數(shù)學(xué)的指導(dǎo)思想。如果說古代數(shù)學(xué)中的辨證法是零亂、雜散的，那么近代數(shù)學(xué)就比較集中大量涉及及運(yùn)動(dòng)變化和辨證統(tǒng)一的哲學(xué)思想。到19世紀(jì)70年代，數(shù)學(xué)與辨證法已成為一對(duì)不可分割的孿生姐妹，辨證法更是數(shù)學(xué)中不可缺少的必要因素。

1 直與曲的辨證關(guān)系

直與曲是兩個(gè)完全不同的數(shù)學(xué)概念。從直觀形象看，前者平直后者彎曲；從幾何特性來看，前者曲率為0，后者曲率不恒為0；從代數(shù)表達(dá)式來看，前者是線性方程，后者是非線性方程。因此，直與曲的差別是明顯的，那么這兩個(gè)差別如此顯著的對(duì)立概念是否存在內(nèi)在聯(lián)系，能否在一定條件下互相轉(zhuǎn)化呢？

從數(shù)學(xué)的思想方法中可以看出，直與曲除了有非直即曲的一面，也存在亦直亦曲的一面。存在直與曲之間的中介狀態(tài)，通過這個(gè)中介狀態(tài)實(shí)現(xiàn)直與曲的轉(zhuǎn)化。比如，曲線的漸近線是指，在曲線無限延伸時(shí)與一條定直線“無限接近，但永不相交”，其數(shù)學(xué)表達(dá)式如下確定：設(shè)曲線為y=f（x），其漸近線為y=kx+b且其斜率存在，則：

利用直與曲的這種中介狀態(tài)，實(shí)現(xiàn)局部范圍內(nèi)的“以直代曲”，是數(shù)學(xué)中的一種基本的辯證思想方法。

2 連續(xù)與間斷的辨證關(guān)系

2.1 在數(shù)學(xué)中，連續(xù)與間斷帶來函數(shù)性質(zhì)的顯著差異

2.2 連續(xù)與間斷在一定條件下可以相互轉(zhuǎn)化

隨著數(shù)學(xué)的發(fā)展，對(duì)函數(shù)連續(xù)與間斷的認(rèn)識(shí)也在深化，在一定條件下，實(shí)現(xiàn)了連續(xù)與間斷的相互轉(zhuǎn)化。

比如，利用定積分的定義來求n項(xiàng)和數(shù)列的極限，就是用連續(xù)研究間斷（離散）的典型方法。

連續(xù)與間斷的轉(zhuǎn)化還體現(xiàn)在日常生活中，比如，電視機(jī)的畫面是連續(xù)分布的，但電視機(jī)上的畫面是由點(diǎn)陣組成的；打印機(jī)打印的文字也是由點(diǎn)陣組成的，這都是用離散量來逼近連續(xù)量的具體體現(xiàn)。

3 有限與無限的辯證關(guān)系

數(shù)學(xué)中有許多問題都是在有限范圍內(nèi)討論的，但往往又與無限有著密切的聯(lián)系。在數(shù)學(xué)的運(yùn)算中，有限運(yùn)算與無限運(yùn)算有著本質(zhì)的區(qū)別。希爾伯特編了這樣一個(gè)故事：有一個(gè)無限多個(gè)房間，可以接待無限多個(gè)客人的旅館，來了一位新客人，經(jīng)理通知所有客人搬到下一號(hào)房間去住，這樣第一號(hào)房間空出，可以供新客人來往，突然又來了無限（可數(shù)）多個(gè)客人，經(jīng)理讓每個(gè)客人搬到原有號(hào)碼的的二倍房間去住，新來往的客人全搬到空出的奇數(shù)號(hào)房間。

對(duì)于第一種情況，由于來的客人是有限的，所以是在有限的范圍內(nèi)進(jìn)行運(yùn)算，與無限多個(gè)房間并沒有關(guān)系。而第二種情況，來的客人是無限多個(gè)，則應(yīng)該在無限的范圍內(nèi)進(jìn)行運(yùn)算，無限多個(gè)房間恰好給這個(gè)運(yùn)算提供了條件。從這里可以看出，有限運(yùn)算與無限運(yùn)算的本質(zhì)區(qū)別在與他們是在不同的范圍內(nèi)進(jìn)行運(yùn)算，兩者之間沒有聯(lián)系。

數(shù)學(xué)中的許多公理和運(yùn)算律也有著局限性。有限加法的交換律、結(jié)合律都成立，而對(duì)無限項(xiàng)結(jié)合律未必成立。如對(duì)無窮級(jí)數(shù)1-1+1-1+…+（-1）n+1+…，它本身就是一個(gè)發(fā)散級(jí)數(shù)。如果按下列方式結(jié)合（1-1）+（1-1）+…，它又收斂與0。如果按下列方式結(jié)合1-（1-1）+（1-1）-…，它又收斂與1。

雖然有限與無限有的本質(zhì)的區(qū)別，但是它們有著密切的聯(lián)系。

4 數(shù)與形的辨證關(guān)系

代數(shù)與幾何是數(shù)學(xué)中的主體內(nèi)容，它們是密不可分的。對(duì)此華羅庚先生曾經(jīng)有過精辟的論述：“數(shù)形本是兩依依，數(shù)缺行時(shí)少直觀，行少數(shù)時(shí)難入微，數(shù)行相助雙翼飛”。數(shù)與形是現(xiàn)實(shí)世界中客觀事物的抽象和反映，是數(shù)學(xué)的基石。恩格斯曾說過：“數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)世界的數(shù)量關(guān)系與空間形式的科學(xué)?！睌?shù)形結(jié)合就是根據(jù)數(shù)學(xué)問題的條件和結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系，既分析其代數(shù)意義，又揭示其幾何直觀，使數(shù)量關(guān)系的精確刻劃與空間形式的直觀形象巧妙、和諧地結(jié)合在一起，充分利用這種結(jié)合，尋找解題思路，使問題化難為易、化繁為簡(jiǎn)，從而得到解決。

4.1 代數(shù)問題幾何化

4.2 幾何問題代數(shù)化

在立體幾何中，我們常會(huì)遇到諸如證明線線垂直線面垂直或計(jì)算異面直線所成的角線面角以及二面角一類的問題，而在某些情況下這些問題用常規(guī)的方法（幾何法）解決會(huì)有很大的難度，而轉(zhuǎn)為利用代數(shù)方法（空間向量法）來解決則要容易的多。

該題直接作出二面角有些困難，而把它代數(shù)化后，運(yùn)用向量的知識(shí)來解決問題就變的簡(jiǎn)單些了。所以我們平時(shí)要具有幾何與代數(shù)的辯證思想。

恩格斯說過：數(shù)學(xué)是辨證的輔助工具和表現(xiàn)方式。數(shù)學(xué)內(nèi)容和數(shù)學(xué)方法中包含著大量的辨證思想。值得指出的是，不要孤立的看待上述各種辯證思想策略，它們是相互滲透，水乳交融的，在解題過程中，從優(yōu)化思想品質(zhì)和提升自身辯證思想出發(fā)，重視辯證思想策略的啟導(dǎo)是提高解題策略的一條有效途徑。

[責(zé)任編輯：王楠]