股票價格的分數布朗運動跳—擴散過程模型

榮晶　馬輝

摘要：本文主要是在幾何分數布朗運動模型的基礎上，考察帶跳的幾何分數布朗運動模型，即分數跳—擴散過程，對模型的跳躍形式進行了兩個方面的修正，提出分數跳—擴散過程模型簡化的離散形式，提出利用Taylor展開式來處理模型中的控制項，對于大規模數值模擬可以減少算法所需的計算量并節約計算機內存，

關鍵詞：股票價格；分數跳一擴散過程；數值模擬

中圖分類號：F830.91；O211.6 文獻識別碼：A 文章編號：1001-828X（2016）012-000-01

一、分數跳—擴散過程模型的修正

在分數跳—擴散過程模型的基礎上，結合其他模型的優點，改善分數跳—擴散過程模型的不足，主要提出兩個方面的修正，第一，在模型中引入放縮式的跳躍變量，來控制跳躍的強度，防止跳躍強度過大和過小的不適合股票市場情況的因素出現，第二，在模型中加入更為復雜的跳躍變量使之更加符合股票市場突發事件對股票價格影響時間長度和跳躍高度，使得模型更加適合大規模數據的處理，同時為了數值模擬方便，提出對模型中的參數與離散變量的一種極為有效的處理方法。

二、分數布朗運動模擬

分數布朗運動是B.B.Mandelbrot和Van Ness[2]首先提出的，對于分數布朗運動，本文采用Yin Z-M[3]（1996）提出的兼顧效率與精度的快速模擬算法，對分數布朗運動的增量進行處理。定義分數布朗運動的增量：

三、帶放縮性跳躍的股票價格模型

經典的分數跳—擴散過程模型：

四、帶復雜性跳躍的股票價格模型

一般情況下，從長期趨勢上看，股票出現跳躍的頻率較低，但模型1無法體現跳躍形式在時間上的延展性，如果將分數跳—擴散過程模型中的跳躍形式引入廣義補償泊松過程，則可以較好地體現跳躍形式在時間上的延展性。在此基礎上將模型1修正為可控制跳躍頻率的過程，并進一步改進股票的預期收益率和波動率為時間和股價的連續非隨機函數。

模型1與模型2都是對實際股票價格的有效模擬。在股票的波動率可控的情況下，模擬收斂快，精度也較高。

參考文獻：

[1]約翰.赫爾，著.張陶偉，譯.期權期貨和衍生證券[M].北京：華夏出版社，1997.

[2]Karatzas I，Shreve S E.Brownian Motion and Stochastic Calcus[M].New York：Springer-Verlag，1988，21（4）：371-387.

[3]Y in Z-M.New Method for simulation of Fractional Brownian Motion[J].Joumal of computational plysics，1996，127（1）：66-27.

[4]杜文靜，劉小茂.基于分數布朗運動和跳過程的股本權證定價模型[J].價值工程，2009，52（6）：151-154.

[5]楊珊，薛紅，馬惠馨.分數跳擴散下兩值期權定價[J].四川理工學院學報（自然科學版）2010，23（4）：391-392.

作者簡介：第一作者：榮 晶（1994-），女，吉林通化人，漢族，學生，研究方向：統計學，所在單位：吉林農業科技學院文理學院。

通訊作者：馬 輝（1981-），男，吉林伊通縣人，漢族，講師。研究方向：應用數學。所在單位：吉林農業科技學院文理學院。

項目來源：吉林省大學生科技創新項目，項目編號2015026。