彎曲的時(shí)空

趙崢，1967年畢業(yè)于中國科技大學(xué)物理系，1981年于北京師范大學(xué)天文系獲碩士學(xué)位，1987年于布魯塞爾自由大學(xué)獲博士學(xué)位。曾任北京師范大學(xué)研究生院副院長、物理系主任、中國引力與相對論天體物理學(xué)會(huì)理事長、中國物理學(xué)會(huì)理事。現(xiàn)為北京師范大學(xué)物理系教授，理論物理博士生導(dǎo)師、教育學(xué)博士生導(dǎo)師。

愛因斯坦猜測，萬有引力可能是一種幾何效應(yīng)，可能是時(shí)空彎曲的表現(xiàn)。他推測，物質(zhì)的存在造成了時(shí)空彎曲。由于萬有引力只是時(shí)空彎曲表現(xiàn)出的幾何效應(yīng)，所以不應(yīng)該把萬有引力看作真正的力。單純在萬有引力作用下的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，例如行星繞日運(yùn)動(dòng)、地球上的自由落體運(yùn)動(dòng)，都應(yīng)該看作是不受外力的慣性運(yùn)動(dòng)。做慣性運(yùn)動(dòng)的“自由”質(zhì)點(diǎn)，當(dāng)然應(yīng)該沿時(shí)空中的“直線”進(jìn)行，也就是說自由質(zhì)點(diǎn)應(yīng)該沿短程線運(yùn)動(dòng)。

愛因斯坦覺得，建立新理論的關(guān)鍵是尋找兩個(gè)方程。一個(gè)是物質(zhì)如何決定時(shí)空彎曲的方程，他稱其為場方程；另一個(gè)是不受外力的自由質(zhì)點(diǎn)在彎曲時(shí)空中做慣性運(yùn)動(dòng)的方程，他稱其為運(yùn)動(dòng)方程。

愛因斯坦在格羅斯曼的幫助下，很快掌握了黎曼幾何的基本知識(shí)，并投入了尋找場方程的努力。這一工作耗費(fèi)了愛因斯坦很大的精力和漫長的時(shí)間。他設(shè)想，方程的左端應(yīng)該是描述時(shí)空曲率的項(xiàng)，右端應(yīng)該是描述物質(zhì)存在狀態(tài)的項(xiàng)，即：

時(shí)空曲率=物質(zhì)分布

右端的物質(zhì)項(xiàng)用時(shí)空中能量和動(dòng)量的分布來表述，其形式比較容易猜測，愛因斯坦很快就寫了出來。左端的曲率項(xiàng)的形式卻很難猜想，他在格羅斯曼的幫助下嘗試了2年，也沒有找到正確的形式。

1915年，愛因斯坦移居德國，得以與著名數(shù)學(xué)家希爾伯特交往。他在與希爾伯特幾次討論后，當(dāng)年底就寫出了場方程左端的正確形式，從而得出了完整的場方程，并用此方程解釋了水星軌道近日點(diǎn)的進(jìn)動(dòng)，終于建立起了他的新理論——廣義相對論。

在廣義相對論誕生前后的幾個(gè)月內(nèi)，愛因斯坦與希爾伯特之間產(chǎn)生了競爭。在與愛因斯坦的討論中，希爾伯特對愛因斯坦的新理論產(chǎn)生了興趣，他也開始尋找場方程的正確形式。希爾伯特不愧是數(shù)學(xué)大師，他很快就趕了上來。在愛因斯坦把自己的最終論文投給雜志社的同時(shí)，希爾伯特也投了稿。

愛因斯坦的稿件是1915年11月25日完成并投稿的，發(fā)表于當(dāng)年的12月5日。希爾伯特的稿件是1915年11月20日完成并投稿的，發(fā)表于1916年的3月1日。

希爾伯特論文的發(fā)表時(shí)間比愛因斯坦晚，但投稿時(shí)間比愛因斯坦早。應(yīng)該說明的是，愛因斯坦的論文中包括了場方程的正確形式，希爾伯特的稿件中最初沒有給出場方程。不過，在愛因斯坦的論文刊出后，希爾伯特在對自己稿件的清樣做修改時(shí)，加上了正確的場方程。希爾伯特是在看到了愛因斯坦的論文之后，才明確寫出場方程的，而且他對場方程右端物質(zhì)項(xiàng)的理解有錯(cuò)誤。

此外，愛因斯坦在自己的論文發(fā)表之前，就用場方程得出了水星軌道近日點(diǎn)進(jìn)動(dòng)的正確值，并寫信告訴了希爾伯特，希爾伯特還回信對愛因斯坦表示了祝賀。雖然二人在廣義相對論的發(fā)現(xiàn)權(quán)方面有過小的誤會(huì)，但希爾伯特很快就表示：愛因斯坦是廣義相對論的唯一創(chuàng)建人。

愛因斯坦在創(chuàng)建廣義相對論的道路上有過多次物理思想的重大創(chuàng)新。他于1905年開始研究萬有引力，1907年提出等效原理，1911年得出光線在引力場中彎曲的結(jié)論，1913年與格羅斯曼一起把黎曼幾何引進(jìn)新理論的研究。應(yīng)該強(qiáng)調(diào)的是，猜測到萬有引力是一種幾何效應(yīng)，是時(shí)空彎曲的表現(xiàn)，這一點(diǎn)是非常難得的。所以，愛因斯坦后來曾經(jīng)自豪地說：“狹義相對論如果我不發(fā)現(xiàn)，5年之內(nèi)就會(huì)有人發(fā)現(xiàn)；廣義相對論如果我不發(fā)現(xiàn)，50年之內(nèi)也不會(huì)有人發(fā)現(xiàn)。”

希爾伯特是在1915年才開始參與新理論研究的，他對新理論的物理本質(zhì)的理解當(dāng)然不如愛因斯坦，但是他與愛因斯坦的討論，肯定對后者找到場方程的正確形式有啟發(fā)和幫助，否則不會(huì)在幾次討論之后，愛因斯坦就得到了幾年沒有找到的場方程。

所以，雖然廣義相對論是愛因斯坦一個(gè)人創(chuàng)建的，但是希爾伯特對他的幫助也是難能可貴的。如果沒有希爾伯特在數(shù)學(xué)上的幫助，也許廣義相對論的建立還要推遲一段時(shí)間。應(yīng)該說明的是，他們二人由于誤會(huì)產(chǎn)生的小火花很快就平息了，此后二人一直是要好的朋友。

場方程是廣義相對論的基本方程，又稱愛因斯坦方程，描述物質(zhì)如何決定時(shí)空彎曲。

廣義相對論的另一個(gè)重要方程是運(yùn)動(dòng)方程。愛因斯坦設(shè)想此方程應(yīng)該表述不受外力的自由質(zhì)點(diǎn)在彎曲時(shí)空中的運(yùn)動(dòng)。因?yàn)槿f有引力不算力，運(yùn)動(dòng)方程描述的應(yīng)該是質(zhì)點(diǎn)的慣性運(yùn)動(dòng)，當(dāng)然應(yīng)該沿短程線跑。數(shù)學(xué)家們早就得出了黎曼時(shí)空中的短程線方程，愛因斯坦就把該方程引用過來，作為廣義相對論的運(yùn)動(dòng)方程。所以，給出運(yùn)動(dòng)方程并沒有耗費(fèi)愛因斯坦多少時(shí)間。

需要說明的是，廣義相對論用的幾何與最初的黎曼幾何有差別，本質(zhì)上是一種偽黎曼幾何。在偽黎曼幾何中，短程線可能是兩點(diǎn)間最短的一條，也可能是最長的一條。所以廣義相對論中的短程線，是兩點(diǎn)間長度取極值的線，它可能是兩點(diǎn)間最短的一條線（取極小值時(shí)），也可能是兩點(diǎn)間最長的一條線（取極大值時(shí)）。

一開始，愛因斯坦認(rèn)為廣義相對論的基本方程有兩個(gè)，即場方程和運(yùn)動(dòng)方程。20世紀(jì)30年代，愛因斯坦和前蘇聯(lián)科學(xué)家福克分別獨(dú)立證明了運(yùn)動(dòng)方程可以從場方程推出，所以廣義相對論的基本方程只有一個(gè)，那就是場方程。

那么，如何理解時(shí)空彎曲呢？我們簡單說明一下。

一個(gè)人手托一個(gè)物體讓它不動(dòng)，在牛頓力學(xué)看來，物體之所以不動(dòng)，是因?yàn)槲矬w所受的萬有引力與手托它的力平衡，合力為零，所以它處在慣性狀態(tài)（靜止）。人一松手，物體就自由下落，牛頓力學(xué)認(rèn)為這時(shí)物體在萬有引力作用下做勻加速直線運(yùn)動(dòng)。從廣義相對論看來，萬有引力不是力。手托著不下落的物體只受到一個(gè)外力：人用手托它的力。它雖然靜止，但由于受到外力（托力），所以并不是處在慣性狀態(tài)。人一松手，物體開始勻加速下落。由于萬有引力不是力，所以下落物體并未受到任何外力，它的運(yùn)動(dòng)屬于慣性運(yùn)動(dòng)。所以自由落體運(yùn)動(dòng)是彎曲時(shí)空中的慣性運(yùn)動(dòng)。

牛頓力學(xué)認(rèn)為，行星繞日的運(yùn)動(dòng)，是在萬有引力作用下的變加速運(yùn)動(dòng)。廣義相對論認(rèn)為萬有引力不是力，所以行星沒有受到力，它的繞日運(yùn)動(dòng)是慣性運(yùn)動(dòng)。因此，行星的運(yùn)動(dòng)軌跡是短程線。但要注意，通常所說的行星繞日的橢圓軌道并不是短程線。橢圓軌道是三維空間中的軌道。這里說的短程線是四維時(shí)空中的曲線。也就是說，行星繞日運(yùn)動(dòng)是沿四維時(shí)空中的短程線的慣性運(yùn)動(dòng)。如圖1所示，這條短程線是四維時(shí)空中的螺旋線，此螺旋線在三維空間中的投影就是我們通常所說的行星橢圓軌道（圖1）。

有人用床單作比方解釋時(shí)空彎曲。如果4個(gè)人各持床單的一角拉緊，床單就成為1個(gè)平直的二維空間。把1個(gè)小球放在床單上，它靜止不動(dòng)。一扔，它就做勻速直線運(yùn)動(dòng)。這就好比平直空間中的慣性運(yùn)動(dòng)狀態(tài)（圖2）。

在繃緊的床單中央放1個(gè)鉛球，床單就凹下去了，成為1個(gè)二維的彎曲空間。再把1個(gè)小球放在床單上，它將不會(huì)靜止，會(huì)自然地滾向鉛球。我們可以把鉛球看作地球，把小球看作人手托著的物體，你松手后小球向鉛球滾去，就好比人松手后原來手托的物體會(huì)落向地球。為什么小球會(huì)滾向鉛球去呢？按照牛頓力學(xué)的解釋，鉛球（地球）用萬有引力吸引小球（物體）。用愛因斯坦的廣義相對論解釋，則是鉛球（地球）的存在，讓床單（時(shí)空）變彎了，在彎曲時(shí)空中，小球（物體）做慣性運(yùn)動(dòng)，落向了鉛球（地球）。

也可把鉛球看作太陽，小球看作地球。在床單上把小球橫向一扔，它就會(huì)圍著鉛球轉(zhuǎn)動(dòng)，不會(huì)跑掉。為什么不會(huì)跑掉呢，地球?yàn)槭裁床伙w離太陽呢？按照牛頓理論，這是因?yàn)殂U球（太陽）用萬有引力吸引著小球（地球）；按照廣義相對論，則是鉛球（太陽）的存在使床單（時(shí)空）變彎了，由于床單（時(shí)空）彎曲了，所以小球（地球）做慣性運(yùn)動(dòng)，圍著鉛球（太陽）轉(zhuǎn)，不會(huì)逃離鉛球（太陽）。

本文節(jié)速自上海教育出版杜出版的（愛因斯坦與相對論——寫在廣義相對論創(chuàng)建100周年之際），有刪改。