例舉數(shù)列極限的若干種不同求法

李玉萍　張金諾（.鄭州師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，河南鄭州　450044；.中國地質(zhì)大學(xué)經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院，湖北武漢　430074）

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例舉數(shù)列極限的若干種不同求法

李玉萍1張金諾2
（1.鄭州師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，河南鄭州450044；2.中國地質(zhì)大學(xué)經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院，湖北武漢430074）

【摘 要】極限是高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要環(huán)節(jié)，也是貫穿整個微積分教學(xué)的主線。本文簡單地介紹了計算極限的幾種方法，討論了如何利用數(shù)列極限的定義、兩邊夾法則、單調(diào)有界定理、致密性定理、柯西收斂準(zhǔn)則、數(shù)列的四則運(yùn)算法則、兩個重要極限法、Stolz定理法、定積分定義法、級數(shù)性質(zhì)法、拆項法與錯位法來計算數(shù)列的極限。

【關(guān)鍵詞】兩邊夾法則單調(diào)有界定理致密性定理柯西收斂準(zhǔn)則Stolz定理

極限是高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要環(huán)節(jié)，也是貫穿整個微積分教學(xué)的主線。它描述了變量的變化趨勢，是從有限到無限、從量變到質(zhì)變、從近似到精確必不可少的推理工具。極限是分析學(xué)的基礎(chǔ)，極限問題是分析學(xué)中的困難問題之一。極限問題的基本思想對解決分析學(xué)中面臨的問題自始至終起關(guān)鍵作用，有關(guān)一元、二元、多元微積分學(xué)和級數(shù)等概念及一些基本的思想都是利用極限的思想而提出來的。而數(shù)列極限又是極限的基礎(chǔ)，是整個數(shù)學(xué)分析中極限部分的重要內(nèi)容，下面從以下幾個方面來談?wù)剶?shù)列極限的幾種求法

1　關(guān)于數(shù)列極限四種最常見的求法

1.1定義法

1.2兩邊夾法則

顯然，這個和是無窮限項的，不能用極限的運(yùn)算法則來求極限，求此和也不是一件容易的事情，我們可以利用數(shù)列的特性。

所以根據(jù)數(shù)列極限的兩邊夾法則可得

1.3四則運(yùn)算法則

此方法是利用一些數(shù)列其已知的極限來求這些數(shù)列經(jīng)過四則運(yùn)算后形成的數(shù)列的極限，這樣就有相當(dāng)一些數(shù)列極限不必再用ε-N定義求極限，而簡便地使用四則運(yùn)算法則來求極限。

1.4兩個重要極限

利用重要公式來求極限或者是轉(zhuǎn)化為函數(shù)的極限，這種方法必須得在牢記住重要極限的形式和它的值的基礎(chǔ)上，并且對所求的式子作適當(dāng)?shù)淖冃危瑥亩鴣磉_(dá)到可以求出其極限的目的，這種方法應(yīng)用比較靈活，其有相當(dāng)強(qiáng)的技巧性。

2　其他幾種求數(shù)列極限的方法

2.1Stolz定理法

證明：利用Stolz定理

2.2定積分定義法

這種方法主要用于求和式的極限，極為方便。

例如

可以把它看成是函數(shù)xarctanx 在區(qū)間［0，1］上的積分和，它所運(yùn)用的是把區(qū)間［0，1］平均分成等份，并且均取每個均勻的小區(qū)間的右端的函數(shù)值，可得

2.3級數(shù)性質(zhì)法

級數(shù)實質(zhì)上是一個無窮序列的和的形式，而它的部分和其實就是一個數(shù)列。有的時候為了方便，可以將數(shù)列極限看成是某個級數(shù)的部分和，這樣便可以更方便、更快速、更簡潔的求出原數(shù)列的極限。

2.4錯位法與拆項法

以上主要針對數(shù)列極限的幾種求法進(jìn)行了初步的探索，要想求出一些數(shù)列的極限而在題目中沒有說明極限存在的條件下，我們需要先判別該數(shù)列的極限是否存在，然后進(jìn)而求之，在上文中我們介紹了幾種如何判別數(shù)列極限存在的方法，在對數(shù)列極限進(jìn)行求解的時候，往往不是一個過程就能解決的，通常需要多種方法的結(jié)合。不同類型的數(shù)列極限問題，需要用不同的方法解決，我們在學(xué)習(xí)數(shù)列極限的過程中，只有不斷的進(jìn)行總結(jié)、不斷的完善知識理論和結(jié)構(gòu)，才能夠?qū)ο鄳?yīng)的題目對癥下藥、有所創(chuàng)新和突破，所以我們應(yīng)該在學(xué)習(xí)的過程中，由淺入深地逐步理解和掌握。

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基金項目：河南省教育廳課程改革研究項目 （2016-JSJYZD-072）。

作者簡介：李玉萍（1971—），河南滎陽人，副教授，碩士，研究方向為數(shù)學(xué)教學(xué)論。