數學建模三部曲
——以《植樹問題》教學為例

●李浩　程勁松

?

數學建模三部曲
——以《植樹問題》教學為例

●李浩程勁松

《數學課程標準》指出：要讓學生親身經歷將實際問題抽象成數學模型并進行解釋與應用的過程，倡導以“問題情景→建立模型→解釋、應用與拓展”作為小學數學課程的一種基本敘述模式，明確要求教師在教學中要引導學生建立數學模型，應用數學模型解決實際問題。那么，如何建構數學模型呢？筆者以《植樹問題》教學為例，談幾點思考：

一、創設情境，感知數學建模

數學建模教學過程的重點是創設一種生動活潑、輕松愉快的學習氣氛，通過引入與現實生活密切相關的實例來激發學生建模的興趣。因此，教師上課時，要多結合生活實際，把學生所熟悉的生活實例作為教學的問題情境，讓學生在形成一些簡單的數學模型的過程中，感受數學知識的形成過程，并能用數學模型進行一些簡單的解釋與應用。

師：每位同學都有一雙靈巧的小手，它不僅會寫字、畫畫、干活，而且在它里面還藏著有趣的數學知識，你想了解它嗎？請舉起你的右手，并將五指張開，數一數，張開后有幾個空格？

生1：4個。

師：在數學上，我們把這個空格叫“間隔”。（課件顯示）我們把五指張開，有4個空格，也就是4個間隔。每兩個手指之間就有一個間隔。生活中，你見過這樣的間隔嗎？

生2：在馬路邊種樹，每兩棵樹之間有一段距離，也是間隔。

生3：樓梯的臺階也有間隔。

師：看來生活中許多地方都有這樣的間隔。現在我們學校為了進一步美化校園環境，準備從同學們當中招聘幾名校園環境設計師，要求設計植樹方案一份，擇優錄取。想成為我們校園的環境設計師嗎？我們一起來看看設計的具體要求吧！

教師從學生真實的生活中挖掘素材，讓學生了解間隔的含義，讓學生設計植樹方案，這樣創設情境，不僅拓展了學生思維的空間，給課堂注入了生機與活力，而且讓學生體會到只要處處留心，用數學的眼光去觀察生活，就能發現在生活中蘊涵的許多數學規律。

二、自主探究，建構數學模型

從心理學角度分析，知識的獲得是一種主動的認知活動，學習者不應是信息的被動接受者，而應該是知識獲取過程中的主動參與者。因此，在教學中，教師應盡量多為學生提供探究的時間和空間，讓學生在動手操作、親身體驗、交流思考、解決問題中培養建模興趣、建模意識和初步的建模方法。

讀準題意，找出相關數學信息。課件出示例1：在長100米的小路上，每隔5米栽一棵樹，一共要栽多少棵（兩端都栽）？學生讀題后指出：“每隔5米栽一棵”就是指每兩棵之間的距離都是5米，每兩棵樹之間的距離也叫做間隔長度，也可以說成“兩棵樹之間的間隔是5米”。“兩端都栽”說明不是一頭栽，一頭不栽。

動手操作，發現存在問題。學生想到了用畫線段圖的這一直觀的方式來呈現，在線段起點處畫上一個樹的象征物，每隔五米再畫一棵，這樣畫下去，他們發現太麻煩、太浪費時間了。

小段分解，找出植樹規律。一棵一棵種到100米確實太麻煩了。是不是可以先選取100米中的一小段來研究？如，先用20米來研究，用一條線段表示20米，每隔5米栽一棵，也就是說樹有間隔是5米。20米共有4個這樣的間隔，兩端都栽，可以栽5棵樹（如下圖）。

5米　5米　5米　5米

如果這條路長30米，35米……又應栽幾棵樹呢？學生拿出學習紙，畫線段圖并填寫表格。

路長（米）30 35 40 45……間隔長5米5米5米5米……間隔數6 7 8 9……棵數7 8 9 1 0……

觀察表格，學生發現：在一條線段上栽樹（兩端要栽），棵數=間隔數+1；間隔數=棵數－1。再利用這一規律，解決例1中的問題，間隔數是100÷5=20，兩端都栽，棵數=間隔數+1=20+1=21（棵）。

以上教學讓學生經歷觀察、操作、探究、反思等活動過程，并從中學習到一些解決問題的方法和策略。在解決問題時，我們可以先給出一個猜測，再驗證這個猜測對不對，可以用比較簡單的例子來檢驗，并且可以從操作方便的“一小段”中發現棵數與間隔數之間的數量關系，建立植樹問題的數學模型，然后運用模型解決實際問題。這樣，讓學生在親身經歷中逐步體會數學知識的產生、形成與發展的過程，獲得積極的情感體驗，感受數學的力量。

三、解決問題，應用數學模型

建立數學模型的目的是更好的描述自然現象和社會現象，讓學生能體會到數學模型的實際應用價值。其實植樹問題并不只是與植樹有關，生活中還有許多現象和植樹問題相似：人民大會堂上的柱子；做操時每隊的人數；公路上的路燈、彩旗等等，它們中都藏著總數和間隔數之間的關系問題，統稱為“植樹問題”。

教師引導學生開展進一步拓展訓練。請看基本練習：為了迎接國慶節，學校計劃在200米長的小路一邊插上彩旗，每隔4米插一面，（兩端都要插）一共需要幾面彩旗？學生可直接套用規律。拓展練習：5路公共汽車從起點開出，行駛路線全長12千米，正好有13個車站。相鄰兩站的距離是多少千米？需要利用原規律進行一定推算。拔高延伸：跨欄起點至第一欄的距離為13.72米，中間共有10個欄，欄間距離為9.14米，最后一欄至終點的距離是14.02米，你們知道從起點跑到終點是多少米嗎？這是原有模型的一個變式，考查學生的言語理解能力和模型轉換技巧。

這一環節主要是讓學生用數學模型來解決生活中的實際問題，努力體現一種“人人學有價值的數學“的價值取向。在學生從具體生活中抽象出數學現象后，又再一次讓學生運用規律解決形式各異的生活問題，使學生體會到數學知識的具體運用，體驗到運用數學模型處理問題的優越性，從而深刻地感受到數學的價值與魅力。

（作者單位：李浩，武漢市蔡甸區教學研究室；程勁松，武漢市蔡甸區瑠環小學）