滿意度動態加權法在多目標拓撲優化中的應用研究

王海光

（重慶交通大學機電與汽車工程學院，重慶 400074）

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滿意度動態加權法在多目標拓撲優化中的應用研究

王海光

（重慶交通大學機電與汽車工程學院，重慶 400074）

摘 要：為了研究結構多目標拓撲優化中構造不同評價函數對優化結果的影響，以商用車車架為模型，分別建立了線性加權法、平方和加權法和折衷規劃法三種不同的帶有權重的目標函數，同時將決策論中滿意度理論引入多目標拓撲優化的評價函數的構造中，該方法可以使權重比的設定隨每次迭代結果調整，從而消除多工況權重比對優化結果的影響，避免傳統方法中人為設定權重比對優化結果造成的偏差，使對比分析結果更加合理。

關鍵詞：多目標優化；滿意度；多工況

10.16638/j.cnki.1671-7988.2016.04.016

CLC NO.: TH12Document Code: AArticle ID: 1671-7988 (2016)04-45-03

引言

近年來，拓撲優化研究中多目標拓撲優化問題的研究比重越來越大，在工程中結構多目標拓撲優化問題常通過構建評價函數，將多目標優化問題轉變為評價函數的單目標優化問題進行求解。顯然，如何建立合理的評價函數是實現結構多目標拓撲優化的關鍵[1]。范文杰等人[2]采用折衷規劃法建立多目標拓撲優化的評價函數，并將此數學模型應用于汽車車架結構，同時提高了車架的動態振動頻率和結構剛度。李所軍等人[3]以揉度為目標，體積分數為約束，采用優化準則法構建評價函數進行優化。

對于同一個研究對象，針對多個設計目標，可以采用不同的評價函數，而各種不同的評價函數得到的優化結果也會存在差異[4]，對于這些優化結果差異的研究卻沒有得到足夠的重視，孫曉輝等人[5]以汽車懸掛系統的擺臂結構為模型，建立五種不同的評價函數數學模型，通過對五種優化模型設計結果的對比分析，說明不同優化模型的優劣。孫哲[6]以壓縮機支架結構為模型，建立了三種不同的帶有權重的評價函數，取不同權重系數時，比較三種不同評價函數之間的優化結果。但以上文中評價函數中各工況之間的權重系數是根據經驗設定的某一特定值，即權因子是靜態的，在權重系數發生變化時，會影響最終的對比分析結果。基于上述缺陷，本文通過引入決策論中的滿意度理論，將權重系數由靜態的轉變為動態的，消除權重對優化結果的影響，建立了含有滿意度的三種不同的帶有權重的評價函數，并通過對比分析最終的優化結果，說明各不同評價函數在滿意度理論下的差異及優劣。

1、多目標拓撲優化評價函數

處理多目標拓撲優化的方法常見的有約束法，分層序列法，評價函數法等[7]。其中，評價函數法是將多個分目標轉化為一個數值的函數，即是評價函數，也稱為目標函數，然后通過對評價函數的優化，將多目標問題轉化為單目標來求解[8]。本文以商用車車架為模型，以車架的揉度和動態頻率為目標，同時考慮商用車行駛過程中最常見的三種典型工況：彎曲工況，右前輪懸空和右后輪懸空，分別采用線性加權法，平方和加權法和折衷規劃法來建立多目標拓撲優化的評價函數。

1.1 線性加權法

線性加權法是處理多目標優化問題常用的一種比較簡便的方法。本文中建立的線性加權法數學模型如下：Minimize：

式中：Ci(ρ ) 為第i個工況的揉度目標函數，ωi為第i個工況的權重系數，fi(ρ )為第i階頻率目標函數，ωi'為各階頻率的權重系數，因為本文只考慮商用車行駛的三種工況和前三階頻率，所以k取1,2,3。ω為頻率與揉度兩目標之間確定的權重值，這里取值為0.5。

1.2 平方和加權法

平方和加權法首先需要求出各分目標單目標拓撲優化時的最優解，再引入權重系數，消除量綱后，通過迭代計算，最終找到使各分目標盡量最優的理想點。本文建立的平方和加權法數學模型如下：Minimize：

式中Cmin和Cmax分別為揉度單目標優化所得到的最小揉度和最大揉度，fmin和fmax為頻率單目標優化所得到的最小頻率和最大頻率。

1.3 折衷規劃法

折衷規劃法是目前運用最為廣泛的構建目標函數的方法，結合平均頻率公式，可以得到滿足各分目標的最優解。本文建立的折衷規劃法數學模型如下：Minimize：

2、滿意度動態權重設計

2.1 滿意度的引入

本文中建立了滿意度q和不同迭代值Ci(ρ )和fi(ρ )之間的函數關系式如下：

式中：a1和a2的取值分別為2和4，Cil和fil是第i個分目標的最壞值，Cid和fid是第i個分目標的最理想值。

2.2 權重的動態設計

權重因子iω和'iω分別表示是各工況和各階頻率間的重要程度。本文將權重的設計和滿意度結合，建立權重因子和滿意度之間的函數關系，研究滿意度動態權重下，各構建不同目標函數方法的可行性，再對優化結果比較，分析滿意度動態權重下，不同目標函數對車架揉度和頻率的影響。本文構建的權重因子表達式如下：

結合（1），（3）可以發現，當分目標Ci接近其最優值Cid時，qi就會增大，相應的造成1-qi減小，從而使此分目標對應的權重因子iω減小，當進入下一步迭代時，主要會向權重因子大的分目標的方向進行，從而使該分目標的優化速度下降，相當于一個懲罰因子，自動調節了各分目標的權重因子，使各分目標達到了優化過程中的綜合平衡。使用這種方法，可以在迭代過程中，權重因子隨迭代值變化，且調節了各分目標之間的重要程度，當分目標接近最優值時，就自動減小其權重，減小向此方向的優化速度，相反，則自動加大權重因子，加大優化速度，使迭代過程連續尋優，最終找到各分目標都滿意的最優值。此外，這種方法消除了權重的影響，較為有利的去判斷各方法在此動態權重下的優劣。

3、車架有限元模型建立

3.1 車架模型建立

本文建立的商用車車架模型輪廓總長5700mm，寬780mm，高為120mm，在CATIA中建立實體模型后導入HyperWorks中，采用PSOLID三維實體單元對其進行網格劃分，劃分網格時，將設計空間分為設計域和非設計域，優化時，不改變非設計區域的形態，只在設計區域中挖掉多余的部分，剩余形狀即為最后的優化結果。車架所選材料為16Mn，彈性模量E=2.1′1011Pa ，泊松比μ=0.3，密度ρ=7900kg/ m3，最終的有限元模型如圖1所示：圖中綠色區域為設計域，紅色區域為非設計域。

3.2 車架的邊界條件和載荷

汽車在行駛過程中，車輪是純滾動的，當在平坦路面行駛時，即是對應車架的彎曲工況。此工況下，后懸架前支撐限制車架的縱向自由度，橫向自由度和垂直自由度，其余支架只限制鉛垂自由度。車架的其余兩種工況屬于彎扭聯和工況，模擬的是汽車在不平坦的路面上行駛，某一車輪懸空而抬高的受力狀態，此時，釋放對應車輪處的約束，其余約束保持和彎曲工況一致不變。

本文車架所受的基本載荷主要歸納為：駕駛室總成和駕駛員重量，共4800N，平均分配到駕駛室前后支撐位置。發動機總成重量1800N，前后分成兩部分承載，平均分配到發動機前后支撐位置。滿載時，車廂和貨物總重量48000N，設定車架承載影響系數為0.75，所以實際承受載荷48000× 0.75=36000N，垂直作用于車架與貨箱裝配的位置，即車架紅色區域后端。載荷情況及邊界條件如圖2所示：

圖2　車架的邊界條件和載荷

4、優化結果及對比分析

4.1 優化過程及結果

本文在HyperWorks軟件中進行優化，先以各工況的剛度最大為目標進行單目標優化，這里將剛度最大轉變為應變能最小，即揉度最小，確定各工況下的Cmin的值，而優化前的揉度值即為Cmax。三工況單目標拓撲優化的Cmax和Cmin數據如下。

表1　三工況單目標優化數據結果

隨后再分別以一、二、三階的固有頻率最大為目標進行單目標拓撲優化，優化結果得到fmax的值。而優化前各階固有頻率值為fmin，前三階固有頻率單目標拓撲優化的fmax和fmin數據如表2所示：

表2　前三階頻率單目標優化結果

在HyperWorks中迭代計算，得到三種方法在滿意度動態加權下的優化結果。優化結果如下圖3至圖5所示：

圖3　折衷規劃法

圖4　平方和加權法

圖5　線性加權法

4.2 優化結果的對比分析

由上圖可知，三種方法建立的數學模型，均能實現車架的拓撲優化，且各方法優化后的幾何構型相差不大，正如表三和表四所示，這和最后的目標揉度，頻率的優化結果數據基本相同相照應。同時，優化結果是不受權重系數所影響的，是在動態中尋優所達到的最優值。根據表三和表四可以對比分析得到，結合滿意度動態加權，消除權重影響，線性加權法對車架結構的揉度優化效果明顯，折衷規劃法使車架結構的頻率優化達到最大。最終優化目標數據結果如下表所示：

表3　頻率優化結果

5、結論

本文采用滿意度動態加權法，消除了多目標拓撲優化目標函數中權重的影響，使線性加權法，平方和加權法，折衷規劃法三種方法的多目標拓撲優化得以實現，同時通過對比分析三種方法的優化結果發現：

1）在滿意度動態加權下，三種方法優化后的幾何構型差別不大，其中線性加權法的優化后幾何構型有稍許差別，這與揉度，頻率優化后結果數據相差不大所對應。

2）在滿意度動態加權下，線性加權法對車架剛度的優化效果較顯著，而折衷規劃法對車架頻率的優化效果明顯。實際問題中，可以選擇適合的優化方法，對優化結果有重要影響。

參考文獻

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[2] 范文杰,范子杰,蘇瑞意. 汽車車架結構多目標拓撲優化方法研究[J]. 中國機械工程,2008,12:1505-1508.

[3] 李治多,王明強. 多工況載荷下連續體結構拓撲優化設計研究[J].現代制造工程,2008,09:70-73+124.

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[5] 孫曉輝,丁曉紅. 結構多目標拓撲優化設計[J]. 機械設計與研究,2012,04:1-4+9.

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[8] 劉林華,辛勇,汪偉. 基于折衷規劃的車架結構多目標拓撲優化設計[J]. 機械科學與技術,2011,03:382-385.

中圖分類號：TH12

文獻標識碼：A

文章編號：1671-7988(2016)04-45-03

作者簡介：王海光，就讀于重慶交通大學機電與汽車工程學院。

Application research of satisfaction dynamic weighting method on the optimization of multi-objective topology

Wang Haiguang
( College of Mechatronics＆Automotive Engineering, Congqing jiaotong University, Chongqin 400074 )

Abstract:To study the effect of different evaluation functions on the optimization results, a commercial vehicle frame as a model, three methods,namely weighted linear sum method,weighted squares method and compromise programming method applied to construct three mathematical models, respectively,at the same time, the theory of satisfaction degree is introduced into the evaluation function of multi-objective topology optimization.this method can be adjusted as the change of every object after each optimization, to avoid the deviation caused by the weight ratio which is setted by traditional method to the optimization results, to make the comparative analysis of the results more reasonable.

Keywords:multi-objective optimization; satisfiability; multi-load cases